représentations graphiques

Pré requis:
Repérage d’un point : détermination de sa position
Les Statistiques info
ENVIRONNEMENT du dossier:										DOC 6
Index		Objectif précédent : 1°)Des graphiques (primaire) 2°)les tableaux			Objectif suivant : Les graphiques 2°) Les tendances centrale et de position 3°)les caractéristiques de dispersion.		tableau : l°)liste des objectifs 2°)Statistique présentation
DOSSIER : Les représentations graphiques utilisées en statistique. I ) généralités. II) les graphiques de base.( de distribution et de répartition). III ) Les graphiques à échelle arithmétique. (cartésiens et polaires) IV) les graphiques à échelle non arithmétique (logarithmique ;…)
TEST	COURS		Devoir Contrôle	Devoir évaluation		Interdisciplinarité		Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation



COURS

I ) GENERALITES :
1°) Rôle de la représentation graphique. Le graphique est un mode d'expression qui permet "visuellement" de saisir et de mémoriser un certain nombre d'informations . C'est pourquoi , lors de la présentation des résultats statistiques et complémentairement aux tableaux , on utilise souvent une représentation graphique . Cette représentation graphique peut répondre à deux types d'objectifs: a) Etre un moyen de communication et permettre de véhiculer une information. C'est ainsi que certains graphiques figurent dans des articles de magasines et journaux , dans des brochures de présentation de résultats commerciaux ou (et) comptables et même dans certaines publicités . Ceci prouve qu'un bon graphique est souvent plus explicite qu'un long discours. b) Etre un instrument de travail et permettre une vue d'ensemble synthétique du phénomène étudié , ce qui en facilite l'analyse. (voir info plus !!!!)

		2°) Typologie des graphiques.
Selon J. Leurion : En matière statistique, tout graphique est caractérisé par :
		a) La nature de la série qu’il représente :
		- graphiques chronologiques.
		- graphiques spatiaux, quantitatifs ou qualitatifs
		b) Le système de coordonnées qu'il utilise :
		- coordonnées cartésiennes.
		- coordonnées polaires.
		-coordonnées pluri linéaires.
		c) l'échelle retenue :
		-échelle arithmétique.
		-échelle logarithmique.
		-échelle fonctionnelle.
		(Voir INFO Plus !!!!)

3°) Construction des graphiques . D'une façon générale, pour construire un graphique, certaines précautions doivent être prises . a) Déterminer les intervalles de variation de la variable pour en déduire l'échelle adéquate. b) Choisir l'intervalle- unité qui permette de représenter correctement le phénomène et qui assure la meilleure utilisation de l'espace disponible. c) Indiquer de façon apparente le titre et la signification des axes. En conclusion, il ne faut jamais oublier qu'un graphique, pour être utile, doit se suffire à lui- même et dispenser le lecteur de toute référence à un autre document.
II ) GRAPHIQUES STATISTIQUES DE BASE :
Il existe deux sortes de graphique de base: les graphiques de distribution et les graphiques de répartition.
►A) Les graphique des effectifs : (ces graphiques ont pour fonction d’informer sur la distribution) Ce sont les diagrammes à bâtons , les histogrammes et parfois des courbes , ils sont utilisés pour représenter graphiquement des effectifs simples ( valeurs données ou recueillies) simples et des fréquences simples ( valeurs calculées) ►B) Les graphiques de fréquences cumulées : (dont leur fonction est d’informer sur la répartition) Ce sont les graphiques en escalier ou des courbes « cumulatives » , ils informent graphiquement sur les fréquences cumulées . ( valeurs calculées) .
	A) Graphiques des effectifs : ( on distinguera deux cas : lorsque la variable statistique est discontinue et lorsque la variable statistique est continue)
1°) Diagramme à bâtons pour le cas d’une variable discontinue (ou discrète) : La représentation graphique des effectifs d’une variable (ou caractère) discret s’effectuera sous la forme d’ un graphique en bâtons. La valeur observée (recueillie ou donnée) du caractère (ou « variable ») est portée sur l’axe des « x » (abscisses) et l’effectif (valeur recensée) correspondant sera portée sur l’axe des « y » (axe perpendiculaire à l’axe Ox ) appelé « axe des ordonnées » ou « axe des n » L’axe des abscisses sera l’axe des « x_i » et l’axe des ordonnées sera l’axe des « f_i ». Le « bâton » est le segment de droite perpendiculaire à l’axe des Ox , dont la hauteur ( ou sa longueur ) est proportionnelle à l’effectif correspondant. Exemple : la série statistique ci dessous représenté par le diagramme en bâtons , informe sur la façon dont se distribue le personnel (foyer) d’une entreprise en fonction du nombre d’enfants.
																				Nombre d’enfants par foyer « x_i »							Nombre de foyer concernés f_i
																				0							12
																				1							31
																				2							29
																				3							11
																				4							6
																				5							3
Remarque importante : Dans le cas d’une variable (caractère) discrète , il ne faut pas joindre les sommets de bâtons car , par définition, il n’existe pas de valeur intermédiaire entre deux positions de la variable ( caractère)
2°) L’histogramme : Cas d’une variable ( caractère) continue. La représentation graphique des effectifs d’une variable continue est appelé un histogramme.
	On portera en abscisses les valeurs des classes des caractères (variables) , et l’on portera en ordonnées les effectifs correspondants , on dit que l’on représente la « structure de la population étudiée ».
	Pré requis Lycée : au collège il faut savoir calculer l’aire des rectangles , après avoir relevé les dimensions de ces rectangles sur le dessin. Et savoir présenter tous ces calculs en vue de leur exploitation.
Principe de construction de l’histogramme. Pour chaque classe , on élève un rectangle ayant une base proportionnelle à l’intervalle de classe et une hauteur proportionnelle à l’ effectif simple. Dans ce cas, ce sont les « surfaces » , et non les hauteurs , qui « sont proportionnelles à l’effectif ». Dans la pratique, cependant, deux cas peuvent se présenter. Le cas où les classes sont d’égales amplitudes et le cas ou les amplitudes sont inégales.
	Cas 1 : Classes sont d’égales amplitudes.
	Exemples : distribution des salaires de bases mensuels du personnel d’une société.
Histogramme des salaires mensuels en euros :
																		Salaire en € : x _i									Effectifs n_i
																		1000 à 1500									50
																		1501 à 2000									70
																		2001 à 2500									60
																		2501 à 3000									40
																		3001 à 3500									20
																		3501 à 4000									10
																											250
Remarque : l’histogramme est constitué par l’ensemble des rectangles adjacents. Nous pouvons , par exemple, vérifier que le rectangle représentatif de la classe [2501 ; 3000] ( effectif « 40 ») a une surface une fois et demi (1,5) plus grande que celle du rectangle représentatif de la classe 3001 à 3500 ( effectif « 10 ») Nous pouvons vérifier que le rapport des effectifs pour 2 classes (pris au hasard ) et le rapport des surfaces de ces rectangles correspondants sont égaux. Par exemple : Ainsi prenons deux classes : 2501 à 3000 et 3001 à 3500 : Rapport des effectifs : = 1, 5 ; rapport des aires = 1,5 On remarque,si besoin était, que toutes les surfaces sont proportionnelles entre elles en même temps que leur rapports des effectifs correspondants sont égaux. (pour certifier la validité de l’histogramme il faudrait comparer les classes entres elles) . Ce qui n’est pas nécessaire si les classes ont la même amplitude .
	Cas 2 : les classes d’une série sont d’amplitudes inégales.
	Pour respecter la proportionnalité des surfaces, il va falloir, dans ce cas, « rectifier » , en conséquence, les hauteurs.
	Supposons que l’on nous demande d’observer la distribution précédente sur une période de deux années. ( l’entreprise est en expansion……)
	On considère les classes suivantes : 1000 à 1500 ; 1501 à 2000 ; 2001 à 2500 ;2501 à 3500 ; 3501 à 4000 ; 4001 à 4500 . Les données sont ci contre :											Salaire en € : x _i												Effectifs n_i
												1000 à 1500												30
												1501 à 2000												90
												2001 à 2500												120
												2501 à 3500												180
												3501 à 4000												60
												4001 à 4500												30
																								250
L’histogramme ci contre , tracer à partir des données « telles quelles » est faux !! En effet, l’intervalle pour la classe 2501 à 3500 est double des autres , ce qui se traduit , si on ne modifie pas les fréquences, par un manque de proportionnalité entre les surfaces.
	Pour le montrer : on va comparer le résultat des deux rapports : effectifs et aires pour deux classes (prises judicieusement).) A) on calcule le rapport d’effectifs entre la classe 2501 à 3500 ( effectif 180) et la classe (par exemple) 3501 à 4000 (effectif 60 ) : le rapport est égal à , B) on calcule le rapport des surfaces pour ces deux intervalles : 1°)calcul de aire du rectangle de la classe [2501 ; 3500] 45 mm fois 15 mm = 675 mm² (on relève les mesures sur le graphique) 2°)Calcul de l’aire de la classe [3501 ; 4000]) 7,5 mm fois 15 mm = 112,5 mm² 3°) division : 675 mm² / 112 , 5 mm² = 6 On compare « 3 » et « 6 » et l’on constate que les rapports ne sont pas égaux :On en conclut que l’histogramme est faux . Il ne respecte pas les proportionnalité. Décision : l’histogramme est faux , il faut modifier un paramètre pour obtenir à un histogramme « bon »
SOLUTION : On va rendre les classes égales. On remarque que l’amplitude de la classe [2501 ; 3500] est le double des autres classes. Avant de refaire la représentation graphique on va diviser par « 2 » le fréquence correspondant à cette classe. On passera remplacera la classe [2501 ; 3500] par les classes [2501 ; 3000] et [3001 ; 3500] . , et l’on limitera l’effectif de ces classes au même nombre , en divisant l’effectif de la classe [2501 ; 3500] par deux : : 180 / 2 = 90 . Remarque : si l’amplitude était plus que les autres on rectifierait les effectifs par une multiplication. Ce qui nous donne l’histogramme « correct » ci dessous :

Remarque : le segment en pointillé indique la transformation effectuée et met en garde le lecteur sur le caractère « relatif » des effectifs répartis entre les classes 2501 à 3000 et 3001 à 3500 . En effet , si l’on reprend la série statistique qui a servi de base de départ du tableau , on pourrait trouver , par exemple un effectif de 100 pour la classe 2502 à 3000 et de 80 pour la classe 3001 et 3500 . Dans l’ignorance , ou le manque de précision , la répartition se fait « égalitairement ».
	Cas particulier : La pyramide des ages :

	Nous venons d’étudier l’histogramme , c’est en partant des valeurs centrales des classes et de l’histogramme qu’il est possible de tracer le polygone. trave. B) Le polygone des effectifs ou des fréquences :
	Le polygone des effectifs est obtenu en joignant par des segments de droite les milieux des bases supérieures des rectangles ,. Il permet de rendre compte de la continuité du caractère (ou variable). Voir le graphique ci dessous.

	Remarques : 1) l’aire de l’histogramme est égale à l’aire du polygone Cette aire est égale , en prenant l’intervalle de classe comme unité (sur l’axe des abscisses. Pour le polygone des effectifs : on prendra la somme total des effectifs sur l’axe des ordonnées. Pour le polygone des fréquences : on prendra la somme des fréquences ( généralement = à 1) que l’on placera sur l’axe des ordonnées.
	2) il arrive parfois qu’un histogramme présente des « anomalies » sous forme de « puits » (faible effectif dans une classe) ou de « cheminée ».(effectif important dans une classe. ). On s’assurera qu’il ne s’agit pas d’erreurs et il faudra rechercher l’explication de phénomène « a priori » singulier. Ces phénomène de « puit » ou de « cheminée » sont souvent rencontrés sur des série statistiques d’un magasin dont on analyse les prix affichés . On trouvera peut de prix dans un intervalle de prix alors que l’on trouvera une grande quantité de prix dans un autre intervalle.
	C) on vient de voir le polygone des effectifs ou des fréquences. Mais on peut aussi rencontrer les « Courbes des effectifs ou des fréquences ».
	Courbes des effectifs ou des fréquences :
	Lorsque l’intervalle des classes est très petit et les données suffisamment nombreuses, la ligne brisée du polygone tend à devenir une courbe appelée « courbes des fréquences » ou « courbes des effectifs ».
	Remarque :lorsqu’il s’agit de fréquence , o, note cette fonction : f ( x) .

	Etudes visuelles sur l’allure de la courbe concernant la distribution : la plupart des phénomènes rencontrés dans la réalité peuvent être illustrés par l’un des 6 cas de figure suivants.
	Distributions symétriques : on constate une
Grande dispersion.								Moyenne dispersion									Petite dispersion

On trouvera des distributions asymétriques
Courbe oblique à gauche.								Courbe bimodale.									Courbe oblique à gauche.


Dans les graphiques de base on rencontre aussi les graphiques qui portent sur la répartition ce sont les :
	Graphiques de fréquences cumulées																													Info++
On trouvera deux cas : Le cas où la variable ( caractère) est discontinue (représentée par un graphique « en escalier » croissant ou décroissant), et le cas où la variable ( caractère) est continue. (représentée par une courbe soit croissante ou soit décroissante)
	Cas A : Graphique représentant d’une série statistique à caractère discontinu :
	La représentation graphique des Fréquences Cumulées ( FC) d’une variable discrète s’effectue sous la forme d’un graphique en escalier. Les « sauts » correspondent aux valeurs possibles de la variable et sont égaux aux « Fréquences Cumulées Croissantes ou Décroissantes. ( FCC ou FCD). On notera : « Effectifs Cumulés Croissants ou Décroissants. ( ECC ou ECD).
	Exemple : 1997 : On a fait un sondage auprès des 89 foyers d’une citée, on veut étudier la répartition des foyers en fonction du nombre d’écran ( téléviseur ou ordinateur) par foyer.
x_i			Effectifs n_i													Fréquences f _i
			simple				ECC					ECD				simple							FCC					FCD
0			12				12					89				0,135							0,135					1
1			31				43					77				0,348							0,483					0,865
2			29				72					46				0,326							0,809					0,517
3			11				83					17				0,124							0,936					0,191
4			4				87					6				0,045							0,977					0,067
5			2				89					2				0,022							1					0,022
total			89													1

Le graphique ci - dessous montre la répartition croissante. La lecture de ce graphique permet d’identifier la répartition ( absolue ou relative) des foyers ayant « x écrans ou moins » .exemple : 72 foyers possèdent ( ou 80,9 %) au 2 écrans ou moins.

	Répartition décroissante : (voir le tableau ci dessous) :Ici les résultats sont inversés, à savoir « les foyers possèdent « x » écrans ou plus .

	On remarquera , par exemple , que 46 foyers ( soit 51,7%) possèdent 2 écrans ou plus.
Remarque : Lorsqu’il s’agit de fréquences cumulées , on note cette fonction : F (x). Cette dernière est nulle pour les valeurs de « x » inférieures à la plus petite valeur « x₁ » et égal a « 1 » pour les valeurs de « x » supérieures à la plus grande valeur possible « x_k » (ceci pour les fréquences cumulées croissantes. Les fréquences cumulées décroissantes donnent, évidemment, des résultats inversés .

	Cas B : Graphique représentant d’une série statistique à caractère continu : (c’est aussi un graphique de répartition)
	Les fréquences cumulées ( FC) sont aussi soit cumulées croissantes soit cumulées décroissantes.
	►Courbe des fréquences cumulées croissantes : elle se construit en portant les points correspondant à chaque classe à la limite « supérieure » de l’intervalle de classe. Nota : la présence de classes d’amplitudes inégales n’entraîne aucune modification en ce qui concerne la construction de cette courbe., ►Courbe des fréquences cumulées décroissantes : elle se construit en portant les points correspondant à chaque classe à la limite « inférieure » de l’intervalle de classe.
	Exemple : soit le tableau suivant :
	x_i					Effectifs n_i
						Simple							ECC								ECD
	] 10 ; 15 ]					3							3								52
	] 15 ; 20 ]					9							12								49
	] 20 ; 25 ]					12							24								40
	] 25 ; 35 ]					18							42								28
	] 35 ; 40 ]					6							48								10
	] 40 ; 45 ]					3							51								4
	] 45 ; 50 ]					1							52								1
	Il se traduit par les deux courbes suivantes :

On contrôlera l’exactitude du graphique en vérifiant que l’intersection des deux courbes a pour ordonnée la moitié de l’effectif. La courbe cumulative croissante est aussi appelée « fonction cumulative croissante F (x) et elle est toujours monotone croissante. De même : La courbe cumulative décroissante est aussi appelée « fonction cumulative croissante F (x) et elle est toujours monotone décroissante.
	III ) GRAPHIQUES A ECHELLE ARITHMETIQUE ( ils sont au nombre de trois : à coordonnées cartésiennes , à coordonnées polaires , et le graphique à secteurs circulaires).
1°) Les graphiques à coordonnées cartésiennes
	Les graphiques chronologiques. Comme leur nom l’indique, ces graphiques renseignent sur l’évolution d’une série chronologique . Les périodes de temps sont portées sur l’axe des abscisses et les valeurs de la variable (caractère) sont portée en ordonnées. Remarquer que nous n’avons donc pas ici de fréquence.
Exemple 1 : relevé du stock des marchandises « A » le 1^er de chaque mois. Dans le cas de série chronologiques représentative d’un niveau de stock, chaque observation est noté perpendiculairement à la date correspondante. En ordonnée :les unités représentant de la grandeur .
Exemple 2 : dans le cas de séries chronologiques se rapportant à des flux, chaque observation est portée sur la perpendiculaire du milieu de la période. Voir le tableau ci contre représentant un relevé d’un chiffre d’affaires mensuel. En ordonnée, le chiffres d’affaire en milliers d’euros.
Remarque : les graphiques chronologiques permettent d’apprécier une observation récente ou de prévoir l’évolution à court terme d’un phénomène. Des méthodes dites « d’ajustement » mettent en évidence les tendances profondes d’un phénomène, en éliminant, par exemple, les variations saisonnières des observations.

1°) Les graphiques à coordonnées polaires : ( voir repérage d’un point)
	( on trouvera deux modèles : graphique polaire et graphique à secteurs)
Dans ce type de graphique , un point est répété au moyen de l’angle « a » et de la longueur « l » du segment OP. En application de ce principe, on utilise couramment en statistiques les deux graphiques suivants.
a) _{1 :}graphique polaire. Il est très utilisé pour les séries chronologiques, ce graphique est une représentation dans laquelle le temps s’écoule d’une manière circulaire et dans le sens des aiguilles d’une montre. Un vecteur polaire représente une unité de temps pré- déterminée ( un mois , un trimestre , un semestre, etc….)
Exemple : évolution du chiffre d’affaires d’un grand magasin ( en milliers d’euros)

	Nous sommes partis du tableau suivant :
				j	f				m	a	m			j	j				a			s			o	n			d
Année t				27	18				24	25	33			30	28				12			36			41	43			60
Année t₁				31	21				29	27	31			41	32				22			37			36	41			56
Le mois étant l’unité de temps, l’angle formé par deux segments consécutifs est de ( 400 gr./ 12 = 33,33 gr) ou 360 ° / 12 = 30°)
Remarques : le choix de l’échelle doit rendre visibles les fluctuations saisonnières. Plusieurs années peuvent être représentées sur un même graphique, à condition que les données ne se chevauchent pas de trop. Pour clarifier le dessin, il est souhaitable d’utiliser des couleurs différentes pour chaque année.
b) Le graphique à secteurs. ( voir info +)
Le graphique est utilisé pour représenter les séries statistiques non chronologiques . Ce graphique représente les fréquences exprimées en valeurs relatives proportionnelles aux aires des secteurs correspondants. Exemple : le graphique permet une étude de la clientèle d’un magasin de décoration selon la catégorie socio- professionnelle des clients.

	Remarques : Des combinaisons de cercles concentriques permettent de représenter éventuellement des sous - répartitions , comme vous pouvez le voir pour le secteur « sans profession ».
	IV ) LES GRAPHIQUES A ECHELLE NON ARITHMETIQUE.
Pour parler de l’échelle non arithmétique il faut expliquer quelles sont les limites de l’échelle arithmétique. Sur une échelle arithmétique, des longueurs égales représentent des accroissements égaux. Si pour un accroissement de 0 à 5 , la longueur choisie est 3 cm l’accroissement de 30 à 35 sera également représenté par 3 cm . Cette échelle dont la mise en œuvre est simple présente cependant certains inconvénients : - elle entraîne une saturation rapide des graphiques dans la mesure où , par exemple, il est difficile de représenter sur un même graphique un phénomène qui varie de 10 à 15 000 ; - Elle induit un effet subjectif trompeur pour apprécier une croissante. Exemple : soit le graphique, en échelle arithmétique, représentatif de l’évolution du chiffre d’affaires de deux entreprises A et B . En ordonnée : on lit le chiffre d’affaires en million d’euros.

	Une lecture rapide du graphique semble indiquer que la croissance de deux firmes a été identique : il n’en est rien : - la croissance de l’entreprise A est de - la croissance de l’entreprise B est de Pour palier à ces inconvénients, l’utilisation d’autres échelles est parfois préférable ou souhaitable. Ces échelles sont soit « logarithmique » ou « semi- logarithmique »
	Graphique à échelle logarithmique : a) échelle logarithmique. Une échelle logarithmique est une échelle graduée proportionnellement aux logarithmes décimaux ( où logarithmes de base 10) des nombres représentés. C’est à dire que dans cette échelle les puissances nécessaires de 10 sont représentées par des segments proportionnels aux exposants : Exemple :
	10¹					10²							10³								10ⁿ
	1					2							3								n
	La distance comprise entre deux puissances successives est appelée « module ». L’échelle logarithmique met en relief la variation des rapports et peut - être adoptée sur un axe du graphe. ( graphique semi logarithmique) ou sur les deux (graphique logarithmique)

	Nous présentons dans ce document que le cas du graphique semi logarithmique. Ces graphiques utilisent , sur un axe , une échelle arithmétique , et sur l’autre, une échelle logarithmique. En général : - l’ échelle arithmétique est placée sur l’axe des abscisses. - L’échelle logarithmique est placée sur l’axe des ordonnées. Caractéristiques : 1) ces graphiques sont adaptés à la représentation de phénomènes qui subissent des « variations importantes ». 2) Ils mettent en relief les phénomènes qui ont des variations relatives constantes. La courbe représentative est alors une droite. 3) En utilisant les propriétés des logarithmes , on peut sur ces graphiques obtenir rapidement le taux de croissance du phénomène. Exemple de représentation : évolution du chiffre d’affaires de trois sociétés A ; B ; C ( en milliers d’euros)
	Années					A							B								C
	1					55							350								1 000
	2					110							750								2 000
	3					220							1 000								4 000
	4					440							2 000								8 000
						880							2 500								16 000
Voir le graphique ci dessous.

RESUME niv V : Les Principales représentations graphiques étudiées jusqu’au niveau V .Info ++


Type de graphique	Utiliser pour	Description
Diagramme « bâtons »	Série statistique discrète
Histogramme	Série statistique dont les valeurs sont regroupées en classes
Diagramme à secteur circulaire.	Caractère qualitatif.

CONTROLE :

1° ) Combien y a-t-il de types de représentation graphique de données statistiques ?

2° ) Citez deux noms de graphiques cartésiens.

3°) Citez les deux principaux groupes de graphiques en surface :

4°) Deux types de représentations graphiques peuvent se confondre , nommer les .

EVALUATION

INTERDISCIPLINARITE

corrigé CONTROLE :

1° )Combien y a-t-il de types de représentation graphique de données statistiques ?

2° )Citez deux noms de graphiques cartésiens.

3°)Citez les deux principaux groupes de graphiques en surface :

4°) Deux types de représentations graphiques peuvent se confondre , nommer les .

corrigé EVALUATION

corrigé INTERDISCIPLINARITE