(il y en a trois)

Attention : « a » doit être différent de zéro.

= 1                     ;  Attention : « a » doit être différent de zéro.

=  a

=  0                     ;  Attention : « a » doit être différent de zéro.

On donne le nom de fraction algébrique ou frac­tion littérale à l'indication entre deux monômes ou polynômes, d'une division qui en général ne peut s'effec­tuer exactement ; telles sont les expressions

 ;                   ;                       

Tous les principes et toutes les règles que nous avons développés en arithmétique sur les fractions nu­mériques sont applicables aux fractions littérales et reposent sur cette même proposition fondamentale : que l'on peut toujours multiplier ou diviser les deux termes d'une fraction par une même quantité sans altérer la valeur de celte fraction, c'est-à-dire qu'on a toujours l'égalité    a , b et m   représentant des quantités quelconques.

En effet, en représentant par q  le quotient, quel qu'il soit, ou la valeur de la fraction  on aura  et comme le dividende a   est égal au diviseur multiplié par le quotient, on en déduit   a =  b q  .

En multipliant les deux membres de cette dernière égalité par la même quantité m, elle ne sera nullement détruite et don­nera

am = bq m  ou   am = bm x q, d'où l'on tire, en divisant par bm,

On déduit de ce principe la simplification des frac­tions algébriques, ainsi que la réduction de plusieurs fractions au môme dénominateur.

Simplification. Elle consiste à débarrasser les deux termes d'une fraction de tous les facteurs qui leur sont communs. Ainsi, on aura

par la suppression de 5a³x³.  (facteurs  communs au numérateur et dénominateur)

De même ,  qui est la même chose  que    et donne , par la suppression des facteurs communs (a + 2b) ;

Info +

Réduction au même dénominateur

On effectuera cette réduction en multipliant en général les deux ter­mes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres ; mais ici, comme en arithmétique, il ne faut pas négliger le cas où des facteurs communs aux divers dénominateurs permettraient d'obtenir un dénominateur commun plus' simple en prenant le plus petit multiple. Alors le dénominateur commun à plusieurs fractions se composera de tous les facteurs gui entrent dans les dénominateurs des fractions données, pris une seule fois, mais avec l'exposant h plus élevé. Ainsi, par exemple, soit à réduire au même dénominateur les frac­tions suivantes :

Pour former le plus petit multiple qui soit divisible par chacun des trois dénominateurs ci-dessus, nous prendrons tous les facteurs différents que contiennent ces dénominateurs, lesquels sont 3, 4, a, b, c, et nous leur donnerons l'exposant qu'ils ont dans le terme où cet exposant est le plus élevé pour chacun d'eux, ce qui fournira le produit suivant pour le dénominateur com­mun aux fractions proposées :

3 x 4 x a³ x b³ x c¹ = 12 a³b² c⁴

Maintenant, pour effectuer la réduction demandée, il suffira de multiplier les deux termes de chaque fraction par le quotient qui existe entre le dénominateur commun 12 a³b² c⁴ et son dénominateur propre, c'est-à-dire qu'on multipliera les deux termes de la première fraction par  4 b² c²  ( pour devenir  la fraction équivalente :   ) les deux termes de la seconde par 3 ac⁴  ( pour devenir  la fraction équivalente :        )    ', et les termes de la troisième par a³b (pour devenir la fraction équivalente  : .

Alors les fractions proposées deviendront :  ;   ;    

Info Arit.

ADDITION DE FRACTIONS :

Règle :   Pour ajouter (additionner)   plusieurs  fractions entre elles, il faut les réduire d'abord au même dénominateur, faire ensuite la somme des numérateurs et donner à cette somme le dénominateur commun ; ainsi :

Info Arit.

SOUSTRACTION  DE FRACTIONS :

La soustraction ne peut s'opérer sur les numérateurs qu'après toutefois que les deux fractions ont été réduites au même dénomina­teur ; on aura donc

Info arith. Mul.

MULTIPLICATION  DE FRACTIONS :

On fait le produit de plusieurs fractions en multipliant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Soient les deux fractions   et   : représentons la   valeur de la première par p, celle de la seconde par q,   ,   et posons         et 

 ce qui donne a = bp    et  m =  nq      

Mais si les deux quantités a    et m       sont respectivement égales aux deux autres bp et nq, le produit , des deux premières égalera aussi le produit des deux autres, et l'on aura :

          a  x m = bp x  nq, ce qui revient à    am   =  bn x pq ; et enfin, en divisant par la   .quantité    bn, on aura :

  donc

Info.arith. div

DIVISION  DE FRACTIONS :

On effectue la division d'une fraction par une autre en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée,

Soit à diviser les deux fractions    par       et représentons le quotient  par q    ; nous aurons :       :     =   q  

Ou bien  ( en multipliant à gauche et à droite ; les deux membres par   )     on peut écrire :      =   q   x 

En réduisant au même dénominateur, on tire de là : 

<ft supprimant le dénominateur commun bn, on ne  troublera pas l'égalité, et l'on aura :      an = bm x q  ; * enfin, en divisant de part et d'antre par bm, cette der­nière égalité donne :

ce qui prouve la règle énoncée.

Remarque.  Dans les démonstrations ci-dessus nous avons admis que les deux termes des fractions proposées étaient positifs ; mais, s'il en était autrement, la règle n'en serait pas moins vraie,

    Il est important de rappeler à cette occasion que la valeur absolue d'une fraction algébrique est indépendante des signes de ses termes, et que, de plus, cette valeur est positive si les deux termes ont le même signe, et négative s'ils ont des signes contraires, c'est-à-dire qu'on aura, dans la division algébrique (chapitre : règle des signes),

  et   

ce qui prouve que l'on peut changer les signes  des deux termes d'une fraction sans altérer sa valeur.

Réduire an même dénominateur les fractions suivantes :  ;  ;

Réduire au même dénominateur les fractions :  ;   et

Ajouter les fractions :   et 

Additionner :   et 8 unités 

Trouver la différence des fractions :  ;

Quelle est la différence de :  à  -x ?

7.    

Quel est le produit de 7 par  ?

Faire  le produit de  par

Diviser la fraction   par 

Trouver le quotient de  par – 9

Multiplier :   par    et simplifier le produit.

Diviser  :   par 

Faire le produit de    par

Diviser    par

Trouver que dans une fraction proprement dite  , c'est-à-dire dans le cas où   a < b  , on a toujours les inégalités :

 <    et   >