Pré  requis: 

 

 

Introduction à la notion de « dérivée » et la définition de la dérivée.

 

 

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Objectif précédent   Sphère metallique

)Lecture : notions sur les dérivées

 

2°) Accroissements et notion de limite

 

Objectif suivant Sphère metallique

)Calcul des dérivées.

2°) caractéristiques

)Lecture pour d’autres explication…….

 

4°) « Le  nombre dérivé » ( lien « tangente)

 

5°) Interprétation géométrique de la dérivée ( à venir)

Tableau     Sphère metallique82

)Les fonctions usuelles

2° )Etudes de  fonctions : le second degré.

 

 

 

 

DERIVEE : Complément d’informations sur la   Signification  géométrique de la dérivée : « tangente » et suite…..«  le nombre dérivé ».

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

Tangente en un point d’une courbe :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux demandés sur le tracé d’une tangente en un point :

 

 

Construction de tangentes à l’ aide de la dérivée :

 

1°)    y =   au point « x = -2 )

 

2°)    y =     ; y ‘ = 2x   au point « x = 1 »

 

3°)     y =  2x²   ; y ‘ = 4 x   au point « x = 0,5 »

 

4 °)    y = - 0,3 x²   ; y ‘ = - 0 ,6 x   au point « x = 2 »

 

ce travail permettra  de comprendre au cours de l’étude d’une fonction que par calcul de la dérivée et l’analyse  du signe ( + ou - ) de cette dérivée , on peut  déterminer si  celle ci est « croissante » ou décroissante » dans un intervalle défini , et qu’un autre calcul partant de cette dérivée on pourra  déterminer si il existe pour la fonction un maxima ou un minima ainsi que sa valeur numérique  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

Signification géométrique de la dérivée ;

 

 

 

 

 

Soit  le théorème : le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de la fonction «  y = f (x) » est , en chaque point  , égal à la valeur correspondante de la dérivée.

 

 

 

 

Soit « x0 » une valeur de « x » donnée et fixe ; la valeur correspondante de « y »  est « y0 = f ( x0) » ; elle est également fixe.

Soit M0 le point  de coordonnées « x0 » ; « y0 » ( point fixe) .

Proposons nous de chercher le coefficient angulaire de la tangente M0T en M0 à la courbe représentative .

Pour cela, conformément à la définition de la tangente à une courbe en un point,considérons , sur la courbe représentative, un deuxième point M1 , variable, de coordonnées « x1 » et « y1=f (x1)   ( x1 et y 1 variables) et traçons  la sécante M0M1.

pent5

 

 

 

 

 

 

Sont coefficient angulaire ( ou pente) est

 

Coefficient angulaire de M0M1. =         .                (1)

 

Supposons maintenant que x1 tende vers x0 ; y1 tende vers y0 ;

Il en résulte que :

1°) d’une part , M1 tend vers M0 en suivant la courbe , et la sécante M0M1. à pour limite la tangent  M0T   à la courbe.

 2°) d’autre part  le rapport      tend vers une limite qui est la valeur de la dérivée de y = f(x)  pour « x = x0 ».

 

 

En conséquence, l’égalité (1) devient à la limite :

      Coefficient angulaire  de M0T  =  f ‘ (x0)

 

Nous avons bien démontré que la tangente au point M0 a pour coefficient angulaire la valeur  f ‘ (x0)  de la dérivée en ce point.

 

 

 

 

 

Application :

 

Construction d’une tangente.

 

Nous prenons la fonction  , dont nous avons calculé la dérivée , nous avions trouvé  ,

Nous nous proposons de construire la tangente au point « B » de coordonnées :

               x =  - 3   ;  donc    ,

 

pour     x = - 3    , on trouve    ,  = à la pente de la tangente en « B »

 

 

 

Il est commode d’utiliser les axes auxiliaires  « BX » et « BY » d’origine « B » , par rapport à ces axes , la tangente en « B » a pour équation Y = 1,4 X ; si X = 1  on a Y = 1,5 , d’où le point « T » ; la tangent « BT »

pent4

 

 

 

 

 

 

Autres points :

 

1°) Pour « x = 0 » , on a « y = 0 » , « y ‘ = 0 »; c’est l’origine , la tangente est l’axe Ox.

 

2°) Pour « x = 2 » , on a « y = - 1 »  et « y ‘ = - 1 » ; c’est le point « A » ; la tangente AU  est parallèle à la deuxième bissectrice ( en axes pareillement gradués ; cette bissectrice  concerne le deuxième et quatrième angle droit du repère)).

 

 

Il nous devient  possible de calculer l’équation de cette droite « tangente » en ce point :

Par exemple cherchons l’équation de la tangente « BT », cette équation est de la forme :  y = a x + b

 

On connaît le coefficient angulaire ( = 1,5)  «  a = 1,5 ) d’où   y = 1,5 x + b

La tangent passe par « B » , donc =    - 2,25 = ( 1,5) ( -3) + b

D’où « b = 4,5 - 2,25 = 2,25 » ; l’équation est donc :     y = 1,5 x + 2,25.

 

Activité : rechercher l’équation de la tangente  en  « A » . En utilisant la même démarche. Et établir la procédure pour rechercher l’équation d’une tangente en un point d’une droite d’équation donnée.

 

 

 

Complément d’informations : Sur la courbe « C » représentative de la fonction y = f(x) considérons deux points P et P’.

 

 

 

dér2

 

 

 

 

 

L’abscisse de P  est   = x1  , son ordonnée   = y1

L’abscisse de P’ est   = x2  son ordonnée ’ = y2

Désignons par Dx la différence des abscisses de ces points

D x  =    -  =  

Pour Dy  la différence de leurs ordonnées :

 

Dy =  ’ - = 

 

Dy représente l’accroissement de la fonction y = f(x) , lorsque la variable  s’accroît de Dx à partir de x1 . Traçons la droite PP’ , puis par le point P , la parallèle  PX à la direction positive de l’axe des abscisses. Désignons par  a  l’angle que forme PP’ avec l’axe des abscisses ou avec sa parallèle PX , enfin menons au point « P » la tangente PT à la courbe C et désignons par j l’angle que forme PT avec l’axe des abscisses  ou avec sa parallèle PX .

Dans le triangle PIP’ ; PI = Dx  , ’ = Dy  . Or , nous savons que dans un triangle rectangle , un côté  de l’angle droit est égal au produit de l’autre côté de l’angle droit par la tangente trigonométrique de l’angle opposé au premier côté d’où

Dy = Dx tg a ;   = tg a

Ainsi le rapport des deux accroissement     mesure la tangente trigonométrique de l’angle a  que forme la droite PP’ avec la direction positive de l’axe des abscisses , c’est à dire la pente de cette droite .

Voyons quelles sont les conséquences d’une réduction progressive de Dx

Si Dx diminue , le point P’ se rapproche de P le long de la courbe  C et Dy diminue simultanément ; la droite PP’ tourne autour de P dans le sens de la flèche , l’angle   a   varie et nous avons constamment  tg a ;

 Si Dx  s’évanouit  , la sécante PP’ tend vers sa position limite qui est la tangente PT . Dy  s’évanouit également et le rapport    tend vers une valeur déterminée , qui est par définition la dérivée y’ .

L’angle a  tend vers sa valeur limite j

La valeur limite du rapport     mesure donc la tangente trigonométrique  de la valeur limite de l’angle a 

Autrement dit  y’ = tgj

On voit donc que : la dérivée de la fonction  y = f(x) pour x = x1 , mesure la pente de la tangente menée à la courbe représentative de la fonction au point P , d’abscisse x1

             Exemple :

 

 

 

Sur une parabole d’équation                     y = x2

Considérons les points :

A  et A’ d’abscisses  +   et –1

Traçons les tangentes AT et AT’ à la parabole , puis menons par A et A’ les parallèles  AX et A’X’ à la direction positive de l’axe des abscisses.

La dérivée de y = x2  étant

                      y ’ = 2x

Nous avons :

tg  j = 2   = 1   ;  j = 45°

tg j’ =  2  (-1) = -2 ;j¹ - 63°30’

dér4

 

 

 

L’angle j est positif : la tangente AT est ascendante (montante ou croissante) , comme la portion de courbe à laquelle elle appartient ;

   L’angle j est négatif, la tangente A’ T ’ est décroissante ( descendante), comme la portion de courbe à laquelle elle appartient.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

 aucun travail de prévu.

 

EVALUATION:

 

Construire   les  tangentes à l’ aide de la dérivée pour les fonction suivantes , au point donnée ( sans avoir à tracer la courbe de cette fonction) .

 

1°)    y =   au point « x = -2 »

 

2°)    y =     ; y ‘ = 2x   au point « x = 1 »

 

3°)     y =  2x²   ; y ‘ = 4 x   au point « x = 0,5 »

 

4 °)    y = - 0,3 x²   ; y ‘ = - 0 ,6 x   au point « x = 2 »

 

 

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