Tangente en un point d’une courbe :

Travaux demandés sur le tracé d’une tangente en un point :

Construction de tangentes à l’ aide de la dérivée :

1°)    y =   au point « x = -2 )

2°)    y =  x²   ; y ‘ = 2x   au point « x = 1 »

3°)     y =  2x²   ; y ‘ = 4 x   au point « x = 0,5 »

4 °)    y = - 0,3 x²   ; y ‘ = - 0 ,6 x   au point « x = 2 »

ce travail permettra  de comprendre au cours de l’étude d’une fonction que par calcul de la dérivée et l’analyse  du signe ( + ou - ) de cette dérivée , on peut  déterminer si  celle ci est « croissante » ou décroissante » dans un intervalle défini , et qu’un autre calcul partant de cette dérivée on pourra  déterminer si il existe pour la fonction un maxima ou un minima ainsi que sa valeur numérique  .

Signification géométrique de la dérivée ;

Soit  le théorème : le coefficient angulaire de la tangente à la courbe représentative de la fonction «  y = f (x) » est , en chaque point  , égal à la valeur correspondante de la dérivée.

Soit « x₀ » une valeur de « x » donnée et fixe ; la valeur correspondante de « y »  est « y₀ = f ( x₀) » ; elle est également fixe.

Soit M₀ le point  de coordonnées « x₀ » ; « y₀ » ( point fixe) .

Proposons nous de chercher le coefficient angulaire de la tangente M₀T en M₀ à la courbe représentative .

Pour cela, conformément à la définition de la tangente à une courbe en un point,considérons , sur la courbe représentative, un deuxième point M₁ , variable, de coordonnées « x₁ » et « y₁=f (x₁)   ( x₁ et y ₁ variables) et traçons  la sécante M₀M₁.

Sont coefficient angulaire ( ou pente) est

Coefficient angulaire de M₀M₁. =         .                (1)

Supposons maintenant que x₁ tende vers x₀ ; y₁ tende vers y₀ ;

Il en résulte que :

1°) d’une part , M₁ tend vers M₀ en suivant la courbe , et la sécante M₀M₁. à pour limite la tangent  M₀T   à la courbe.

 2°) d’autre part  le rapport      tend vers une limite qui est la valeur de la dérivée de y = f(x)  pour « x = x₀ ».

En conséquence, l’égalité (1) devient à la limite :

      Coefficient angulaire  de M₀T  =  f ‘ (x₀)

Nous avons bien démontré que la tangente au point M₀ a pour coefficient angulaire la valeur  f ‘ (x₀)  de la dérivée en ce point.

Application :

Construction d’une tangente.

Nous prenons la fonction  , dont nous avons calculé la dérivée , nous avions trouvé  ,

Nous nous proposons de construire la tangente au point « B » de coordonnées :

               x =  - 3   ;  donc    ,

pour     x = - 3    , on trouve    ,  = à la pente de la tangente en « B »

Il est commode d’utiliser les axes auxiliaires  « BX » et « BY » d’origine « B » , par rapport à ces axes , la tangente en « B » a pour équation Y = 1,4 X ; si X = 1  on a Y = 1,5 , d’où le point « T » ; la tangent « BT »

Autres points :

1°) Pour « x = 0 » , on a « y = 0 » , « y ‘ = 0 »; c’est l’origine , la tangente est l’axe Ox.

2°) Pour « x = 2 » , on a « y = - 1 »  et « y ‘ = - 1 » ; c’est le point « A » ; la tangente AU  est parallèle à la deuxième bissectrice ( en axes pareillement gradués ; cette bissectrice  concerne le deuxième et quatrième angle droit du repère)).

Il nous devient  possible de calculer l’équation de cette droite « tangente » en ce point :

Par exemple cherchons l’équation de la tangente « BT », cette équation est de la forme :  y = a x + b

On connaît le coefficient angulaire ( = 1,5)  «  a = 1,5 ) d’où   y = 1,5 x + b

La tangent passe par « B » , donc =    - 2,25 = ( 1,5) ( -3) + b

D’où « b = 4,5 - 2,25 = 2,25 » ; l’équation est donc :     y = 1,5 x + 2,25.

Activité : rechercher l’équation de la tangente  en  « A » . En utilisant la même démarche. Et établir la procédure pour rechercher l’équation d’une tangente en un point d’une droite d’équation donnée.

Complément d’informations : Sur la courbe « C » représentative de la fonction y = f(x) considérons deux points P et P’.

L’abscisse de P  est   = x₁  , son ordonnée   = y₁

L’abscisse de P’ est   = x₂  son ordonnée ’ = y₂

Désignons par Dx la différence des abscisses de ces points

D x  =    -  =   ’

Pour Dy  la différence de leurs ordonnées :

Dy =  ’ - =  ’

Dy représente l’accroissement de la fonction y = f(x) , lorsque la variable  s’accroît de Dx à partir de x₁ . Traçons la droite PP’ , puis par le point P , la parallèle  PX à la direction positive de l’axe des abscisses. Désignons par  a  l’angle que forme PP’ avec l’axe des abscisses ou avec sa parallèle PX , enfin menons au point « P » la tangente PT à la courbe C et désignons par j l’angle que forme PT avec l’axe des abscisses  ou avec sa parallèle PX .

Dans le triangle PIP’ ; PI = Dx  , ’ = Dy  . Or , nous savons que dans un triangle rectangle , un côté  de l’angle droit est égal au produit de l’autre côté de l’angle droit par la tangente trigonométrique de l’angle opposé au premier côté d’où

Dy = Dx tg a ;   = tg a

Ainsi le rapport des deux accroissement     mesure la tangente trigonométrique de l’angle a  que forme la droite PP’ avec la direction positive de l’axe des abscisses , c’est à dire la pente de cette droite .

Voyons quelles sont les conséquences d’une réduction progressive de Dx

Si Dx diminue , le point P’ se rapproche de P le long de la courbe  C et Dy diminue simultanément ; la droite PP’ tourne autour de P dans le sens de la flèche , l’angle   a   varie et nous avons constamment  tg a ;

 Si Dx  s’évanouit  , la sécante PP’ tend vers sa position limite qui est la tangente PT . Dy  s’évanouit également et le rapport    tend vers une valeur déterminée , qui est par définition la dérivée y’ .

L’angle a  tend vers sa valeur limite j

La valeur limite du rapport     mesure donc la tangente trigonométrique  de la valeur limite de l’angle a 

Autrement dit  y’ = tgj

On voit donc que : la dérivée de la fonction  y = f(x) pour x = x₁ , mesure la pente de la tangente menée à la courbe représentative de la fonction au point P , d’abscisse x₁

             Exemple :

L’angle j est positif : la tangente AT est ascendante (montante ou croissante) , comme la portion de courbe à laquelle elle appartient ;

   L’angle j est négatif, la tangente A’ T ’ est décroissante ( descendante), comme la portion de courbe à laquelle elle appartient.