Pré requis: 

La tangente.	III
Etude graphique d’une fonction.

 

Index  warmaths	Objectif précédent   1°)Lecture : notions sur les dérivées 2°) introduction. 3°) signification géométrique de la dérivée	Objectif suivant 1°) Calcul d’une dérivée. 2°)A voir : Etudes de  fonctions : le second degré. 3°) Application de la dérivée à l’étude d’une fonction. 4°)application :  étude d’une fonction du second degré.	Tableau     82   Info cours de niveau IV : sur « la dérivée »

DOSSIER  sur  LES DERIVEES :  APPLICATIONS

I)           Tracé de la  tangente à une courbe d’équation donnée en un point donné.

II)         Dérivée : elle facilite l’étude d’une fonction

III)      Discrimination du maximum et du minimum ;

IV)      Discrimination du point d’inflexion et point de rebroussement. 

V ) (suite) : Emplois des dérivées pour l’étude de la variation des fonctions.)

 

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

 

I)   Tracé de la tangente à une courbe d’équation donnée en un point donné  ( ►info plus).

Soit « A » le point d’abscisse « x₁ » et d’ordonnée « y₁ ».

Par ce point, traçons l’horizontale « AH » égale à l’unité de longueur (= 1 unité ); en « H » élevons une perpendiculaire « HT » dont la longueur correspond à la valeur de « y ’ » ( appelé : nombre dérivé )  pour « x = x1 » et qui est dirigée vers le haut ou vers le bas suivant que cette valeur est positive ou négative « AT » est la tangente cherchée. On a en effet

Une courbe étant « encadrée » par ses tangentes en différents points , le tracé précis d’une courbe peut être facilité par la détermination de quelques unes de ses tangentes.

 II ) La dérivée facilite l’étude d’une fonction  (► info plus)   car elle permet d’en suivre aisément les variations.

En tout point d’une courbe, la pente est la même que celle de la tangente en ce point ; il en résulte en résulte que la courbe et ses tangentes sont simultanément ascendantes, descendantes,  horizontales, suivant que la dérivée « y’ » est positive, négative ou nulle.

Or nous savons qu’une branche de courbe ascendante est la traduction graphique d’une croissance de la fonction, au contraire une branche de courbe descendante traduit une décroissante de la fonction.

Il en résulte une corrélation évidente entre le signe de la dérivée, ses modifications, l’annulation de cette dérivée et l’évolution  de la fonction. Le graphique ci dessous, dans lequel la courbe « C » représente les variations d’une fonction « y = f(x) » met en lumière cette corrélation. 

 

Entre x₀  et x₁ la dérivée est positive :  lorsque la dérivée d’une fonction est positive , pour les valeurs de « x » comprises dans un intervalle, la fonction est croissante dans cet intervalle.

 

Entre x₁  et x₂ la dérivée est négative :  lorsque la dérivée d’une fonction est négative , pour les valeurs de « x » comprises dans un intervalle, la fonction est décroissante dans cet intervalle.

 

En  x₁  et x₂  la dérivée s’annule :  lorsque la dérivée d’une fonction s’annule , pour la  valeur de « x₁ » la fonction passe par un maximum , pour la valeur « x₂ » la fonction passe un « minimum.

 

III )  Discrimination du maximum et du minimum.  (►info plus)

 

Un maximum fait suite à une « croissance » (dérivée positive) et précède  une décroissance ( dérivée négative) de la fonction. 

Un minimum fait suite à une « décroissance » (dérivée négative) et précède  une croissance ( dérivée positive) de la fonction. 

Donc :

Si la dérivée est d’abord  positive , s’ annule puis devient négative la fonction passe par un « maximum ».

Si la dérivée est d’abord  négative , s’ annule puis devient positive  la fonction passe par un « minimum ».

 

Point d’inflexion :

 

L’annulation de la dérivée sans changement  de signe correspond à un point d’inflexion.

 

IV)  Point d’inflexion ou de rebroussement  et « Cas d’une dérivée discontinue »:

 

 

Si pour une valeur « x₁ » de la variable « x » , la dérivée « y ‘ »  est discontinue et passe par une valeur infini tg.a =  ( ∞) ; a  = 90° ; la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse « x₁ » est verticale.

Les cas suivants peuvent se présenter :

Cas A)

Pour « x = x1 », la fonction « y » est discontinue en même temps que sa dérivée « y’ ». les deux branches discontinues de la courbe « y = f (x)»ont une tangente commune verticale ,, d’équation « y = x1 », qui les rencontrant en des points infiniment éloignés est une asymptote verticale. Selon que la dérivée « y’ » change de signe ou ne change pas de signe , de part et d’autre de sa continuité, les branches discontinues de la courbe « y = f(x) » sont placées comme l’indiquent les figures ci-dessous.
« y’ » ne change pas de signe.	« y’ » change  de signe.

 

Cas B)

 Pour « x = x₁ », la dérivée « y ‘» est discontinue mais la fonction « y » n’est pas continue.

          Selon que la dérivée « y’ » ne change pas de signe ou change de signe, la courbe « y = f (x) » présente un point d’inflexion à la tangente verticale ou un point  de rebroussement.

 

Ci dessous :La dérivée ne change pas de signe ; il y a un point d’inflexion à tangente verticale.
Ci dessous : La dérivée change de signe ; il y a un point de rebroussement.