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TRIGONOMETRIE :La tangente d’un angle.
lecture : (notion sur la dérivée )

 

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Objectif précédent : 1°) Coefficient directeur d’une droite.   2°) Ce qu’est la tangente en un point d’une courbe.

Objectif suivant 1°)Les dérivées 2°) Les fonctions 3°) dérivées : études générales 4°) Suite sur les dérivées , dérivées seconde ,……….

Tableau     82   aller  vers la liste des cours sur les dérivées.

DOSSIER:

LA DERIVEE.

- Introduction  de la notion de dérivée. Problème des tangentes. ( Prépare à la définition de la dérivée)

- Définition de la dérivée.

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

 

COURS

 

Historique :

Le théorème qui va être abordé donne le moyen de construire les tangentes à une courbe représentant une équation de la forme « y = f(x) »

Ce théorème fournit ainsi la solution générale du « problème des tangentes » auquel s’étaient intéressés les mathématiciens français du XVII ^ème siècle : Descartes ( 1596 - 1650) ; Fermat , Roberval.

Les dérivées ont été inventées à peu prés  simultanément vers 1670 par Leibniz ( 1646- 1716) et Newton ( 1642 - 1727)

 

    

I ) Problème des tangentes.

 

On demande de chercher  le coefficient angulaire de la tangente à une courbe en un point donné.

 

Rappel de la définition de la tangente en un point :On appelle « tangente à une courbe en un point M0 la position limite  M0 T de la sécante M0M1 quand le point M1 de la courbe se rapproche indéfiniment du point M0

Exemple premier :

 

Soit la fonction y =  , calculable quel que soit « x » Nous  savons construire sa représentation graphique.   Nous nous proposons de rechercher par le calcul le coefficient angulaire de la tangente passant par un point « A0 »  de droite « U » ; que l’on note « A0 U » . ►Prenons sur la courbe un point « A1 » voisin du point « A0 »

 

Les coordonnées du point  A₀ sont  « x ₀»  et  « y₀ » ;

A partir de l’équation de la courbe y =  ; on va se donner  les coordonnées du point A₁ :

► l’abscisse « x₁ »  est déterminée en écrivant  que « x₁  =  x + ∆x »                (1)

► l’ordonnée « y_1 »   est obtenue par le calcul y₁ =                          (2)

Application :  On veut connaître  de la tangente passant par un point ( A₀)

Considérons , sur le graphique , le point « A₀ » de coordonnées  x₀ = 2  et y ₀ = -1 (« y₀ » est  obtenue par calcul et cette valeur est vérifiée sur le tracé)

Nous pouvons trouver les coordonnées d’un point « prés proche de A₀  appelé « A₁ » :

D’après (1)   :                    « x₁ »  =  2 + ∆x 

D’après  (2) :   l’ordonnée « y_1 »   est obtenue en posant l’opération : y₁ =                          

Le coefficient angulaire  de la droite sécante passant par A₀A₁  est :

 

( d’après le calcul vu en troisième) :

Rappel :  le coefficient angulaire d’une droite passant par deux points A0 (x0 ; y0)  et A1 (x1 ; y1) est égal au calcul :                                  ( cela correspond au calcul de la tangente…….)

Fin du rappel.

 Suite de l’exemple premier : D’où :

 

 

ou , en simplifiant  par  (∆x) , qui n’est pas nul :

 

    ( 3)

 

Supposons maintenant que  (∆x)  tende vers « zéro » :

 

1°) x₁   et y ₁     tendent vers  pour « x₁ » :  2  et    pour « y₁ » : -1 ; qui sont les coordonnées de « A₀ » ;le point   « A₁ » tend vers  le point  « A₀ » en suivant la courbe ; ainsi la droite A₀A₁  « sécante » tend vers la tangente « A₀U » 

 

2°) le coefficient angulaire (3) de  la « sécante »  A₀ A₁ tend vers  « - 1 ». La tangente A₀ U  a  donc pour coefficient angulaire « -1 » . On dit que « -1 » est la dérivée de la fonction  « y » =   pour la valeur « x₀ » = 2

·« dériver » : En tentant de rapprocher les points de la sécante A₀A₁ (au point de vouloir les superposer)  , on « dérive » c’est à dire que l’ on oblige  la sécante à passer en un point (double)  de la courbe ; cette sécante tend à devenir la tangente en un point . ( introduction à la notion de limite)

 

Exemple 2 :

Nous partons de la même fonction et cherchons le coefficient  angulaire de la tangente  « M0 T »  au point M0 de coordonnées « x0 » et  y0  =

Pour cela , prenons sur la courbe un point  voisin « M₁ » de coordonnées « x₁ » et       y₁  =

Le coefficient angulaire de la sécante  M₀M₁ est

 

               

 

ou en simplifiant par  x₁ - x ₀ qui n’est  pas nul : 

 

                           (1)

 

( Il est plus commode , ici , d’utiliser « x₁ » et non  « x₀ + ∆x », employé dans l’exemple 1 précédent.)

 

Supposons maintenant que « x₁ » tende vers « x₀ » :

 

1°) y₁   ( = )  tend vers y₀   ( = ) ;  M₁ tend vers M₀ en suivant la courbe ; la sécante  M₀M₁  tend vers la tangente « M₀ T » 

2°) le coefficient angulaire  ( 1)                    de la sécante M₀M₁  tend vers                      

 

La tangente « M₀ T »  a donc pour coefficient angulaire

 

 

On dit que «  »  est la dérivée de  y =  pour la valeur « x₀ »

 

 

 

Remarques au sujet des fonctions simples étudiées dans ce cours (niv IV).

 

 

Soit  y = f (x) une de ces fonctions  , x₀ une valeur de « x » pour laquelle elle est définie.

 

1°) Lorsque « x » , tend vers  « x₀ » il s’ensuit que y₁ tend vers y₀ autrement dit , lorsque ∆x tend vers zéro , il s‘ensuit que l’accroissement correspondant ∆ y  tend aussi vers zéro.

 On dit que la fonction « y » est continue pour x = x ₀

 

2°) Lorsque ∆x tend vers zéro , et que , par conséquent, ∆ y  tend aussi vers zéro , le rapport   tend vers une limite.

 

Nous venons de voir, sur deux exemples, que cette limite s’appelle  dérivée de y = f (x)

 

 

Définition de la dérivée :

 

Soit une fonction y = f (x) définie  dans un certain intervalle ;

 

« x₀ » une valeur fixe de la variable , et x₁ = x₀ + ∆ x  une autre valeur, appartenant toutes deux à l’intervalle ;

 

y ₀  et y ₁ les valeurs correspondantes de la fonction.

 

Calculons ∆ y =   y ₁ - y ₀   les valeurs correspondantes de la fonction et formons le rapport :

 

 

On appelle « dérivée » de la fonction « y = f ( x) pour la valeur « x₀ » de la variable la limite du rapport  de l’accroissement de la fonction de l’accroissement de la variable , quand ce dernier tend vers zéro.

 

On  la désigne  par   :        f ‘ ( x₀ )   ou  y ‘ ₀  

 

                      

 

 

 

 

 

Ou               

 

 

Attention à bien respecter l’ordre « x₀ » est toujours de valeur inférieure à « x₁ » ; ce qui n’est pas toujours le cas pour « y₁ » et « y₀ » ; l’un ou l’autre peut avoir une valeur plus ou moins grande. 

Rien n’est prévu  en contrôle et évaluation.

 

 

CONTROLE

 

EVALUATION: