Pré requis:
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ENVIRONNEMENT du
dossier:
AVANT :
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APRES :
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1°)Compléments d’Info :
2°) liste des domaines des
mathématiques |
PREPARATION CONCOURS
niveau VI ; V ; IV ; Résumé des cours
sur le calcul avec des réels et
d’algèbre.
Travaux ; devoirs
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Corrigé
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Devoir : sur
les calculs avec les nombres « réels » |
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Contrôle |
évaluation |
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COURS
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1°) Généralités : |
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N : ensemble des entiers naturels N = 0 ; 1 ; 2 ;
3 ; 4 ; 5 ; 6 ;…… |
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Z :
Ensemble des nombres entiers relatifs Z = ….. ( -3) ;
(-2) ; ( -1) , 0 ; ( +1) ; (+2) ; (+3) ; … |
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D ± :Ensemble des décimaux relatifs |
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R : Ensemble des nombres Réels ]
- "‑ ; +"‑ [ |
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L
‘ Ensemble des nombres réels : R± |
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NOMBRE DECIMAL RELATIF :un nombre
décimal non nul se compose d’un signe + ou -
, et d’un nombre décimal appelé « valeur absolue » du nombre décimal relatif .
Exemples de nombres décimaux relatifs
: ( - 4,8 ) nombre décimal relatif négatif ( + 4,8 ) nombre décimal relatif positif LES
PROPRIETES des opérations dans D : PROPRIETES DE L ‘ADDITION DANS « D± »
(
Info ++++) -
Commutativité : a + b = b + a -
Associativité ( a + b ) + c =
a + ( b + c ) = a + b + c -
Elément neutre : a + 0 = a
et 0 + a = a PROPRIETES DE LA MULTIPLICATION DANS « D± » -
Commutativité : a -
Associativité ( a -
Elément neutre : a DISTRIBUTIVITE DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT A
L’ADDITION : -
a (
b + c ) = ab + a c -
( a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd REGLES DE
SUPPRESSION DES PARENTHESES 1) Dans une suite d’additions et de soustractions , si une parenthèse est précédée du signe
plus : -
on supprime la
parenthèse et le signe + qui la précède ; -
on écrit alors les
nombres intérieurs à la parenthèse sans rien changer. Exemple : 5 + [ (
-4,5) + 3,8 – 5 ] = 5 – 4,5 + 3,8 – 5 2) Dans une suite d’additions et de soustractions , si une parenthèse est précédée du signe
« - » -
on supprime la
parenthèse et le signe « - » qui
la précède ; -
on écrit alors les
nombres intérieurs à la parenthèse en changeant leur signe. Exemple : 5 – [ ( -4,5) + 3,8 – 5 ] =
5 + 4,5 - 3,8 + 5 |
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2.1 Définition Une puissance d’un nombre est le produit d’autant
de facteurs égaux à ce nombre qu’il y a d’unités dans l’exposant de la puissance . Exemples : 2 4 = 2 Cas particuliers : a 3
= a a 2 =
a a 1
= a l’exposant 1 ne s’écrit pas , par
convention a 0 = 1 a1/2
= a1/3
= 2.2 Puissance
d’un nombre relatif .
« Toute puissance d’un nombre
positif est positive . » exemples :
( + 4 ) 4 = ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) = + 264
( + 2 )3 = (
+ 2 ) ( + 2 ) ( + 2 ) = + 8 «
Les puissances d’un nombre négatif
sont positives si l’exposant est pair , négatives si
l’exposant est impaire » exemples :
( - 4 ) 4 = ( -4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) = + 264
( - 2 )3 = (
- 2 ) ( - 2 ) ( - 2 ) = - 8 2.3 Opérations sur les puissances d’un nombre relatif. 1) an exemple :
( -4 ) 2 ( + 5 ) 2) ( a m ) n =
a m exemple [ ( - 4 ) 2]4 = (
-4 ) 8 3)
( a b )n = a n exemple :
[ ( -4 ) ( +2 ) ]4 = (
- 4)4 ( + 2)4 4)
exemple :
5) exemples : Note : écrire toujours des puissance positives . Exemple : écrire 6) exemples : Note sur les
puissances de 10 : 104 =
10 10n = 1
suivi de « n » zéro 10-n
= 0 , 000 ….01 (
« n » chiffres derrière la virgule ) exemples : 10 9 = 1 000 000 000 10-9
= 0 ,
000 000 001 Exercices sur les puissances : Simplifier les expressions suivantes :
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3.1 Définition la racine carrée d’un nombre est un autre nombre
dont le carré est égal au premier. Exemple : 82 = 8 Notation : Par convention on écrit Note : le nombre sous le radical doit
toujours être supérieur ou égal à 0 :
remarques :
3.2 extraction
de la racine carrée. (voir cours) Extraction d’une racine carrée de nombres
décimaux : Pour extraire la racine carrée d’un nombre décimal , on extrait d’abord la racine carrée de la
partie entière et on continue à
abaisser des tranches de deux chiffres décimaux , les tranches partant de la
virgule aussi bien pour la partie
entière que pour la partie décimale : Exemples de calculs :
3.3 Propriétés : 1) Exemples :
2) Exemples :
3.4 Calcul sur les radicaux . Exemples 2
= 2 = 3 |
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= 0,092 à 0,001 près
+ 5
+
+
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la racine
nième d’un nombre « a » est un 2ème nombre
« b » tel que bn = a Notation :
Exemples :
Exercices sur les racines : 1)
Calculer la racine
carrée de 78,48 à 2)
Mettre sous forme la
plus simple possible
3) calculer : 5
= 5 =10 = 0 4) simplifier :
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5.1 – Définition une fraction est un symbole qui permet d’indiquer
le résultat d’une mesure ou d’une comparaison. Notation :
Note : le dénominateur d’une fraction doit
toujours être différent de 0 . 5.2 Propriété fondamentale lorsqu’on multiplie ( ou
divise) les 2 termes d’une fraction par un même nombre ( sauf zéro ) , on
obtient une fraction égale à la première . Exemple : Note : par convention ,
la fraction En généralisant : 5.3 Simplification
. Pour simplifier une fraction ,il suffit de diviser ses 2 termes par leur PGCD ; on obtient alors une fraction irréductible
égale à la fraction donnée . Note sur le Plus Grand Commun Diviseur ( PGCD) Le
PGCD de plusieurs nombres est
le plus grand des nombres qui les divise
tous exactement . Pour trouver le PGCD de 2 ou plusieurs nombres , il suffit de : -décomposer chaque nombre en produits de facteurs
premiers. -faire le produit de facteurs communs affectés de
leurs plus petits exposants. Exemple : recherche du PGCD de 18 ; 54 ; 126
18 = 2 le PGCD = 2 Application aux fractions : rendre
irréductible
225 = 32 PGCD = 3
5.4
Réduction des fractions au même dénominateur
. Pour réduire des fractions au même dénominateur . Pour réduire des fractions au même dénominateur ,
il faut : -
simplifier chaque
fraction s’il y a lieu ; -
chercher le PPCM des
dénominateurs ; -
multiplier les 2
termes de chaque fraction par un
coefficient convenable , de manière que le nouveau
dénominateur soit égal au PPCM. Note sur le Plus Petit Commun Multiple ( PPCM) Le PPCM de 2
ou plusieurs nombres est le plus petit nombre qui soit exactement divisible par les nombres donnés . Pour le déterminer , il faut : -Décomposer chaque nombre en produits de facteurs
premiers . -Faire le produit de tous les facteurs différents
affectés de leur plus grand exposant . Exemple : rechercher le PPCM de 84 et 90 Application aux fractions : rendre
irréductible
84 = 22 PPCM
= 22 Application aux fractions : réduire au même dénominateur :
45 = 32 PPCM
= 23 Donc :
5.5
Addition et
soustraction de fractions : Pour additionner
( ou soustraire) plusieurs fractions ,
on les réduit au même dénominateur , on additionne ( ou soustrait) les
numérateurs entre eux et on conserve
le dénominateur commun. Exemple 1 : = Exemple 2 : = = 5.6
Multiplication des
fractions Pour multiplier
2 fractions entre elles , on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux . Exemple :
Note :
avant d’effectuer une multiplication de fraction , il faut
simplifier s’il y a lieu .
5.7
Division de
fractions : Pour
diviser 2 fractions
, on multiplie la fraction dividende par l’inverse de la
fraction diviseur . Exemple : Exercices
sur les fractions : 1)
Rendre
irréductible :
PGCD = 32 Donc :
PGCD = 23
Donc :
2)
Effectuer l’opération
suivante :
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=
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6- MONOMES – POLYNOMES-
FACTORISATIONS 6.1 Monômes 6.1.1 Définition : Un monôme est une
expression algébrique dans laquelle les seules opérations à effectuer sont
des multiplications et des élévations à une puissance . Exemples :
3 x2 ; 2ab ; ….. Dans
« 3x2 »
« 3 » est appelé « coefficient numérique » et
« x2 »
« partie littérale » 6.1.2 .- Somme algébrique de monômes semblables . Note : des monômes sont dits
« semblables » si leur partie littérale est la même . Exemple :
4 x2 + x2 + La somme algébrique de monômes semblables est un
monôme semblable dont le coefficient
numérique est la somme algébrique des coefficients numériques des monômes donnés . 6.1.3 – Produit de deux monômes exemples : ( 3 x ) Le produit de plusieurs monômes est un
monôme : -
dont le coefficient
numérique est le produit des coefficients
numériques ( en observant la règle des signes
) ; -
dont la partie
littérale comprend toutes les lettres contenues dans les monômes
, chacune d’elles étant
affectées d’un exposant égal à la
somme de ses exposant dans les facteurs . 6.1.4 –Quotient de deux monômes : exemple ou
= 2 |
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6.2.
Polynômes : |
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6.2.1
Définition Un polygone est une somme algébrique de monômes. Exemple : 3 x
–4 ; -x2 +3 x – 4 ; x2y – 2 x y + x y2 Soit le polynôme : 3 ax2 - 1 + 6x + 5 – 3x – a x2 Devant cette somme algébrique de monômes semblables
, il est nécessaire de grouper les monômes semblables : =3 ax2 - 1 + 6x + 5
– 3x – a x2 = 2 ax2 + 3x + 4 On a opéré la réduction des termes
semblables .(voir factorisation
SOScours) Un polynôme doit toujours être
réduit et ordonné . 6.2.2
ADDITION de polynômes . La
somme de plusieurs polynômes s’obtient
en écrivant leurs termes ( avec leurs signes ) les
uns à la suite des autres . Exemple : A
= + a2 + 2a – 1 ; B = +
3 a ² - 6 a + 7 A + B = + a2 + 2a – 1 + 3 a ² - 6 a + 7 = 4
a² +- 4 a + 6 6.2.3
- Soustraction de deux polynômes
. Généralement pour gagner du temps on applique les 2 règles pratiques suivantes . - une parenthèse précédé du
signe « + » peut – être supprimée sans que les signes contenus à
l’intérieur de cette parenthèse
soient modifiés . -
une parenthèse
précédé du signe « + » peut – être supprimée à condition de changer
tous les signes contenus à l’intérieur de cette parenthèse
. Exemple :
A = x² -x +1 ; B = 2x² +x –3 ; C = 5x² - 4x +4 A + B – C =
(x² -x +1 ) +( 2x² +x –3) - ( 5x² - 4x +4) = x² -x +1 + 2x² +x –3 - 5x² + 4x - 4 A +
B - C = 2x² +4x - 6 6.2.4
– Multiplication de polynômes ( SOS Rappels) -
Produit d’un polynôme par un nombre ou «monôme » Pour multiplier un polynôme par un monôme ,
on multiplie successivement
chaque terme du polynôme par le monôme
. Exemple : -3a ( 2a + b ) =
(-3 a) (2a) + -(3a) ( b) = -6a²
- 3ab -
Produit de 2 polynômes Pour multiplier deux polynômes , on multiple chaque terme du premier par chaque
terme du second . Exemple : ( x
+ 1 ) ( 2x +
3) =
( x 2x ) + ( 3 fois x ) + ( 1 fois 2x) + ( 1
fois 3) =
2x² + 3x + 2x + 3 =
2x² + 5x + 3 6.3
.- Identité remarquables Certaines identités , très souvent utilisées
, sont qualifiés de
remarquables ; elles doivent être connues de mémoire . Pour tout réel , a , b , c , on a ( a + b ) ² = a ² + 2a b + b² ( a - b
) ² = a ² - 2a b + b² ( a + b ) ( a – b) = a² - b² ( a + b
)3 = a 3 + 3 a² b + 3 ab² + b 3 ( a - b )3 = a 3
- 3 a² b + 3 ab² - b 3 a3
+ b 3 = ( a + b ) ( a² -
ab + b2 ) a3 - b 3
= ( a - b )
( a² + ab + b2 ) |
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6.4
Factorisation La factorisation est l’opération inverse du
développement :
Factoriser un polynôme , c’est le décomposer , quand cela est
possible , en un produit de 2 ou
plusieurs facteurs . Dans certains cas , la
factorisation peut-être
effectuée à l’aide des identités
remarquables : x4 - 1 = ( x²)² - 1 ² = ( x² +1) ( x² -1) Ici le polynôme ( x4
– 1 ) a été décomposé en produit
de 2 facteurs Mais bien souvent les identités remarquables ne
sont pas utilisables , il faut alors trouver un
facteur commun à tous les termes du
polynôme. 16 a + 16 b + 16 c = 16 ( a + b + c ) 4 a² + 5 a3+ a6 = a²
( 4 + 5 a + a4 ) ici le « a² » est commun à tous les
termes du polynôme car on peut écrire : 4 a² + ( 5a
« fois » a² ) + ( a4
« fois » a² ) Exercices sur les monômes ; polynômes –
factorisation Monômes : Calculer
Polynômes :
Factoriser les expressions suivantes :
7_ FRACTIONS RATIONNELLES ( on dit
aussi : expression algébrique rationnelle fractionnaire ) 7
.1 – Définition Une fraction rationnelle est une fraction dont
les 2 termes sont des monômes ou des polynômes . Exemple : 7.2
Propriété
fondamentale Lorsqu’on multiplie ou divise les 2 termes d’une fraction rationnelle par une
expression algébrique non nulle , on obtient
une fraction rationnelle égale. Exemples :
7.3. Simplification des fractions rationnelles. Pour simplifier une fraction rationnelle
, il faut diviser ses deux termes par un facteur commun non nul . a)
les deux termes sont
des monômes les deux termes sont divisés par le facteur « x » ; avec « x
différent de 0» b)
l’un des termes est
un polynôme , l’autre un monôme .
les deux termes ont été divisés par le facteur
« x² » ( x
¹ 0 ) c)
les deux termes sont
polynômes
les 2 termes ont été divisés par le facteur ( x+1) ; avec
x ¹ -1 8
.4 Réduction au même dénominateur Même
procédure que pour les fractions ordinaires : -
Simplification des
fractions. -
Choix d’un
dénominateur commun qui sera un produit de facteur divisible par chacun des dénominateurs . -
Réduction de chaque
fraction au dénominateur commun en multipliant les 2 termes par un même
facteur convenable . Exemples :
7.5
Addition et
soustraction des fractions rationnelles . Même règle que pour les fractions
ordinaires : -
Réduction au même dénominateur . -
Addition ou
soustraction des numérateurs . -
Maintien du
dénominateur commun . Exemples :
= |
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7.6
– Multiplication et
division des fractions rationnelles Mêmes
règles que pour les fractions ordinaires : -
pour multiplier des
fractions rationnelles
, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux . -
Pour diviser 2
fractions rationnelles
, on multiplie les
numérateurs entre eux et les
dénominateurs entre eux . -
Pour diviser 2 fractions rationnelles
, on multiplie la première par l’inverse de la seconde ; Note : Toujours simplifier les fractions avant d’
effectuer les produits. Exemples Simplification ( x² -1 )
= ( x+ 1)( x-1 ) Þ Simplification par ( x+1)
avec « x » ¹ ( -1)
simplification par x² ( x
¹ 0 ) et ( x-1) ( x¹ 1) Exercices sur les fractions rationnelles ; 1°) simplification : simplifier les
fractions rationnelles ci –dessous
2)
Additions et soustractions
. Effectuer les opérations suivantes et simplifier.
3)
Multiplications et
divisions Effectuer les opérations suivantes et simplifier .
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8-
EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE les équations du 1er degré à une
inconnue sont de la forme : 2x
+ 7 = 5 x + 3 ( « x »
est l’inconnue) Pour résoudre une équation du 1er degré à une
inconnue , on doit « isoler » l’inconnue dans un des 2 membres
. Pour cela , on a 2 règles : a)
On peut
ajouter ou retrancher une même
expression aux deux membres d’une équation . Exemple : pour avoir tous les
« x » dans le premier membre
et tous les nombres , on va additionner aux 2
membres de l’équation ci dessus : ( 2x + 7 = 5 x
+ 3 ) les termes ( -5x ) et ( -7) ainsi :
2x + 7 = 5 x + 3 ( -5x ) + 2x + 7 = 5
x + 3 + ( -5x ) ( l'égalité reste vraie) -3 x
+ 7 + (-7 ) =
+ 3 + ( -7) (après simplification , l'égalité reste
vraie) -3x = -4 (après simplification , l'égalité reste
vraie)
b)
On peut
multiplier les 2 membres d’une équation par un même nombre différent de zéro . Exemple :
Û x = Exemple de résolution
d’équation :
On met tout sous le même dénominateur (4) : On chasse le dénominateur : 30x + 8
-21x = 12x +1 30x – 21
x – 12x = 1 – 8 Û - 3x = -7 on divise les 2 membres par (-3) ; ou on
multiplie par - 3x x = Equations qui se ramènent au premier degré : ( x – 3 ) ( x + 4 ) = 0 Pour que le premier membre soit nul , il faut et il suffit que l’un des facteurs soit qui
le compose soit nul . x-3 = 0 Û x = 3 x+4 = 0 Û x = -4 Þ 2 racines : S = Equations
où l’inconnue figure au
dénominateur :
cette équation n’a de sens que si ( x – 1) est ¹ 0 Þ x ¹ 1
On multiplie les 2 membres de l’équation par 2(x-1) 8 +
3x –3 = 7x –7
3x-7x = - 7 + 3 – 8 -4x =
-12 x = Cas particuliers : 3x – 7 = 5x –4 –2x + 11 Û 3x – 5x + 2x = 7 – 4 +
11 Û
0x = 14 0 =
14
ß
impossible S = exemple : 3x –
7 = 5x –4 –x + 11 –3 –x –5 –6 : 3 x – 5x + x
+x = 7 –4 +11-3 –5 –6 Û 0 x = 0
Û 0 = 0 vraie Quel
que soit « x » Þ S =
R ( réels) Exercices : Résoudre :
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= 3
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8
.- INEQUATION 1er DEGRE 1 INCONNUE Une inéquation est composée de 2 termes et d’un
signe d’inégalité : ³ supérieur ou égal £ inférieur ou égal >
supérieur strictement <
inférieur strictement exemples : exemples : 7x + 5
³ 6 ; Comme pour une équation ,
il faut isoler « x » d’un côté
du signe . Pour cela , on peut additionner
aux 2 membres un même nombre ou multiplier les 2 membres ( tous les termes)
par un même nombre . Note : si on multiplie
les 2 membres ( tous les termes) par un nombre
négatif , il faut inverser le signe
d’inégalité
. Exemple : 9x + 7 < 15 x + 4 Û 9 x
- 15 x < 4 –7 ; Û -6x < -3 Note : pour enlever ( -
6) devant x , on multiplie les deux membres ( ici 2 termes) par ( x >
+ Interprétation du résultat : x³ 8 L’ensemble de solution
contient tous les « x » supérieur ou égal à « 8 » . Notation : [
8 ; +¥ [ x£ 8 L’ensemble de solution contient tous les
« x » inférieur ou égal à « 8 » .
Notation : ] - ¥ ; + 8 ] x> 8 L’ensemble de solution contient tous les
« x » supérieur à « 8 » .
Notation : ] 8
; +¥ [ x<8 L’ensemble
de solution contient tous les « x » inférieur à « 8 » . Notation : ]
- ¥ ; + 8 [ Exercice : résoudre :
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10. - SYSTEME D’EQUATIONS
DU 1er DEGRE A 2 INCONNUES. Les systèmes d’équations du 1er degré
à 2 inconnues sont de la forme :
4x-3y =
15 Il admettent en général une solution
, il existe plusieurs méthodes de résolution , nous en retiendrons
2 : en
retiendrons 2 : -Résolution par addition. -Résolution par substitution. 10.1 Résolution par addition : règle : a) Multiplier les 2 membres de chaque équation par des nombres choisis de
telle façon que les coefficients de l’une des inconnues deviennent symétriques . b)-Additionner les 2 équations membre à membre . c)
Résoudre l’équation obtenue . d)
Calculer la valeur
numérique de l’autre inconnue . Exemple : Reprenons le système cité plus
haut :
4x-3y =
15 a)
rendre symétrique les
coefficients de l’une des inconnues :
4x-3y =
15 ß
4x -3y
= 15 b)
Additionner les 2
équations membre à membre : -4 x +-10 y + (4x -3y) =
-2 + 15 Û - 13 y = 13 c)
résoudre l’équation
obtenue : - 13 y = 13 Û y = - Û y = - 1 d)
Calculer la valeur
numérique de l’autre inconnue ; on remplace ,
dans l’une des équations , y par sa valeur : 2x + 5
( -1) = 1 Û
2x = 1 + 5 Û
x = |
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10.2 – Résolution par substitution règle : a)
Calculer l’expression
de l’une des inconnues en fonction de
l’autre dans l’équation la plus simple . b)
Substituer à l’inconnue choisie ,
DANS L’AUTRE EQUAION , l’expression ainsi calculée . c)
Résoudre l’équation
obtenue. d)
Calculer la valeur de
l’autre inconnue en utilisant
l’expression calculée .
7x- 5y = 16 x +
11y = 14 a)
Calculons
« x » dans la 2ème équation : x
+ + 11 y = 14
Û x = 14 – 11y b)
Substituons cette expression à « x » dans la
1ere équation : 7 ( 14 - 11 y )
- 5 y =
16 Û 98 – 77y –5y = 16 c) Résolvons l’équation : 98 – 77y –5y = 16 Û - 82 y = - 82
Û y = 1 c)
Utilisons cette
expression pour calculer « x »
X = 14 – 11 Û x = 3 Exercices :
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= 1
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11.6 EQUATION DU
2ème DEGRE A UNE INCONNUE |
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On appelle « équation du second degré à une
inconnue » ; toute équation de la forme : ax² + b x + c = 0 Une équation du 2ème degré est incomplète quand l’un des
coefficients « b » ou « c » est nul . Si le coefficient de « a » = 0 , elle se ramène à une équation du 1er
degré . 1)
Calcul du
discriminant : D = b² - 4ac 1er cas : Si D > 0 ,
l’équation a deux racines distinctes . 2ème cas : Si D = 0 ; l’équation a une racine double. 3ème cas . Si D < 0 ,
l’équation est impossible . ( voir les complexes) 2)
Calculs des
racines : Si D >
0 : 1ère racine
x’ = 2ème
racine : x’’ = si D = 0 Racine double : x’
= x’’ = si D <
0 pas de résolution de l’équation Exercices sur les équations du 2ème degré à une inconnue.
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= 0|
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CORRECTION Exercices : Monômes – Polynômes –
Factorisation
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Calculer
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Polynômes :
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Factoriser les expressions suivantes :
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