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Les FRACTIONS dites « RATIONNELLES » :

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Définition. On appelle « fraction rationnelle » le quotient de deux monômes ou polynômes.

Exemples :  ;  ;

Le dividende est le numérateur de la fraction, le diviseur est son dénominateur ;le numérateur et le dénominateur en sont les deux termes.

@ info 1   ;   rappel :Info 2

SIMPLIFICATION.

Le premier problème qui se pose est évidemment d’écrire une fraction rationnelle sous la forme la plus simple, c’est à dire de la simplifier.

Une fraction rationnelle sera d’autant plus simple que ses deux termes seront de plus petit degré. De même que pour une fraction numérique, pour simplifier une fraction rationnelle, on divisera ses deux termes  par un même facteur.

Pour cela , on essaiera de mettre ses deux termes sous forme de « produits de facteurs ». On pourra alors simplifier la fraction s’il y a au numérateur et au dénominateur un facteur commun.

Exemples :

   ( le produit de facteurs communs est :  3 a²b⁴c² )

  =    =    ( après factorisation on trouve le facteur commun (x-y)

  =   =

REMARQUE 1 :

Il faut bien faire attention de ne pas supprimer un même terme au numérateur et au dénominateur si ceux-ci n’ont pas été mis sous forme de  produits.

Par exemple :  il ne faut pas écrire :   =    

en supprimant « a² » aux termes car, en procédant ainsi, on retranche « a² » aux deux termes et on n’obtient pas une fraction équivalente. ( pour vérifier qu’il n’y a pas égalité donner par exemple à « a  = +2»  et « b= + 3» il suffit ensuite de faire le calcul. Dans chaque membre)

REMARQUE 2 : Il arrive fréquemment qu’on peut mettre immédiatement un des termes d’une fraction sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré de la forme (x -a ) ( x - ³ ) …….

Il est alors naturel de se demander s’il est possible de mettre en facteur dans l’autre terme l’un des binômes  (x -a ) ( x - ³ ) …….

*

Soit par exemple la fraction :

                                                A =

Examinons si dans le numérateur « N » on peut mettre  « x- 1 » en facteur, c’est à dire s’il existe un polynôme « N’ » tel que l’on ait quel que soit « x » :

                                           N = ( x - 1) N’

S’il en est ainsi, pour « (x - 1 ) N’ = 0 »  donc « N = 0 »

Or pour « x = 1 ; N = 1 - 3 - 5 +14 ; donc dans « N » on ne peut certainement pas mettre « x-1 » en facteur.

Voyons de même si dans « N » il est possible de mettre « x-2 » en facteur.

Le même raisonnement que précédemment nous prouve que pour qu’il en soit ainsi il faut que « N » s ‘ annule pour « x = 2 »

Pour « x = 2 » , on a « N  = 8  - 12 -10 +14 = 0 » donc dans « N » on peut peut - être mettre « x - 2 » en facteur. Pour voir si cela est effectivement possible , nous allons essayer de mettre « N »  sous la forme d’une somme de binômes dans lesquels on peut mettre « x-2 » en facteur .

 Avec le premier terme « x³ » il faudrait «  -2x² » ; on aurait ainsi « x ³ - 2 x²  =  x² ( x - 2) »  

Comme dans « N » on a « -3x² »  ( et  non pas « -2x²) il faut ajouter « -x² »  

Avec  « -x² » il faudrait « 2x » , on aurait ainsi : - x² + 2x = - x ( x - 2)

Comme dans « N » on a « -5x » (et non pas « 2x ») il faut ajouter « -7 x »

Finalement il reste donc - 7 x + 14 = - 7 ( x -2)

Les calculs précédents se résument ainsi :

                              =    ( x - 2 ) ( x² - x - 7 )

Nous  pouvons donc simplifier la fraction « A » et écrire :

 A =   =

Info @

REDUCTION AU MEME DENOMINATEUR.

On peut prendre pour dénominateur commun le produit des dénominateurs.

Soient par exemple les deux fractions :

              et

La 1^ère  est équivalente à    et la seconde  à

Il est souvent possible de trouver un dénominateur commun plus simple que le produit des dénominateurs.

Pour  qu’une expression  puisse être prise comme dénominateur commun, il suffit qu’elle contienne en facteur chacun des dénominateurs des différentes fractions.

On pourra former le dénominateur commun en utilisant une règle analogue à celle  utilisée pour les fractions numériques : ( @ info) On décompose les dénominateurs eu produits de facteurs et on fait le produit de tous les facteurs , communs ou non communs , chacun d’eux étant pris avec son plus  fort exposant .

EXEMPLE 1  : Réduire au même dénominateur :

   et 

On pourra prendre comme dénominateur commun   ( a + b ) ³ ( a - b )³

Les deux fractions  données sont équivalentes à :

   et 

EXEMPLE 2  : Réduire au même dénominateur :

 ;    et 

Mettons les dénominateurs sous forme de produits .

      x²  - 1 = ( x +1) ( x - 1)

      x²  - 4 = ( x +2) ( x - 2)

      x³  - 3 x² + 2x = x ( x² - 3x +2 )

Regardons si dans le trinôme « x² - 3x + 2 » on peut mettre en facteur l’un des facteurs des deux premiers dénominateurs.

Pour   « x = 1 » ; on a  x² - 3x + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Donc , dans ce trinôme il est peut-être possible de mettre « x-1 » en facteur.

En procédant comme nous l’avons vu pour   A =   nous écrirons :

               x² - 3 x + 2 = x² -x - 2x +2

                                 =  x ( x-1) - 2 ( x -1)

                                 = ( x - 1 ) ( x - 2 )

Donc  x³ - 3 x² + 2x = x ( x - 1) ( x - 2)

Finalement, on prendra pour dénominateur commun  « x (x-1)(x+1)(x-2)= x ( x²-1) ( x² - 4) et les fractions données sont respectivement  équivalentes à :

@ INFO

OPERATIONS .

Les opérations sur les fractions rationnelles se font en appliquant les mêmes règles que pour les fractions numériques.

Exemple 1  Calculer l’expression :

   A =

Les deux fractions se simplifient    et on a :

                                     A         =  

           =

                                                =    

                                                 = 

Exemple2 : Calculer l’expression :

                                               A =

Nous prendrons pour dénominateur commun :

                              ( a - b) ( b - c) (c - a)

A =

Regardons si le résultat obtenu peut se simplifier. Pour voir si dans le numérateur « N » on peur mettre « a -b » en facteur , remplaçons « a » par « b » ; on obtient :

*                             b ² ( c -b) + b² ( b- c) + c² × 0 = 0

Dons dans « N » on peut « peut être » mettre « a - b » en facteur .On a :

N =   a² c - a²b + b² a - b² c - c² ( a -b)

                                        =  c( a² - b² ) - a b ( a - b) - c² ( a - b)

                                    = c ( a- b) ( a + b )- a b ( a - b ) - c² ( a - b)

                                        = ( a - b) ( ac + b c - a b - c² )

Donc               A =             

Pour  b = c , le numérateur « N’ » s’annule .

Il est donc , peut - être possible de mettre «  b -c » en facteur dans « N’ ».On a :

    N’  = a ( c - b ) + c ( b - c)

         = ( b - c ) ( c - a)

Finalement                     A = 1

Exemple 3 .            Calculer l’expression :

                                     A  =   

La 1^ère fraction est égale à :

      = 

Donc    A = 

                 =  

                 =  

              A  = x

« Rationnelles » : les expressions algébriques quelconques et simplification.

Quelque soit le degré de complication apparente d’une expression algébrique, on arrivera à lui donner une forme plus simple, à la condition d’être méthodique , de n’opérer les transformations successives que sur des fragments de l’expression proposée, fragment mais aussi peu importants que l’on voudra.

Exercice 1 : Transformer l’expression :

        qui est de la forme  «  »

Solution : 

Nous nous occupons de  E₁  =   =  Réduisons tous les termes   au même dénominateur « 4 + 2x »

            ,   ;

Occupons nous de   E ₂  = x – x ² + 2 x ³   =   x ( 1- x ² + 2 x ² )     

Nous savons que qui est de la forme  « E =   » s’écrit :  E =    =   . 

Simplifions par   ( 1- x ² + 2 x ² )  qui n’est jamais nul ( à voir plus tard)

E =         avec :   x 0  et   x -2

Exercice 2 : Transformer l’expression :

Indications :

Travaux auto formatifs.

DEVOIR : Voir chapitre par chapitre.

CONTROLE :

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EVALUATION

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