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Auteur : WARME R.
DOSSIER FORMATION
ELEVE.
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année
scolaire : ……………………… |
Dossier pris le : ……/………/……… |
Validation de la
formation : O - N
Le :
…………………………………….. Nom du
formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT : ………………………………………….. |
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23 / 26. |
DOC :
livre Elève .Cours interactifs - et travaux + corrigés.
|
FL3 : LA FONCTION
LINEAIRE :Ses modèles de
représentation mathématique ; passage d’un modèle à l’autre .
|
DOSSIER N°23 /
INTERACTIF/LA FONCTION
LINEAIRE |
Information
« TRAVAUX
d’auto - formation »
/Cliquer sur le mot !. |
Il faut traiter dans l’ordre :
|
MODELES
MATHEMATIQUES de représentation
de la fonction linéaire |
Cet objectif traite des
généralités sur la fonction linéaire :
Une fonction linéaire
peut s’identifier à partir de quatre modes de représentation :
I
)
Equation
II
)
Graphe
III ) Tableau de variation (de proportionnalité)
I
V ) Représentation graphique.
Dans ce cours nous prenons l’équation:
y = 
x est pris
comme exemple.
(elle est de la forme « y = a x
» ; dans l’exemple
« a » = ; » 0, 67 )
Les transformations possibles :
|
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Equation
|
Graphe
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Tableau
|
Représentation graphique
|
Equation
|
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|
Graphe
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|
|
Tableau
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Représentation graphique
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On peut obtenir une équation
à partir : d’un graphe ; d’un tableau
de proportionnalité ; d’une représentation graphique.
L’ équation de la fonction linéaire est de la forme y = ax
La notation mathématique de la fonction
linéaire f : x
ax
traduction en langage
littérale : « fonction »
où « x » a pour image « a » fois « x ».
Ce
que signifie : « a
x »
« a » est un nombre donné, (bien entendu différent de
zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour
« 0 » multiplié par « x » égal « 0 » ) ;
«a» est appelé « coefficient
directeur » dans la représentation graphique .
« x » est la variable de la fonction.
Exemple :
y = x est une équation d’une fonction linéaire
parce qu’elle est de la forme y = ax
la fonction se notera f : xx
traduction en langage
littérale : « fonction »
où « x » a pour image « » fois
« x ».
Ce
que signifie : « x »
«»
est appelé « coefficient directeur »
dans la représentation graphique . « x »
est la variable de la fonction.
On dira :
La fonction linéaire de coefficient
« »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x ».
L’équation représentant
de la fonction linéaire est une équation
du premier degré à deux inconnues de la forme y = x
Plus
généralement : (on dira
que J
L’équation
représentant de la fonction linéaire est
une équation du premier degré à deux inconnues de la forme y = a x ; « a » étant le
coefficient de l’équation de la fonction linéaire
Le rapport de « y » sur « x » est , pour la
fonction linéaire, égal au rapport
« x »
sur « x » ;
Dans la fonction
linéaire ce nombre est constant il est égal à «»
Ce nombre «»
est appelé « coefficient de proportionnalité » ;
Le tableau
s’appellera « tableau de proportionnalité ».
A ) Obtention d’
une équation à partir d’un graphe
CALCUL DE
« a » à partir d’un couple
de nombres représentant une fonction linéaire :
En vue d’obtenir une équation de la forme y = ax
On analyse le graphe : G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ; (9 ; 6 ) }
On reconnaît que la droite
passe par zéro .on peut dire le
troisième couple de nombres (9 ; 6 ) est de
la forme (x ; ax) ;
Nous pouvons en déduire que le
graphe représentant une fonction linéaire est
d’équation y = ax .
;le nombre
« 9 » est la valeur de « x » ;le nombre
« 6 » est la valeur de « y » ;nous remplaçons ces
valeurs dans l’équation ( y =ax devient 6 = a 
9 , nous en déduisons que a =
, après simplification a =
nous concluons :
le graphe G = {( 0 ; 0) ; (3 ;2) ;
(9 ; 6 ) } donne l’équation de la fonction linéaire y = x
B
) Obtention d’
une équation à partir d’un tableau de proportionnalité
On nous donne le
tableau suivant :
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
On nous déclare que le tableau est un tableau de proportionnalité !
On sait qu’en
faisant le calcul du rapport 
on trouve une valeur à « a »
Ainsi on prend
un point ( E )
on identifie x = 2 et y = 6
On fait le
calcul : 
= a = 3
Donc si
« a » = 3; l’équation de la fonction linéaire représentant le tableau
sera y = 3x
Vérification : les couples de
nombres forment une suite de
rapports ; ils faut vérifier si ils forment une suite de nombres
proportionnels ou une suite de rapports égaux
= ?
= 
= ?
= 
= ?=
= ?== ?=
il faut faire les calculs ! ! !
ou voir la « somme des rapports
égaux »
C ) Obtention d’
une équation à partir d’une
représentation graphique.
|
On choisit un
point et l’on relève ses coordonnées : Le point A à pour
abscisse x =+10 ; et pour
ordonnée y = + 5 Il faut faire
le rapport de Conclusion : la droite à
pour équation y = 0,5 x |
|
On peut obtenir un graphe à partir : d’une équation ;
d’un tableau de proportionnalité ; d’une représentation graphique.
Le graphe est un ensemble (ou
suite) de couples de nombres du
type : ( x ;
ax)
le
premier nombre est attribué à « x » appelé « variable »
le
deuxième nombre est associer au produit
« ax ».
Si « a » vaut ,le couple aura la forme et sera noté :(
x ; x)
le Graphe de la fonction linéaire se présentera sous
la forme :
G = { ( x1 ;
ax1) ; (x2 ;ax2 ) ; ......... }
A ) Construction
d’un graphe à partir de l’équation : y = x
Obtention d’un couple de nombres (à partir d’une équation) :
On
donne une valeur à « x »
(exemple : 9 )
on obtient un autre nombre en utilisant l’équation y = x ; (y = 9
=(18 :3 ) = 6)
en
résumé : si « x » = 9
alors x
= 6
nous obtenons le premier couple de
nombres du graphe de la fonction « x » : (9 ; 6)
On remarque que l’on peut
citer un couple particulier :
(0 ;0) (
en effet si « x » = 0 alors x
Nous
obtenons un premier modèle mathématique de la forme :
G = { ( 0 ; 0 ) ; ( x1 ;
x1) ;
(x2 ; x2
) ; ......... }
le couple (x1 ; x1) dans un repère cartésien signifie :
qu’ à x1 on associe l’abscisse « x »
qu’ à « x1 »
on associe l’ordonnée « y1 »
En modèle « limité » nous
pouvons utiliser le graphe suivant :
le graphe
représentant l ’ équation y = x est G = {( 0 ; 0) ; ( 3 ; 2 ) ;(9 ;
6 ) ; }
deux points suffissent , le
troisième point servira pour vérifier si le tracé est « bon »
soit le graphe
obtenu précédemment G = {( 0 ; 0) ;
(9 ; 6 )}
ces
deux couples de nombres permettent de tracer la représentation
graphique de la fonction .
B) Obtention d’un graphe à partir d’une
représentation graphique .
|
|
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9
) ; ......... }
C) Obtention d’un graphe à partir d’un
tableau de variation
On nous donne le
tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Pour construire
le graphe il suffit de reprendre les couples de nombres dans l’ordre croissant de « x » ;
ce qui donne le graphe :
G = { ( -3 ; -9) ; (-2 ;-6 ) ;
(-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0 ) ;
(1 ; 3 ) ; (2 ;6 ) ; ( 3 ;9 ) }
Plus
généralement on dira :
que
le Graphe de la fonction linéaire est de la forme :
G = {( 0 ; 0
) ; ( 0 ; 1 ) ; ( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2
) ; ......... }
Ce graphe est « fini » si il est obtenu à partir d’un
tableau ; il est « infini » si il est obtenu à partir d’une équation ou d’une
représentation graphique.
Avec comme les
deux couples particuliers :
( 0 ; 0 )
et ( 1 ; a )
|
III) TABLEAU de variation
dit « tableau de proportionnalité » |
(regroupant les
couples ( x ; ax) )
On
peut obtenir un tableau de proportionnalité à partir d’ un graphe: d’une équation ;; d’une représentation
graphique.
Voir Fonction généralité « tableau de variation » :
A ) On peut obtenir un tableau de
proportionnalité à partir d’ un graphe
Soit le graphe :
G = { ( -3 ;
-9) ; (-2 ;-6 ) ; (-1 ;-3 ) ; ( 0 ; 0
) ; (1 ; 3 ) ; (2
;6 ) ; ( 3 ;9 ) ; ......... }
On
place les couples de nombres dans le tableau suivant :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Le
tableau de variation sera :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
B) On peut
obtenir un tableau de proportionnalité à partir d’une équation.
Soit
l’équation y = 3x
1° )On trace le tableau :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
2°)
on choisit des valeurs pour « x »
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
a x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
3°)
on donne la valeur à « a » , et l’on
effectue tous les calculs pour trouver « y ».
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y = 3x |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
Conclusion :
Le
tableau de proportionnalité représentant la fonction : y = 3x est :
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Remarque :
le tableau peut se réduire à 3 colonnes de valeurs : (
suffisant pour tracer une droite)
|
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
3 x |
x |
|
-2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
y |
|
-6 |
|
0 |
3 |
|
|
C ) On peut
obtenir un tableau de proportionnalité à partir d’une
représentation graphique.
|
1er cas : Le tableau peut être donné , dans ce cas il reste à rechercher les valeurs numériques sur le
tracé 2ème cas : Il faut
construire le tableau : le nombre de points ,
donc de coordonnées à « rentrer » dans le tableau sera au minimum
de « 3 » , ( 2 pour tracer la droite , un troisième qui vérifie
que ce point appartient à cette droite (pour vérifier l’ alignement
des trois points) |
|
|
Sur
la droite on place des points que l’on nomme :
A ;B ; C ; O ;D ;E ;F
Le nombre de
points est déterminé à partir de contraintes
imposées ! !
Exemple : on doit tracer le
tableau .
On trace le tableau : le nombre de points est donné ou dicté par le tracé. ( ici il y a 7 points) donc 7 couples de données .
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Nota : 1 point = 1 couple de valeurs = les coordonnées d’un point = 1 valeur
pour « x » appelée « abscisse » et 1 valeur pour
« y » appelée « ordonnée »
Le
tableau est « rempli » à partir des valeurs trouvées sur la droite : Pour
chaque point on relève son abscisse et son ordonnée
|
|
A |
B |
C |
O |
D |
E |
F |
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
-9 |
-6 |
-3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
Par
exemple : on trouvera sur le repère
(cartésien) les coordonnées du point
A : (-3 ; -9 )
Ces valeurs peuvent se noter soit horizontalement soit
verticalement :
A -3 ou
A (-3 ; -9 )
-9
A chaque point (A ;B ;.....)
est associé les deux nombres qui serviront de coordonnées !!!!!!!
Plus généralement : Modèle de tableau de proportionnalité :
|
|
|
A |
O |
|
B |
C |
|
D |
E |
|
|
|
|
relation |
x |
xA |
0 |
1 |
Valeurs
choisies de la variable |
|
||||||
|
« ax » |
y |
yA |
0 |
a |
Valeurs «des
« y » obtenues par calcul |
|
||||||
xA et yA
sont les coordonnées du point A
ces valeurs peuvent se noter verticalement :
A xA ou horizontalement A (xA ,yA)
yA
|
IV )
Représentation graphique d’une fonction linéaire : |
On peut obtenir
une représentation graphique d’une fonction linéaire, à partir :
- d’une équation ,
- d’ un tableau de
proportionnalité ou
- à partir d’ un
graphe.
A ) Obtention d’
une représentation graphique à
partir d’une équation
Dans ce cas , on calcule : on attribue des
valeurs « simples » à « x » ; on obtient
« y »
Ces valeurs peuvent être placées dans un tableau de
« proportionnalité ». ou utilisées immédiatement ,
on place alors des points A ,B , C ,
…. dans le
repère.
Exemple :
Soit l’équation y = 3 x
La représentation graphique d ’ une équation passe par la recherche de plusieurs couples de nombres ,utilisés
comme coordonnées .
Deux points suffissent pour tracer la droite ;plus
un troisième qui servira de moyen de vérification (il doit se trouver sur cette
droite )
L’ensemble des points A, B ,C ,D, .... ont pour coordonnés les couples de nombres ( x ; 3x ) .
On peut tracer et remplir un tableau :
|
|
O |
A |
B |
|
x |
0 |
1 |
2 |
|
y |
0 |
3 |
6 |
On place les points dans le
repère ;…:
|
B A O |
Eventuellement , on joint ces
points !!!!! On obtient une
droite.
B ) Représentation graphique d’une fonction
linéaire à partir d’un graphe :
Soit G = { ( 0 ; 0 ) ; (1 ; 3 ) ; (2 ; 6 )
} ( supposons
qu’il est été obtenu avec l’équation 
)
Procédure : A chaque couple on attribue une lettre
majuscule :
Le premier couple représente les coordonnées du point
« O » : O (
0 ; 0)
; Le deuxième couple représente
les coordonnées du point « A » : A (1 ; 3 )
Le troisième couple servira de « vérificateur » si x
= 2 ; y = 6
Représentation graphique :
voir la représentation graphique précédente.
C ) Représentation
graphique d’une fonction linéaire à
partir d’un tableau :
On donne le tableau suivant
:
|
|
O |
E |
A |
B |
|
x |
0 |
+1 |
+3 |
6 |
|
y |
0 |
+2/3 |
+2 |
4 |
Le
coefficient est > 0 ; on dit que la droite représentative de la fonction est « croissante »
Pour effectuer la représentation il suffit de tracer un repère ( tel
que OI = 1 cm et Oj
= 1 cm) et l’on a placé les points O ;A ; B , ensuite on a décidé de tracer une droite passant par ces trois points qui doivent être alignés.
Activité : placer
le quatrième point « E » et
vérifiez qu’il se trouve sur la droite.
Observer le tracé de la droite d’équation ci dessous : et comparer le tracé avec celui ci dessus .
Ci dessous
, on a choisi d’utiliser une repère cartésien ortho - non normé. ( info
@) ( tel
que OI = 1 cm et Oj
= 2 cm)
Commentaire : sur le « a » de
l’équation de la forme y = a x .
|
Exemple soit l’équation |
Modèle théorique ( forme de l’équation) y = a x |
|
Le coefficient directeur « |
Le coefficient
directeur « a » est un nombre relatif . |
|
« n Coefficient de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient directeur de la droite de la fonction
linéaire. n Coefficient directeur de la droit d’équation y = |
« a » peut s’appeler : n Coefficient de proportionnalité (dans le tableau) n Coefficient directeur de la droite de la fonction
linéaire. n Coefficient directeur de la droit d’équation y =a
x ; dans la représentation graphique |
|
Dans un repère
cartésien « orthogonal » ;
dans la représentation graphique de l’équation y = « |
Dans un repère
cartésien « orthogonal » ;
dans la représentation graphique de l’équation y =a x : ► « a » est appelé « pente de la
droite ». On verra dans
un autre cours que : ► La « pente » étant appelée aussi
« tangente » ; la pente
est obtenue en effectuant le rapport
de « y » sur « x ». |
« tangente et pente »
Voir suite du cours ( chapitre
V ) et qui concerne les relations
trigonométriques dans un triangle
rectangle ( Condition : le repère
doit être orthonormal est cartésien)
Plus généralement :
On retiendra :
Les caractéristiques de la représentation
graphique d’une fonction linéaire
sont :
n c’est une droite
(D)
n cette droite
passe par l’origine « O » d ’ abscisse (0)
et d’ordonnée (0) , noté (0 ;0)
n elle possède un
point caractéristique ; à
d’abscisse valeur « 1 »
correspond la valeur de « a » ;
noté P :(1 ; a)
« a»
s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est un nombre relatif :
Remarques :
si « a »
est « positif » ,dans la représentation graphique la droite monte de la
gauche vers la droite ,on dira que la fonction est « croissante ».
si « a »
est « négatif » ,dans la représentation graphique la droite descend du
haut gauche du repère vers le bas
droite ,on dira que la fonction est « décroissante ».
( info +++)@
|
|
« a » est positif : la droite monte en partant de la gauche vers la droite. « a » est négatif : la droite descend en partant de la gauche vers la droite. |
|
V ) RELATION entre « a » et la « pente » et « la
tangente » et « coefficient directeur de la droite » |
« a /1 »
est aussi appelé « PENTE » et
« TANGENTE »
«»
est aussi appelé
« pente » ou « tangente » de la droite. (voir
relations trigonométriques dans le
triangle rectangle )
Calcul de la pente : ( voir dessin ci
dessus)
La pente est égale au rapport de la longueur « yA »
sur la longueur « xA » (uniquement
vraie si nous sommes dans le sens croissant ) ;
Autrement :
On dit aussi est
elle est égale au rapport de la mesure algébrique du segment
AA’ sur la mesure algébrique du
segment OA’ ;
On dit aussi au rapport du coté opposé a l’angle (AA’ ) sur le coté adjacent (O A’) dans le triangle rectangle OAA’
On dit aussi égale à l’abscisse
du point A sur l’ordonnée du point A.
|
|
Calcul de la pente d’une droite dans un repère orthonormal : La valeur de la
pente est égale au rapport des
mesures des segments BC / AC
soit 3/4 Et : La pente de la droite passant par AB est de 0,75
ou La pente peut être exprimée en pourcentage :
La pente est de
75 sur 100 soit
75 pour 100 soit 75 % Signification :
1°) Si on
roulait sur une route de montage , pour une distance
de 100 mètres parcourue horizontalement on monte dans le même temps d’une
hauteur de 75 m . AC = 100 m ;
BC = 75 m 2°) Calcul de AB : AB =
racine carré de ( 100 ² + 75² ) soit racine carrée de « 15625 » = 125. Ainsi lorsque le coureur à parcourue 125 dans cette côte il a
« grimpé » de 75 m. Info : les côtes les plus difficiles
franchies par les cyclistes sur route est de 24% ( exemple :
la côte du mont Saint Claire à Sète) |
Exemples de représentations graphiques d’une
« fonction linéaire » .
|
Exemples de
tracés en fonction de l’équation. |
|
|
Exemples de situations - problèmes représentées
par un graphique. ( à vous
d’interpréter ces graphiques ) |
|
|
( ne pas
s’intéresser à la droite BD) |
|
|
|
Ne
s’intéresser qu’ à la droite qui part de
l’intersection du repère.» |
|
Ces exercices
de lecture de graphiques seront repris après que l’étude de la fonction
affine ne soit faite. |
|
|
Leçon |
Titre |
|
N°23 |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur LA FONCTION
LINEAIRE |
a) Quelle
condition doit remplir un « tableau numérique » pour
être le représentant d’une fonction ?
b) Que désigne
le mot « variable » ?
1°) Donnez le
modèle mathématique de l’équation
représentant la fonction linéaire.
2°) Que peut-on
représenter à partir d’une équation représentant la fonction linéaire ?.
3°) Soit la
notation « ax » , comment nomme - t - on les facteurs ?
4°) Donnez la
forme des couples qui forment eux mêmes le graphe de la fonction linéaire.
5°) Donner forment du graphe de la fonction
linéaire. ( donner les deux couples particuliers)
6°) Représenter le tableau de
« proportionnalité ; précisez ce qu’il « contient ».
7° ) « a » (dans
le produit de facteurs associés à
la fonction linéaire) possède trois
appellations , quelles sont - elles ?
8° ) Définissez « la
représentation graphique »
précisez ,en
citant les caractéristiques principales ; placer les dans un repère
cartésien.
9° )
Comment reconnaît - on une fonction dite « linéaire » ?
Soit
les fonctions :
|
y1 = 2x |
y2 = - 2x |
y3 = - |
1°) Dans un repère cartésien orthonormé ; Faire
la représentation graphique de chaque fonction .
|
A l' équation y1 = 2x |
On associe la droite D1 (lire
:droite indice 1) |
|
A l' équation y2 = - 2x |
On associe la droite D2 (lire :droite
indice 2) |
|
A l' équation y3 = - |
On associe la droite D3 (lire
:droite indice 3) |
2°) En étudiant le graphique , donner les coordonnées du point d’intersection
des deux droites D1 et D2;
3°) tracer D3
Ensuite : avec un rapporteur donner la
valeur de l’angle faite entre les droites D1 et D3 .
Quel commentaire
pouvez-vous avoir sur la position des droites l’une par rapport à
l’autre ?
4° )
Faite le calcul du produit a1 par a3 .
5°) tracer la droite d'équation y4 = 
mesurer l’angle fait par D2 et D4 ; faire le produit a2 a4
6°)comparer les résultats de la question 4° et
5°; quelle conclusion peut - on en tirer ?
|
Documents : |
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