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vers lire….la numération
, ne pas confondre : « nombre » et
« grandeur » |
Pré requis:
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Nomenclature |
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Division de N par 10 ; 100 ;1000 |
ENVIRONNEMENT du dossier:
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COURS FICHE collège 6ème / 5ème |
Objectif
précédent : |
1°) Numération des nombres décimaux. 2°) Classification des nombres décimaux 3°) Propriétés des opérations Net D. |
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Classe 6ème –cinquième- collège :
CALCULS SUR LES NOMBRES DECIMAUX
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Chapitres : |
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1°) Les décimaux –les entiers naturels. (reconnaître ; classification) |
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2°) Valeur approchée. ( troncature, arrondi ;….) |
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3°) Addition (propriétés ;
ordre de grandeur ;….) |
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4°) Soustraction. |
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5°) La multiplication. (Propriétés de la multiplication ; ordre de grandeur d’un
produit ….). |
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6°) Produit d’un produit par un nombre. |
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· Simplification de l’ écriture
d’une suite de calculs par suppression
de parenthèses ou crochets. |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité Devoirs |
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>>> Liste de fiches de travaux |
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COURS
Ceci est le résumé d’un cours dispensé au collège.
Cliquer sur les « info + » ; « pré requis » ,…….. pour avoir des précisions ou pour approfondir..
Info + |
1°) Les décimaux – les entiers naturels. |
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Exemples : soit une suite de nombres
décimaux : 37,15 ; 0,63 ;
0,0003 ; 7,00 ;………….. |
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Dans le nombre décimal : « 37,15 » : « 37 » est appelé :la partie entière et
« 15 » la partie
décimale. |
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Remarque 1 : On obtient une autre écriture
d’un décimal en mettant des zéros à la droite de la partie décimale : Ainsi : « 37,15 » ; « 37,150 » ; « 37,1500 » ;
« 37,15000 » :sont quatre écritures d’un même
décimal. |
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Remarque 2 : De la même façon le nombre
« 37 » peut s’écrire :
« 37,0 » ; « 37,00 » ;
« 37,0000 » ou ………………. Nous avons vu que « 37 » est un entier
naturel ; il peut être considéré comme étant un nombre décimal. ( sa partie
décimale n’est faîte que de « 0 ») |
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Remarque 3 : Au
lieu de dire « entier naturel » , on dit souvent
« entier » ou parfois « naturel » |
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Exercices série 1 : Exemple : On vous donne un extrait de la
liste des entiers naturels . « 0 ; 1 ; 2 ;
3 ; 4 » est la liste
des entiers naturels « x » tels que « x |
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On vous demande : |
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Ecrire la liste des entiers naturels « y » tels que :
y < 5 |
………………………………………………. |
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Ecrire la liste des entiers naturels « z » tels que : 2
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………………………………………………. |
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Ecrire la liste des entiers naturels « t » tels que 6 <
t |
………………………………………………. |
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Ecrire la liste des entiers naturels « u » tels que 9 |
………………………………………………. |
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Ecrire la liste des entiers naturels « v » tels que 3 <
v < 10 |
………………………………………………. |
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Exercice 2 : On vous demande de ranger dans
l’ordre croissant ( symbole à
utiliser : ….< …..) |
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42,57 ;
0,13 ; 0,0069 ; 47,4 ; 7 ; 0 ,1 ; ;
47,31 ; 0,0071 ; 42 , 428 ; 0,2 |
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2°) Valeur approchée. |
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Voici un encadrement de « 537, 268 »
par des entiers consécutifs :
« 537 < 537,
268 < 538 » On dit que : « 537 » est la valeur
approchée à 1 prés par défaut de « 537, 268 » On dit que : « 538 » est la valeur
approchée à 1 prés par excès de
« 537, 268 » On dit que : « 530 »
est la valeur approchée à 10 prés par défaut
de « 537, 268 » On dit que : « 540 »
est la valeur approchée à 10 prés par excès de
« 537, 268 » On écrira : « 530 <
537, 268 < 540 »
à 10 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 100
prés : On écrira :
« 500 <
537, 268 < 600 »
à 100 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 0,1
prés : On écrira :
« 537,2 <
537, 268 < 537,3 » à
0,1 prés . Encadrement de « 537, 268 » à 0,01
prés : On écrira :
« 537,2 6 <
537, 268 < 537,27 » à
0,1 prés . |
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Vocabulaire : |
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« Troncature » :
Les valeurs approchées par défaut sont aussi appelées « troncature » Exemples de troncatures possibles
de « 537, 268 » :
« 537 » ; « 537, 2 » ; « 537,
26 » |
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« arrondi
» : Des
deux valeurs approchées par excès ou par défaut , celle qui est la plus
proche du nombre est appelée
« arrondi » |
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Exemples « d’arrondi » de
« 537, 268 » : « 500 » : «
540 » ; « 537 » ; « 537,3 » , « 537,26 » |
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« ordre
de grandeur » Un ordre de grandeur est une valeur approchée. Mais très souvent , on
choisit pour ordre de grandeur d’un nombre , un arrondi dans lequel tous les
chiffres sont nuls sauf un. Exemples :
pour « 537, 268 » on prendra « 500 » comme ordre
de grandeur. Pour « 3,8 » on prendra « 4 » . Pour « 0,0062 » on prendra
« 0,006 » |
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On vous demande donner une troncature avec deux chiffres après la
virgule de « 81 , 5372 » est égale : « 81 , 53 » Mais remarquez
bien la valeur de la troisième décimale : On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de
« 81 , 5372 » est égale : « 81 , 54 » On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de
« 81 , 5342 » est égale : « 81 , 53 » On vous demande donner arrondir avec deux chiffres après la virgule de
« 81 , 535 » est égale : « 81 , 54 » On remarque qu’il existe une règle à
respecter !!! voir le cours suivant la règle de l’arrondi « à tant
prés ». On vous demande un arrondi à la dizaine prés de
« 157,41 » est « 160 » |
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A revoir |
3°) Addition : |
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1°) Elle est commutative 2°) Il existe un élément neutre qui est
« 0 » 3°) Elle est associative. |
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Exercices . Calculez
le plus rapidement possible après avoir regroupé
les termes de telle sorte qu’il apparaisse des dizaines. ( exemple :
28 + 62 = 90) |
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A = 21 + 17 + 84 + 72 + 53 + 39 + 46 |
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A = ( ……+
…….) + ( ……+ …….) +( ……+ …….) + ……… A = ………………+ ……………….+
………………..+ ……………. A = ……………………. |
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Ordre d’une grandeur d’une somme. |
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Considérons la somme « 37, 432 +
524 ,37 » Un ordre de grandeur de « 37, 432 »
est «40 » ,
un ordre de grandeur de
« 524 ,37 » est « 520 ». Un ordre de grandeur de la somme est alors
« 40 + 520 = 560 » Contrôle en faisant le calcul « 37,
432 +
524 ,37 = » Faîtes de même en complétant le tableau
ci-dessous : |
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Nombre à additionner |
Calcul d’un ordre de grandeur |
Résultat exact. |
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72,438 + 578,61 |
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0,00432 + 0,00067 |
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126837 + 73 842 |
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4°) Soustraction. |
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A retenir : |
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« a » et « b » étant des
décimaux positifs quelconques , le calcul
de « a – b » n’est possible
que si « a > b » |
« a – b = x » signifie que « a = x + b » |
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Après avoir fait des essais ( au brouillon) ,
dites ( en répondant par « oui » ou « non » ) si , dans
l’ensemble des décimaux , la soustraction est commutative ( …non …..)
associative ( …non…)
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Exercice , Série 1 .Heure ,
minute, seconde, sont représentées respectivement par « h » ,
« min » , « s » Calculez ( faire les réductions sachant que « 1 h = 60 min = 60 ‘ ) et « 1
min = 60 s = 60 ‘’ » : |
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5 h 38 min 54 s +
8 h 47 min 23 s = |
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13 h 45 min 37 s - 5 h 29 min 18 s = |
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18 h 14 min 21 s - 7 h 34 min 45 s = |
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Exercice , Série 2 Compléter le tableau donnant les horaires des
trains sur le trajet : Marseille - Paris. |
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Départ de Marseille |
Arrivée à Paris |
Durée du trajet. |
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16 h 56 min |
23 h 7 min = 22 h 67min |
22h 67 – 16 h 56min= 6 h 11 min |
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21 h 52 min |
6 h 29 min |
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20 h 17 min |
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8 h 23 min |
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7 h 14 min |
7 h 58 min |
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Info : 23 h 7 min
= 22 h
+ 1 h +7min = 22 h + 60 min +7min = 22 h 67 min |
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5°) La multiplication. |
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Exercice 1 : |
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On sait que
« 43 |
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« 43 |
43 |
« 4,3 |
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« 4,3 |
« 0, 43 |
«0, 43 |
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« 0, 043 |
« 43 |
« 4,3 |
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« 4300 |
« 0, 043 |
« 0, 043 |
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« 43 000 |
« 0, 000 43 |
« 43 000 |
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« 43 00 |
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Propriétés de la multiplication. |
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1°) Elle
est commutative . 2°) Il existe un élément neutre qui est
……………………..( 1 ) 3°) Elle est associative ;……………………………… 4°) Il
existe un élément absorbant qui
est ( 0 )
.
ainsi pour tout décimal « x » ; « x multiplié
par 0 =
0 » |
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Exercice 2 : Calculez le plus rapidement possible après avoir
groupé les facteurs de telle sorte qu’il apparaisse des nombres tels que
« 1 ; 10 ; 100 ; 1 000 ; (
exemple 4 |
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B
= 5 |
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B = ( …5…. B = ………10 … B = ………300……………………………………………….. |
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Ordre de grandeur d’un produit : |
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On voudrait effectuer la multiplication de « 57 ,
478 par 731 , 59 » , avant d’effectuer
l’opération on vous demande de donner un ordre de grandeur du produit. Un ordre de grandeur de « 57 ,
478 » est « 60 » ,
un ordre de grandeur de «
731 , 59 » est « 700 » Un ordre de grandeur du produit est alors :
« 60 Contrôle : en faisant le calcul « 57 ,
478 |
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Nombres à multiplier |
Calcul d’un ordre de grandeur. |
Résultat exact. |
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84 , 237 |
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0,000
728 |
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41456 |
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Exercices de
conversions. |
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N°1
On vous demande d’exprimer en secondes « 4 h 28 min 43 s » |
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4 h = |
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4 |
14 400
s |
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28 min = |
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28 |
1720
s |
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43 s = |
|
43 s = |
43
s |
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« 4
h 28 min 43 s » |
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contient |
16 163
s |
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N°2 :
On vous demande d’exprimer en minutes « 7 j 15 h 53 min » ( 1 jour = 1 j = 24 h ) |
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Ci contre on vous
présente un
parallélépipède rectangle ( n°1) :dont les
dimensions sont : Largeur
« a » ; longueur
« b » hauteur « c ». Son volume est
égal au produit de : « a |
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A
partir du parallélépipède « n°1 » donné ci-dessus ,
on vous demande dessiner un parallélépipède
«n° 2 » . Le
parallélépipède « n°2 » aura pour
dimensions les dimensions du
« n°1 » multipliés par « 2 » On
va comparer la valeur des volumes. |
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Indication :
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« b »
et « c » sont conservé ; « a » est multiplié par
« 2 » |
«a » et
« c » sont conservé ; « b » est multiplié par
« 2 » |
«a » et
« c » sont conservé ; « b » est multiplié par
« 2 » |
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Soit le
volume = 2 a fois 2 b fois 2c = 2 fois 2
fois 2 fois abc. = 8
fois abc |
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Reprenons
le parallélépipède n°1 : Lorsque
l’on double (
multiplie par « 2 ») les dimensions de ce
parallélépipède on obtient un
autre parallélépipède contenant 8
fois ce parallélépipède. Terminez
le dessin ci contre : ( vérifier) Si
on double les dimensions on multiplie par « 8 » pour obtenir le
nouveau volume…. |
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Autres
exemples :
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On
peut écrire alors |
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(
3 |
(
3 |
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(
3 |
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( 3 |
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3 |
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Il
en serait de même pour n’importe quels nombres. On dira
alors : |
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Etant
donné un produit de facteurs , multiplier le produit
par un nombre , revient à multiplier l’un des facteurs par ce nombre. |
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( a
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Remarque : |
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Cette propriété n’est pas nouvelle
. Elle découle de la commutativité et de l’associativité de la multiplication .( voir dans ce cours ) |
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Exercice : une caisse à la
forme d’un cube de 1 mètre de côté. Combien
de boîtes cubiques de 20 cm de côté peut-on ranger dans cette
caisse ? |
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Réponse
5 fois 5 fois 5 = 125 boîtes |
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Soit
les calculs : |
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· (
5 |
· 5 |
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· (
5 +
4 ) |
· 5 +
( 4 |
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Les
nombres « 5 » ; « 4 » ; « 6 » sont
les mêmes dans les quatre cas ., mais les résultats
sont différents. Expliquez
pourquoi ( oralement ) . Vous
constatez que l’ordre dans lequel on effectue les calculs est très important. |
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A
retenir : Les
parenthèses indiquent que l’on doit effectuer en priorité les calculs
figurant à l’intérieur de ces parenthèses. |
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Dans
les calculs où figurent des multiplications , on
décide, pour simplifier l’écriture , de ne plus mettre de parenthèses autour
des nombres à multiplier. |
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Ainsi : |
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7 + ( 8 |
Le
calcul donne 7 +
8 |
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Complète : ( 4 |
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Conséquence : si dans un calcul ,
il n’y a pas de parenthèses , il faut faire attention à l’ordre dans lequel on effectue les opérations. |
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Ainsi : |
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A = 3 Signifie : A = ( 3 Le calcul donne : A = ….15 …… + 8 + ..140…… + 6
; Le résultat A = ….169 |
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A
retenir : Dans
une suite de calculs où figurent des multiplications ( ou
soustraction) , mais pas de parenthèses , on doit effectuer en priorité les
multiplications. ( On rétablit mentalement les
parenthèses qui devraient figurer autour des nombres à multiplier. On
dit que : La multiplication à priorité sur l’addition.(
ou la soustraction) |
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Série
d’exercices sans parenthèses : Calculez en appliquant la règle
précédente. |
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B
= 6 + 3 |
B = 18 |
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C
= 5 |
C = 33 |
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D =
9 + 4 |
D = 23 |
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E
= 3 |
E =
21 – 16 = 5 |
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F
= 6 + 5 |
F = 6 + 160 + 9 =
175 |
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G
= 7 + 9 |
G = 7 +
27 + 60 = 94 |
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Exemple d’ exercice
avec parenthèses : Calculez
en appliquant la règle précédente. |
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On
vous donne une expression à calculer : H = 7 + 6 |
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On
vous demande de faire les calculs en
suivant les indications : |
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1°) Vous effectuez les calculs dans les parenthèses et vous
réécrivez la ligne en remplaçant le contenu des parenthèses par le nombre que
vous venez de trouver . |
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H = 7 + 6 |
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2°)
Vous réécrivez la ligne en remplaçant les nombres à multiplier par leur
produit effectué . |
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H = 7 + 72 +
60 + 9 |
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3°)
Il ne reste plus qu’à faire les additions…….et exprimer le résultat : |
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H = 7 + 72 +
60 + 9 |
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H = 148 |
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Faîtes
de même pour : M = 10 + (
3 |
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1°) M = 10 + ( 216 ) 2°) M = 10 + 648
+ 5 3°) M = 10 + 648
+ 100 4°) M = 758 |
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Rappel : · Dans une
suite de calculs où figurent des parenthèses, on doit effectuer en priorité
les opérations indiquées à l’intérieur
des parenthèses. · Dans une
suite de calculs où ne figurent
pas des parenthèses, on doit
effectuer en priorité les multiplications et les additions (ou soustractions ) |
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Série 1 d’ exercices. |
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Calculez
en appliquant la règle précédente : |
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4 |
20 + 18 = 38 |
4 + 5
|
37 |
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4 |
4 + 33 = 37 |
( 4 + 5
) |
81 |
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4 |
4 |
4
+ 5 |
49 |
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( 4
|
26 fois 3 = 78 |
( 4 + 5
) |
57 |
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Les crochets : […. ] Les
crochets sont des parenthèses particulières qui s’utilisent quand il y a déjà
des parenthèses à l’intérieur. Pour
effectuer une suite d’opérations où figurent
crochets et parenthèses , on calcule d’abord
l’intérieur des parenthèses ( en commençant par les multiplications ,…)
les crochets deviennent alors de simples parenthèses. |
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Exemple 1: A = [ 5
+ 6 |
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1°)
Vous effectuez le calcul dans les parenthèses . ( Les crochets deviennent des parenthèses ) A
= [ 5 + 6 2°)
Vous effectuez le calcul dans les
crochets . ( Les
crochets qui sont devenus des
parenthèses ) A
= ( 269 ) 3°)
A = 2152
+ 504
+ 6 4°) A = 2 662 |
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Exemple 2:
Calculez comme précédemment B
= [ 4 + 3 B
= [ 4 + 3 B
= [ 4 + 3 B
= [ 4 + 51
] B
= ( 55 ) B
= ( 330 ) + 9 +
( 800 ) B
= 1139 |
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Simplification
de l’ écriture d’une suite de calculs par suppression de parenthèses ou crochets. |
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Grâce
à la règle de la priorité de la
multiplication sur l’addition, «
3 + ( 7 |
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Exercice
3 : |
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Sans
effectuer de calculs , réécrivez en enlevant les
parenthèses et les crochets superflus. |
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C = ( 3 |
C = 3 |
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D = (
4 + 8 |
D = ( 4 + 8 |
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E = 7 + ( 5 |
E = 7 + 5 |
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· Des parenthèses ,ou des crochets peuvent aussi s’enlever grâce
à l’associativité de la multiplication
ou de l’addition. |
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Exemples : 7 + ( 5 + 3 ( 9 + 4 ) |
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Série
d’exercices :
Sans effectuer de calculs
, réécrivez en enlevant si possible
les parenthèses ou crochets. |
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F = 5
+ [ 3 |
F = 5 +
3 |
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G =
[ ( 3 + 5 ) |
G = ( 3 + 5
) |
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H =
[ 3 |
H = 3 |
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J =
( 5 + 7 ) |
J = ( 5 + 7 ) |
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TRAVAUX AUTO
FORMATIFS (devoir formatif)
CONTROLE :
Compléter :