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Voir :L’utilisation
des lettres en mathématiques |
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NOMENCLATURE
sur les chiffres et les nombres …………N ; D ; D+ ou - |
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Histoire : A
propos de
« chiffres » et « nombres » |
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I ) Chiffre |
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A ) Virgule |
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B )Point |
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C ) Point
- virgule |
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A) Nombre entier naturel |
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B ) Nombre
entier et décimaux |
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C )Nombres relatifs : |
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IV) LES PARENTHESES |
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A ) indice |
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B ) exposant |
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Rappels
sur les conventions d’écriture
texte :
►Le premier mot à lire
(ou écrit) se trouve au début
d’un texte. Ce mot est situé en haut à
gauche du texte.
►On lit de gauche à
droite.
►lorsque La ligne terminée (lue entièrement )
, on
descend à la ligne
suivante ; ( qui se trouve en
dessous de la précédente ligne.)
►Il en est de même pour la
géométrie : la lecture des sommets d’une figure ,le
premier sommet à lire est celui qui se
trouve le plus prés du coin « haut » gauche
de la feuille……………
►Il serait conseillé
de revoir les notions abordées en primaire !!!!
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Niv . V - 0/25 |
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N°A |
NOMENCLATURE sur les chiffres et les nombres …… |
INFO9
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1) CHIFFRES
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1°) Les chiffres sont des symboles graphiques.
2°) Les chiffres servent à construire des nombres.
3°) Il existe ,en tout et pour tout,10
chiffres.
4°) Représentation graphique des
chiffres
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0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Ou écrit en ligne : 0 ; 1 ;
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6; 7 ; 8 ; 9
remarque: il
faut séparer les chiffres par un point virgule.
5°) Enumération des
chiffres :
(dans
l’ordre croissant)
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Nom |
Symbole
graphique: |
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zéro
(pour le symbole"0") |
0 |
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un(pour
le symbole"1 ") |
1 |
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deux
(pour le symbole"2 ") |
2 |
|
trois
(pour le symbole"3 ") |
3 |
|
quatre(pour
le symbole"4 ") |
4 |
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cinq
(pour le symbole" 5") |
5 |
|
six (pour le symbole" 6"), |
6 |
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sept
(pour le symbole" 7") |
7 |
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huit
(pour le symbole"8 ") |
8 |
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neuf
(pour le symbole" 9") |
9 |
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A ) La
VIRGULE |
|
- Rôle d'une virgule (notée " ,
") :
La virgule sépare des chiffres dans un nombre. (elle est tracée sur la ligne d’écriture)
Exemple : 14 , 67 ; 1 , 36 ; 0,
0317
Autres conventions:
Quand un nombre possède
une virgule, on dit:
« devant
la virgule ! » (pour la partie
« entière » située à gauche de la virgule) "," « derrière la virgule » , (pour la partie « décimale » située
à droite de la virgule )!
on dit aussi:
« avant
la virgule ! » " , (virgule) "
« après la virgule! »
exemple:
Dans le nombre 34,75
« 34 » est "devant
la virgule" ou" avant la virgule".
« 75 » est "derrière la virgule" ou
"après la virgule".
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B )
POINT -VIRGULE |
|
- Rôle du point - virgule ,(noté "
; ") :
le point - virgule sépare des
nombres ; (elle est
tracée sur la ligne d’écriture)
exemples: 14 ; 67
; 36,79
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C ) LE POINT |
|
Le
point « . » est utilisé en arithmétique pour
séparer les nombres complexes .
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Matin |
Après
midi |
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On écrit : 6h10 ou 6.10
h |
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On écrit : 15h45 ou 15.45
h |
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III
) LES NOMBRES : |
En arithmétique on utilise les deux expressions : « le nombre concret » et « le nombre
abstrait ».
Nombres concrets et nombres abstraits :
( qui sont « entiers » ou
« décimaux »)
·
« Nombre concret » : un nombre est concret
lorsqu’on indique la nature de son unité ; ainsi : 29 élèves, 7
mètres, 5 litres, sont des nombres concrets ;
7 m et 5 litres sont aussi des grandeurs
(parce que c’est avec une mesure « étalon » que l’on mesure)
·
« Nombre abstrait » si l’on ne fait qu’indiquer la
quantité sans spécifier sa nature , on a un nombre
abstrait ; huit ; vingt cinq , trente sont des nombres abstraits .
En calcul numérique et algébrique
On
distinguera deux grandes catégories de nombres : les nombres
« non relatifs et les nombres relatifs.
|
I ) Les nombres utilisés en
arithmétique : |
II ) Les nombres utilisés en calcul
algébrique : (voir module @ ) |
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B ) Les
décimaux |
Les entiers
relatifs |
Les décimaux relatifs |
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Tous les nombres entiers « naturels » appartiennent à l’
ensemble désigné par la lettre
N Exemples :
2 ; 13 ; 738 ;…… |
Les nombres décimaux
appartiennent à l’ ensemble des nombres
désigné par la lettre D. Exemples : 2,1 ;
3 , 25 ; 538,17 ;…… |
Tous les nombres entiers
relatifs appartiennent à l’ ensemble désigné par la lettre Z ± Exemples :
(+2) ; (- 2) ; ( -13) ; (+738)
;…… |
Tous les nombres décimaux
relatifs appartiennent à l’ ensemble désigné par la lettre D ± Exemples :
(+2,1) ; ( - 2,1) ;
( + 3 , 25) ; ( -3,25) ; (+ 538,17) ;…… |
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naturel:9 |
A ) Le
nombre entier naturel ( N ) |
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Petite
Histoire des nombres entiers naturels
Les
nombres sont nés au fur et à mesure des exigences et des besoins des
hommes ;les nombres entiers naturels sont
utilisés pour commercer ; pour dénombrer
des éléments (objets ; animaux ;.......);
Après
bien des tâtonnements (des essais) il est inventé les chiffres et des
systèmes de numération
.
Celui
que nous avons conservé est fondé sur le dénombrement des doigts de nos deux mains ( dont
dix doigts) . Ce système basé sur le rangement en "paquet de dix "
est appelé : le système décimal (base dix) . Nous l’avons conservé
vraisemblablement et tout simplement parce que l’être humain a et a utiliser ses « dix » doigts pour ranger , regrouper ; repérer , indicier et ensuite nommer des symboles (que l 'on appelle chiffres )
pour construire des nombres et les nommer .
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B) LE NOMBRE
(entier ou décimal ) ( non relatif ) |
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1°) « Construction » d'un nombre (en écriture avec des chiffres):
Un nombre est un alignement horizontal de chiffres séparés ou non par une virgule.
Exemples : 1 ; 256369
; 225564897354 ;
20,876 ; 0,345678324 ; 123,324 ; 123 ; 324
2°) "Enumération" des nombres:
Il est impossible d'énumérer tous les nombres ;on dit qu'il en existe une infinité.
Le symbole utilisé en mathématique
pour dire « infini » est :
3°) le nombre : "x" ? ;
"y"
? ou
"z" ?
En mathématique ,un nombre non connu ,mais dont on veut connaître la
valeur arithmétique ou numérique est
appelé " inconnue".
Cette inconnue est
toujours représentée par une lettre minuscule de notre alphabet:
Généralement
,on prend les dernières lettres de l'alphabet:
"x" ;
"y" ;"z"
4°) Un nombre
( non relatif ) est aussi
appelé "valeur arithmétique".
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C) LE NOMBRE RELATIF |
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Le "NOMBRE RELATIF":
Exemple : pour « 3 euros
» on peut écrire (+3) ou (-3)
suivant que l’on doit ou l’on reçoit 3 euros, ces nombres « opposés »
sont appelés « nombres relatifs », en effet on ne sait pas qui
« gagne » ou « perd » ces « 3 euros ».i
(VOIR l ’ histoire
sur
l ’ origine de la « notion » du « nombre relatif » et son
utilisation )
1°) Description : Un nombre relatif est composé de trois parties
principales : un signe « plus » ou « moins » , une valeur arithmétique (chiffres séparés ou non par une virgule)
appelée aussi « valeur absolue ».; une double parenthèses.
2°) Valeur absolue : La valeur
arithmétique
du nombre relatif est appelée « valeur absolue ».
3°)
Donner la valeur absolue d’un nombre relatif :
En écriture symbolique
, en mathématique , pour indiquer que l’on cherche ou que l’on veut
connaître la valeur absolue d’un nombre relatif , on encadrera (c’est à dire : on trace une barre verticale de chaque coté des parenthèses du nombre relatif ) le nombre relatif (ou son
représentant : « a » ; « x » ,.....) par un
trait vertical de la hauteur d’une ligne , de chaque côté de ce nombre.
lorsqu’un nombre
est encadré par deux traits verticaux il
faut lire la consigne suivante : « Donner la valeur absolue du nombre relatif ………».
Exemples : Autre
remarque importante : donner la valeur absolue d’un nombre ( forcément
relatif ) ne nécessite aucun calcul , il
suffit de nommer la valeur arythmétique
il n’y a pas de calcul à faire
Exemples :
On donne l’écriture mathématique
suivante : 
,
on
doit lire la consigne : Donner la valeur absolue du nombre relatif (+4,5 )
la
réponse à cette consigne est : la valeur absolue de ( + 4,5) est le nombre 4,5
ou en résumé on écrira que :
= 4,5
Autres exemples
a) 
:
on doit lire la
consigne : « Donner la
valeur absolue de (-5,258) » ; la réponse à cette consigne
est :5,258
on écrira : = 5,258
b) 
:
lire la consigne : donner la valeur absolue
de (- 4,5) ; la réponse à cette consigne est : 4,5
Consigne mathématique : ► 
-
il faut lire la consigne : « donner la valeur absolue de (+
4,5) » ;
-
la réponse à cette consigne est la
valeur absolue de ( + 4,5) est le nombre 4,5
► 
: lire la consigne : « donner la valeur absolue de
(-5,258) » ;
la réponse à cette consigne est :5,258
► : lire la consigne : donner la valeur absolue
de (- 4,5) ;
la réponse à cette consigne est :
4,5
► 
: lire la consigne : donner la valeur
absolue de (4,5) ; la réponse à cette
consigne est impossible à donner ,raison : le nombre : 4,5 n’est pas
un nombre relatif.
Autres exemples :
On peut représenter un nombre algébrique ( relatif
) par une lettre :
Par exemple soit « a » le représentant un nombre
relatif ; la valeur absolue de
« a » se représente par
l’écriture 
;
Lorsque l’on voit écrit : : on
lira : Donner la
« valeur absolue de « a » »
Lorsque l’on voit écrit : 
: on
lira : Donner la
« valeur absolue de
« x » »
Lorsque l’on voit écrit 
;on lira « valeur absolue de la somme (des
nombres relatifs) « a + b »
»
4°)
reconnaître ( identifier, conventions d’écriture
normalisée)
Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou -) et d'une valeur
absolue appelée aussi "valeur arithmétique" ces deux éléments se
trouvant « entre parenthèses » .
La valeur absolue et le signe du nombre relatif sont toujours situés dans (on dit aussi entre ) des parenthèses
.
Remarque importante : tout nombre
relatif doit comprendre des parenthèses.
on dira alors que:
Attention « + 3 » et
« 3 » n’ont pas la même signification ,
la valeur « 3 » ne peut pas
être considéré comme le représentant d’ un nombre relatif.
« 3 » est un nombre entier , il peut être considéré comme étant la valeur
absolue du nombre (+3) ou du nombre ( -3) .
Le signe du nombre relatif indique « un sens ».
Attention au collège
, pour simplifier, on a supprimé
le signe + et les parenthèses d’un
nombre relatif ; il est important de savoir remettre sous forme relative
des nombres positifs dit
« simplifiés ».
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IV ) LES PARENTHESES : |
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Deux
utilisations différentes
1°) Elles sont
parties intégrantes du nombre relatif : Les parenthèses servent à
encadrer les deux parties (signe et valeur absolue) du nombre relatif.
2°)
Elles sont utilisées pour regrouper des
opérations dans une chaîne d’opérations pour séparer « certains »
calculs associés .
Dans ce cas , on trouvera un signe « opératoire* » entre une
parenthèse ouverte et une parenthèse fermée .
*exemple de signe opératoire :
+ ; - ;
/ ; ¸ ; ´
on dit : qu ‘avant de supprimer les parenthèses il
faut faire l’ensemble des opérations possibles afin de n’avoir plus qu’après calculs , qu ‘un seul
nombre.
Les parenthèses « encadrent » , elles vont toujours
par paires ( deux ) ;
leur tracé est un arc de cercle
« vertical »
"(........" lire "parenthèse ouverte" ;
"........... ) " lire "parenthèse fermée "
3°) Conventions d’écriture: à propos du signe « multiplié »
En algèbre ,
le signe « multiplié » n’existe plus
(il n’apparaît plus) parce
qu’une expression ,en algèbre , s’écrit avec des lettres et des
nombres associés.
Exemples: On n’écrit pas a x
b ; on écrira ab on dira « a » fois «
b »
On
n’écrit pas : 3 x x ; on écrira 3x on
dira « 3 » fois « ixe »
On n’écrit
pas : 2 x a x
b ;mais on écrira :
2ab ; on dira 2 fois « a » fois « b »
On retiendra :
En algèbre :pour indiquer la multiplication du nombre « a » par le nombre
« b » : on ne met pas la croix ; on n’écrira pas « a x b » mais
« ab » :
la « x
(croix) » étant
réservée à la lettre « x (ixe)»
En algèbre :pour indiquer la
multiplication du nombre « a »
par le nombre « a » : on ne met pas la croix ; on n’écrira pas « a x a » mais
« a² » :
En algèbre :pour indiquer la
multiplication du nombre « x »
par le nombre « x » : on ne met pas la croix ; on n’écrira pas « x x x » mais
« x² » :
Voir le cas ou deux
parenthèses « se tournent le dos » ....... ) (.......... ,
dans ce cas il faut savoir qu ‘entre ces parenthèses il devrait
exister le signe « multiplié » , par convention ce signe n’est pas écrit. ( toujours
pour les mêmes raison que précédemment, ne pas le confondre avec la lettre
« x » appelé « variable ».
Ainsi :
On n’écrit pas ( a + b) x ( a + b) mais
( a + b) ( a + b) et on lit : ( a + b) facteur de ( a + b)
ou écrit alors ( a + b) ² et alors on dit alors « a »+
« b » entre parenthèses au carré
On n’écrit pas ( a - b) x ( a - b) mais
( a - b) ( a - b) et on lit : ( a - b) facteur de ( a - b)
ou ( a - b) ²
on dit alors « a » -
« b » entre parenthèses au carré
On n’écrit pas ( a + b) x ( a - b) mais
( a + b) ( a - b) et on lit : ( « a » plus « b ») facteur
de ( « a » moins
« b »)
( on reverra cette écriture lorsque l’on
fera le cours sur les Identités remarquables , ou on peut dire aussi sur les
produits remarquables.)
|
LE NOMBRE RELATIF « SIMPLIFIE » |
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La forme simplifiée du nombre relatif est souvent une source
d’erreur, lorsque l’on passera des calculs « arithmétiques » à
l’exécution des calculs algébriques.
Rappel :
lorsque l’on fait des calculs en arithmétique les nombres ordinaires
dits « positifs », en
calcul algébrique les nombres sont ou
positif ou négatif ;……Ce qui ne pose pas de problème si l’on connaît les
règles de calculs.
Il faut vous retenir le texte qui est suit :
Tout
nombre relatif dit
« simplifié » peut se mettre , et doit se remettre ,
sous forme relative. ( voir le cours chapitre « 3 °» sur la transformation
d’une expression en somme algébrique )
IMPORTANT :
Procédure de réécriture d’un
« nombre relatif simplifié »
sous en forme
« relative »
cas 1 : le
nombre est seul (il n ’ est composé que de chiffre(s)
avec ou sans virgule ) :
Faire précéder le nombre sans signe par le signe "plus" (1) et
ensuite encadrer le tout par les parenthèses (2) .
Placer ensuite le signe plus de l’addition.(3) devant la parenthèse .
Exemples :
3 devient
(1) +
3 ; puis (2) ( + 3) , enfin (3) + ( +3 )
- 5,7 devient
+ ( - 5,7)
cas 2 :: suite de nombres séparés par des signes « + »
ou « - » :
Une suite de nombres, constituée
de valeurs arithmétiques entourées par des signes opératoires "+" ou "-" peut se mettre
sous forme d'une suite d’additions de nombres relatifs :
pour cela il
suffit
a) de
placer le signe + en tête d’expression.
b) de mettre ce signe + et la
première valeur " absolue " entre des parenthèses .
c)
placer le signe suivant et la valeur absolue dans des parenthèses
d) séparer le premier nombre
relatif et le deuxième nombre relatif par le signe + ;
e) et ainsi de suite.
Exemple
: écrire sous forme de nombres
relatifs l’expression suivante :
3 + 5,6 - 8
1°) +
3 + 5,6 - 8 (on met le signe + en
tête d’expression)
2°) (+3) …( + 5,6) ….( - 8) ( mettre chaque nombre dans des parenthèses , avec son signe qui le
précède )
3°) (+3) +
(+5,6) + ( -8) ( mettre des signes
« + » entre chaque nombre mise
entre parenthèse .)
donc l’expression algébrique
: 3 + 5,6 - 8
devient
la somme algébrique (+3) +
(+ 5,6) + ( -8)
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A ) INDICE |
|
Le
nombre ou lettre placé « à cheval » sur la ligne d'écriture (en bas à droite d’un nombre donné )
(exemple : 3
) le
« 2 » porte le nom
"d'indice".
L'indice sert à ordonner des nombres ou lettres
écris sur la ligne d'écriture.
_______________________________
__A _________35 __________B ______
autres exemples :
a
; a ;a
; a
; a
:
|
a |
on lira
« a » indice « 1 » |
|
a |
« a »
indice « deux » |
|
a |
« a »indice « trois » |
|
a n |
ainsi de suite
………« a » indice « ène» . |
..................le « a » indice "un" étant le premier « a » ; le « a » indice "deux"
étant le deuxième « a » ; ainsi de suite ……….
L’indice sert à classer ,ranger , ordonner des objets ou nombres identiques.
( 3 fois 3 fois 3
égal ; s ’
écrit 3
3
3= )
|
|
|
___________________________________
;
3
; 3
_____3
_____B
___ _
1 ; 2 ;3; n ; sont
appelés "exposant"
Un
nombre ( 1 ;2 ;3 ; ..)ou lettre (n, p..) écrit en haut à droite d’un nombre (ou une lettre )
alors ce nombre (
1 ;2 ;3 ; ..)ou lettre (n, p..) s'appellera "exposant" .
Cet exposant indique la
« puissance » d’un nombre .La « puissance » d’un nombre
correspond à la multiplication de ce nombre par lui même.
Le signe « puissance » est
une simplification de l’écriture de la
multiplication d’un nombre par lui même, « n »fois.
Exemples :
3 correspond à
l’écriture 33
3 correspond à l’écriture
333=
3
correspond à l’écriture simplifiée 33.3
3
3
3
3
=
Des EXEMPLES de nombres ;…….:
1°) Nombres entiers.
Exemples 5 ; 7 ; 45 ;
56 ; 89
2°) Nombres entiers positifs. Exemples
(+5) ; (+6) ; (+9) ; (+13 );
(+87 )
3°) Nombres entiers négatifs.
Exemples (-5) ;
(-6) ; (-9) ; (-13 ) ; (-87 )
4°) Nombres entiers relatifs.
Exemples (-5) ;
(-6) ; (-9) ; (+13) ; (+87 )
5°) Nombres décimaux. :
Exemples 5,2 ;
7,6 ; 45,452 ; 56,58 ; 89,001
6°) Nombres décimaux positifs.
Exemples (+5,2 );
(+7,6) ; (+45,452 ); (+56,58 ); (+89,001)
7°) Nombres décimaux négatifs.
Exemples (-5,2 );
(-7,6) ; (-45,452 ); (-56,58 ); (-89,001)
8°) Nombres décimaux relatifs.
Exemples (-5,2 );
(-7,6) ; (-45,452 ); (+56,58 ); (+89,001)
9°) Valeur absolue de:
la valeur absolue
de ( + 15,4)
est :
réponse :
la valeur absolue de +
15,4 est le nombre 15,4
la valeur absolue de
(- 15,3) ?
réponse :
la valeur absolue de -
15,3 est le nombre 15,3
la valeur absolue du
nombre « 56,8 » ?
réponse impossible ; le nombre décimal « 56,8 » n’est pas un nombre
relatif ; mais un nombre décimal « ordinaire »
10 °) Exercices :
on peut écrire
que : 
= 4,8 ; 
= 14,83
attention !!!!!! exercice
« piège » : 
= impossible
parce que « 4,8 » n’est
pas un nombre relatif
11°) Recherche de la valeur
arithmétique de:
(+14,8) réponse : 14,8
(-67,9) réponse : 67,9
123,75 réponse 123,75
12 °) Traduction de 52 et
52
52 : on doit
lire « 5 au carré » ; « 5 puissance 2 » ;
« 5 exposant 2 » c’est une
écriture simplifiée de l’ opération « la
multiplication d’un nombre par lui -même » soit « 5 fois
5 » ou « 5 ´
5 »
52 lire
« 5 » indice
« 2 » ; le « 2 »
donne la position , le rang dans un ordre de rangement
des nombres
Donc : Le premier «52 » informe qu’il y a une opération à
faire ; le deuxième « 52 » indique le rang du nombre dans une suite de
nombres.
Leçon |
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N°00 |
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I ) (les
écrire en ligne)
série
1 : Citer des
Nombres de quatre chiffres au plus, compris entre 0,001 et 1 000.
Nombres de trois chiffres au plus, compris entre 0,01 et 100
Série 2 :
des nombres
1°)Citer 5
nombres entiers ; dont « 1 » de 1 chiffre ; un
nombre de 3 chiffres et un nombre de 6 chiffres
2°)citer 5
nombres entiers positifs ;
dont « 1 » de 1 chiffre
; un nombre de 3 chiffres et un nombre de
6 chiffres
3°) Citer 5 nombres entiers négatifs.
; dont « 1 » de 1 chiffre ; un
nombre de 3 chiffres et un nombre de
6 chiffres
4°)Citer 5
nombres entiers relatifs. ; dont « 1 »
de 1 chiffre ; un nombre de 3 chiffres et un nombre de 6
chiffres
5°)Citer 5
nombres décimaux. ; dont « 1 » de 2 chiffres ; un
nombre de 3 chiffres et un nombre de
6 chiffres
6°) Citer 5 nombres décimaux positifs. dont « 1 »
de 2 chiffres ; un nombre de 3 chiffres et un nombre de 6
chiffres
7°)Citer 5
nombres décimaux négatifs. dont « 1 » de 2 chiffres ; un
nombre de 3 chiffres et un nombre de
6 chiffres
8°)Citer 5
nombres décimaux relatifs. dont « 1 » de 2 chiffres ; un
nombre de 3 chiffres et un nombre de
6 chiffres
9°) Donner la valeur absolue de:
(+ 15,4)
(- 15,3)
56,8 (justifier vôtre réponse)
10 °) Exercices :
= ; 
=
attention exercice suivant « piège » :
=
11°)Donner la valeur arithmétique de:
(+14,8)
(-67,9)
123,75
Référentiel :
Citer des
►Nombres de quatre chiffres au plus, compris entre 0,001 et 1 000.
►Nombres de trois chiffres au plus, compris entre 0,01 et 100
►Donner un nombre à , au plus, huit
chiffres
|
En cliquant en cet endroit , vous accéder à la liste des objectifs que vous
devez entièrement traiter; cliquez sur le point vert |
