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Auteur :
WARME R.
Document interactif
Formateur.
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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TITRE : LA FONCTION AFFINE
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24 / 25 |
DOC : livre
Elève .Cours interactifs - et
travaux + corrigés. |
LA FONCTION AFFINE ; « COURS »N°1
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DOSSIER N°24
INTERACTIF LA
FONCTION AFFINE
« COURS »N°1 / |
Information |
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OBJECTIFS : =Savoir
reconnaître une équation et une représentation graphique d’une
fonction affine. =Savoir analyser une situation « affine » |
I ) Pré requis:
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II ) ENVIRONNEMENT du
dossier :
III ) LECON
n° 24 : LA FONCTION AFFINE
« COURS »N°1 ;
CHAPITRES :
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IV)
INFORMATIONS « formation
leçon » :
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Travaux auto -
formation. |
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Corrigé des travaux auto - formation. |
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Devoir
Formatif « Contrôle : savoir » ; ( remédiation)
et Devoir CONTROLE « affine » |
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Devoir Formatif
« Evaluation savoir faire » ( remédiation) et
Devoir
EVALUATION « affine » |
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* remédiation : ces documents peuvent être
réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .
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Commentaire
Une fonction affine peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :
A) EquationLéquation de
la forme : y = ax +b
C) Tableau de
variation (très difficile )
D) Représentation
graphique. (droite ne passant par "0" )
Cet objectif traite des généralités sur la fonction
linéaire appliquée à l’équation :
|
Si "a" est un
rationnel ( fraction ou écriture fractionnaire) ; "x" est la
variable , « b » est appelé « constante » . |
y = 
x
+ 2
Notation
mathématique de la fonction affine :
f : x 
x
+ 2
Traduction en langage
littérale : « fonction » où
« x » () " a
pour image" « » fois « x » plus deux.
Ce que l'on peut dire de
« x
+ 2 » :
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« |
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"2" est
un nombre appelé "constante"
il remplace la lettre "b" |
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« |
|
« x » est la
variable de la fonction. |
On dira :
Que
la fonction affine de coefficient
« »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x
+ 2 ».
L’équation représentant de
la fonction affine est une équation du
premier degré à deux inconnues de la forme y = x+2
REMARQUE :
Bien entendu dans l'
équation : y = ax
+ b il faut que "a" soit différent de zéro ; au cas ou nous
aurions une autre équation qui sera de
la forme :
y = 0x + b
soit y = + b
Voir
l'étude du cas particulier :
|
Etude de la fonction
: y
= b |
(En règle
général : il est construit à partir
d’une équation (calculs) , ou à partir
d’un tracé (relevé des coordonnés de points)
)
Le
graphe d ' une fonction
affine est de la forme :
G
= {( x1 ; ax1+b) ; (x2 ;ax2+b) ;
......... }
Commentaire:
Le graphe est un ensemble de couples de
nombres (ou suite);du type : (
x ; a x + b )
le premier nombre est
attribué à « x » (valeur choisie)
le deuxième nombre est
obtenu , après avoir remplacé "x" par la valeur précédemment choisie
et avoir fait le calcul « ax + b».
Exemple d' application :
On
donne l'équation y = x+2
On remarque que :
l'équation est de la forme
"affine" (on reconnaît la forme
y = ax+b)
avec « a » valant
et "b" valant
2 ;
On en déduit que :
le couple "type" du graphe aura la
forme et sera noté : ( x ; x+2
)
modèle
mathématique :
ce qui donnera pour l' équation : y = x+2 ;
le graphe sera
de la forme
G = {( x1 ;
x1
+ 2) ; (x2 ; x2
+ 2 ) ; ......... }
Si l'on choisi des
valeurs pour "x" on peut alors construire des couples de
nombres et ainsi obtenir un graphe de cette
"fonction"
Construction d’un couple de nombres (à
partir d’une équation) :
Si l’on
donne une valeur à « x »
(exemple : 9 )
on obtient un autre nombre en utilisant l’équation y = x+2 ;
(y = 
9+2 ; y = (18 :3 ) +2 ; y =
6 +2 ;
y = 8)
c'est ainsi que nous obtenons le premier couple de nombres du
graphe de la fonction « x
+2 » : (9 ; 8)
On remarque que l’on peut
citer un couple particulier de la
forme: (0 ;b ) ; on a donné la valeur "0" à
"x"
Conclusion :
le graphe représentant l ’
équation y = x
+ 2 est G = {( 0 ; 2) ;
(9 ; 8 )}
Exemples des représentations graphiques types
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Construction dans un repère cartésien:
I ) à partir
d’un graphe :
soit le graphe obtenu
précédemment G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 )}
,ces deux couples de nombres permettent de tracer la représentation
graphique de la fonction .
Procédure : reporter les deux
points ; A ( 0 ; 0) ; B (9 ; 8 )
remarque : Dans un repère cartésien , pour le
couple (x1 ; x1+2)
à x1 on associe l’abscisse « x » appartenant à
l'axe des "x"
à « x1+2 »
on associe l’ordonnée « y1 »
; appartenant à l'axe des "y"
Si on analyse
ce graphe : G = {( 0 ; 2) ; (9 ; 8 ) }
On reconnaît que la droite
passe par le point y = 2 pour x = zéro ,
on peut dire le second couple de
nombres (9 ; 8 ) est de la forme
(x ; ax+b ) ; à démontrer ce qui n'est pas évidence au prime abord .
On dit qu’il y
a « variation » de « y » en fonction des valeurs de
« x » .
On sait que l’on obtient la valeur de « y » en fonction de la valeur de
« x » , ainsi si
« x » varie de valeur
alors « y » doit varier en fonction de « 
x+ 2 » ,
On
dit aussi : que l’on trouve les valeurs de
« y » en fonction des valeurs
de « x » ; on note
ce propos par : y = f
(x)
On
a le droit d’écrire que f(x) = y = x+2
Exemple :
Nous pouvons regrouper les couples de nombres calculés
à partir de ( x ; x+2)
Présentation du tableau de variation:
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A |
B |
C |
O |
D |
E |
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x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
+1 |
+3 |
+6 |
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|
y = f(x) |
0 |
1,25 |
4/3 |
2 |
+8/3 |
+4 |
+6 |
|
Les coordonnées du point
A peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement
A (xA
,yA)
yA
Exemple : Les coordonnées du point « A » se
notent :
A -3 ou A ( -3
, 0 )
0
Commentaire :
A chaque point (A ; B ;.....) est associé
les deux nombres qui serviront de coordonnées dans la représentation graphique.
Pour faire la
représentation graphique dans un repère cartésien on prend dans le tableau ,au minimum, deux points (
A (-3 ;-0); O (0; 2) ; on trace la droite passant par ces ceux
points ; on choisi un troisième point et
l'on vérifie si il est bien sur la
droite tracée précédemment :
E(+3 ;+4).......)
( voir comment remplir un tableau
numérique dit aussi de
variation)
|
Exemple de représentation graphique de
l’équation y = |
La représentation graphique
d ’ une équation passe par la recherche
de plusieurs couples de nombres ,utilisés comme coordonnées .
Deux
points suffissent pour tracer la droite ;plus un troisième qui servira de
moyen de vérification (il doit se trouver sur cette droite ).
la représentation graphique de la fonction
linéaire est une droite (noté xx
+2) , où l’ensemble des points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les
couples de nombres (x ; x+2
)
Caractéristiques de cette représentation
graphique :
n
c’est
une droite (D)
n
cette
droite passe par un point particulier d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (2) , noté (0 ;2).
(cette remarque est importante si l'on veut faire un changement de
repère ,par translation de l'axe des
abscisses et pour rechercher la pente de
la droite)
n
elle
possède un point caractéristique ; à
d’abscisse valeur « 1 »
correspond la valeur de « » ;
noté P : (1 ; 
)
« »
s’appelle coefficient directeur de la
droite affine , c’est un nombre
relatif :
|
Exemples de représentation graphique de la
fonction f (x) = |
|
A) Représentation graphique de la
fonction f (x) = |
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|
B) Représentation graphique de la
fonction f (x) = |
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Vous pouvez remarquer que :
Nous avons
« élargi » l’intervalle de « x » .
En A : nous avons construit la droite dans les « x » positifs.
En B : nous avons construit la droite en prenant
des valeurs de « x » négatives et positives.
Nous avons pris un repère
orthonormé ( les axes sont
perpendiculaires et les graduations sont
de même longueur.)
|
V
) FONCTION "Croissante" ou "décroissante" ? |
Par convention:
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Si le nombre "a" est « positif » ,dans la représentation graphique la
droite monte de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est
« croissante ». Exemple : y = |
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|
Si le nombre
"a" est « négatif
» ,dans la représentation graphique
la droite "descend" du haut gauche vers le bas "droit" ,on
dira que la fonction est « décroissante »., Exemple : y = - |
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Exemple d’une représentation graphique
croissante et décroissante. D1 est la droite représentante de l’équation : y = + D2 est la
droite représentante de l’équation : y = - |
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Remarque : >0 ;
la droite est « croissante »
Le coefficient
directeur « »
est un nombre relatif . c’est le coefficient directeur de la droite de la
fonction ou « pente » .
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La pente est un nombre
décimal
Calcul de la
pente :Nous avons déjà vu ce type de calcul dans le cours 23/25 niveau V@
.
Se souvenir que
calculer la pente d’une droite c’ est
calculer la tangente d’un angle , angle formé par cette droite et une autre droite « parallèle » à l’axe des « x » appelée aussi
« horizontale ».
La tangente
d’un angle est égale au rapport de la longueur du coté opposé à l’angle sur la
longueur du côté adjacent à cet angle .
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Pente = AB / BC
= tangente de l’angle C |
Pente = PA /
OA =
tangente de l’angle O |
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Exemple numérique : On
doit calculer de la pente de droite passant par A et B . On vérifie que le repère
est orthogonal ( ce sera toujours le
cas en formation niveau V et IV) AC est parallèle à l’axe
des « x ». ( appelée : horizontale) BC est parallèle à l’axe
des « y » . ( appelée : élévation) Les axes « x »
et « y » sont
perpendiculaires , donc AC et BC sont perpendiculaires , on peut
conclure que le segment AB est
l’hypoténuse du triangle rectangle
ABC. Calcul : On désigne AC l’
horizontale et BC l’élévation. BC = 3 et
AC = 4 Tangente de l’angle
A : La pente de la droite (
notée « a ») . = 0,75 Conclusion la droite « affine » est une équation de la
forme y = ax
+ b Dont on connaît la valeur de « a » = 0,75 |
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Leçon |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur |
|
N°24 |
LA
FONCTION AFFINE |
Pré
requis :
Qu’appelle -t - on « tableau de variation » ?
Que désigne le mot
« variable » ?
- Donnez l
’ équation type (modèle mathématique) représentant la fonction affine
- Que peut-on représenter à partir d'une équation représentant la fonction affine ?
- Soit la notation « a x + b » , comment nomme
- t - on « a » ; « x » et « b » ?
- Donnez la forme des couples qui forment eux mêmes le graphe de la
fonction affine
- Donner les deux couples caractéristiques qui forment le graphe de la fonction
affine
.
- Représenter le tableau de variation de la
fonction affine; précisez ce qu’il « contient ».
- Définissez
« la représentation
graphique » de la fonction affine;
- précisez ,(en citant les caractéristiques
principales et les placer dans
un repère cartésien.)
- De combien de façons peut-on reconnaître une fonction dite « affine » ?
TRAVAUX N°23 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION
Soit
les fonctions :
|
y1 = 2x +1 |
y2 = - 2x +0,5 |
y3 = 3x -1 |
1°) Dans un repère cartésien
orthonormé ; Faire la représentation graphique de chaque
fonction.
|
A l' équation y1 = 2x +1 |
On associe la droite D1 (lire :droite indice 1) |
|
A l' équation y2 = - 2x +0,5 |
On associe la droite D2
(lire :droite indice 2) |
|
A l' équation y3 = 3x -1 |
On associe la droite D3 (lire :droite indice 3) |
2°) En étudiant le graphique , donner les
coordonnées du point d’intersection des deux droites D1 et D2;
3°) Ensuite : avec un rapporteur donner la valeur
de l’angle faite par deux demi droites,
quel commentaire pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par
rapport à l’autre.
INTERDISCIPLINARITES : Voir problèmes de
la vie quotidienne (transport avec forfait )