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Auteur :
WARME R.
Documents
« élève ».
et préparation et lien
avec
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Leçon |
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N°9 |
LA PROPORTIONNALITE et les calculs
sur la proportionnalité ; son
application linéaire . |
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VOCABULAIRE déjà utilisé : (Rappels) |
On appelle « rapport » : le quotient obtenu par la
division d’un nombre par un autre nombre.
Le modèle mathématique d’un
« rapport » est « une écriture fractionnaire fraction ».
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Exemples : |
Quotient : |
Commentaire : |
|
6 / 2 = 3 |
3 |
Le quotient est un nombre entier. |
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4,5 :2
= |
2,25 |
Le quotient est un nombre décimal |
|
8 : 3 |
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Le quotient est une fraction irréductible dit « rationnel » |
*
rapport de deux
grandeurs : en
arithmétique le rapport de deux grandeurs ,le nombre qui exprime la mesure de la première grandeur lorsqu’on prend
la seconde pour unité , ou encore
quotient du nombre qui mesure la première par le nombre qui mesure la
seconde avec la même unité ..
II ) Rapports égaux :
On appelle « rapports égaux » des
divisions qui ont le même quotient ( et dont le reste des divisions est
identique ) .
-
Le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions.
Exemple : 
|
-
Traduction en langage
mathématique : |
|
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Exemples types : |
Les quotients : |
Commentaire : |
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6 / 2 = 3 ;
12 / 4 = 3 |
3 |
6 / 2
et 12 / 4 sont des rapports
égaux |
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4,5 :2
= ; 13,5 : 6 = |
2,25 |
4,5 :2
et 13,5 : 6 ; sont des rapports égaux |
|
8 : 3 ;
40 : 15 |
|
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Le
quotient peut être un nombre entier, un nombre décimal ou une fraction .
II ) Suite de rapports égaux :
Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux nous pouvons dire que nous avons une « suite de rapports égaux » ,
le quotient de chaque rapport étant identique , ce quotient est un nombre de valeur « constante » , on l’appelle « k » (coefficient).
-
Traduction en langage mathématique :
Application :
; 
on trouve le même quotient donc k = 5
FIN
du rappel.
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La proportionnalité : |
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Info plus !! et :i |
Définition :
-
L'égalité de deux rapports est appelée "une proportion".
- On appelle
« proportion » l’égalité de deux rapports.
Recherche d’une proportion :
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Cas : il y a proportion |
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Cas il n’y a pas proportion |
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Réponse : |
Réponse : |
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Réflexion : Si
le quotient des divisions sont identiques , nous avons une proportion. |
Réflexion Si le quotient des divisions sont identiques ,
nous avons une proportion. |
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Calculs : 9 : 3 =
3 ;
18 : 6 = 3 Etude du résultat du calcul : le quotient est identique , le reste = 0 |
Calculs : 9 : 3 = 3
; 27 ; 3 = 9 Etude du résultat du calcul : le quotient est n’est pas identique . |
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Conclusion : Les deux fractions forment deux rapports égaux
c’est une proportion. |
Conclusion : Les deux fractions ne forment pas deux rapports égaux ; ce
n’est pas une proportion. |
Lorsque le quotient est identique et que
le calcul ne « tombe pas juste (c’est à dire que reste différent de zéro ) » Une autre
possibilité de calcul permet de vérifier si deux fractions sont égales :
il faut calculer le « produit en croix » . ( on verra cette pratique
plus loin dans le cours ) .
Exemple :on a deux fractions
Les produits de ( 8 
6 =
48 )
et (16 3 =
48 )
sont appelés "les produits
en croix".
Dans la proportion 
; les nombres
« 8 » et « 6 » sont appelés "les
extrêmes" et les nombres
« 3 » et « 16 » sont appelés "les moyens".
i Dans une proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Rappel C d : les fractions équivalentes :
Généralisation :
Pour vérifier
si deux fractions sont équivalentes on fait le produit en croix .1
Traduction symbolique : Deux fractions (
et 
) sont équivalentes, c’est à dire : =
si
Num.1 x
Déno.2 = Num.2 x Déno.1
Traduction
littérale :
Deux fractions sont équivalentes si le produit du
numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction
est égal au produit du numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur
de la première fraction.
Exemple : la fraction 
est - elle égale à l’ écriture fractionnaire 
?
Solution : « oui » si 3 fois 37,5
est égal à 15 fois 2,5 ;
Calcul n°1: 3 fois 37,5 = 112,5 ; calcul n°2 15
fois 7,5 = 112,5
Conclusion : on trouve pour
les deux multiplications le même produit « 112,5 » ; on peut
écrire que 
Définition : Le
coefficient de proportionnalité est un nombre .
Ce nombre peut être « entier » ;
« décimal » , « rationnel » , et relatif ou
pas relatif
Ce nombre, qui l’on appelle : coefficient
de proportionnalité est obtenu par
« calculs » : ces calculs
sont une suite de divisions dont on obtient le même quotient .
On obtient ce coefficient
lorsque l’on divise
chaque valeur de la première suite par le nombre correspondant ( valeur correspondante : qui occupe le
même rang ) de la seconde suite .
Exemple : On obtient un nombre en divisant 1,5 par 3 ( = 2) , ce nombre « 2 » on le retrouve en calculant 8,6 par 4,3 , puis en divisant 19,2 par 9,6 . Conclusion ce nombre est identique . »2 » est appelé « coefficient de proportionnalité » , Ces valeurs numériques ,regroupées dans un tableau , donne un nom particulier au tableau : on l’appelle « tableau de proportionnalité »
Généralisons : Si
deux suites de nombres forment
une suite de nombres proportionnels : si l’on met ces nombres dans un
tableau , on obtient un tableau de proportionnalité.
Le tableau ci dessous est appelé « tableau de proportionnalité »
|
´ 2 |
¯ |
1,5 |
4,3 |
9,6 |
Dans cette
Ligne supérieure les nombres forment la « Première suite » |
¸2 |
|
3 |
8,6 |
19,2 |
Dans cette Ligne
inférieure les nombres forment la
« seconde suite » |
Vérifications : On a bien 4,3 2 =
8,6 et 9,6 2 = 19,2
Calcul du coefficient de proportionnalité :
Le coefficient de proportionnalité est
égal au rapport des nombres de la deuxième suite aux nombres correspondants de
la première suite .
Exemple de problème : les deux suites forment -elles une suite de
rapports égaux ? si oui , quel est la valeur du coefficient de
proportionnalité ?
Soit La première suite {
1,5 ; 4,3 ; 9,6
} est la deuxième suite {
3 ; 8,6 ; 9,2}
On cherche par le calcul si les deux suites possèdent un coefficient de
proportionnalité , pour cela on effectue les calculs suivants : (on divise les nombres de la deuxième
suite par les nombres de la première suite en respectant la position de chaque
nombre dans chaque suite )
Ce qui donne les opérations suivantes à calculer :
3 / 1,5 = ?
; 8,6 / 4,3 = ? ;
19 ,2 / 9,6 = ?
On effectue chaque division :
Résultats : 3 / 1,5 = 2
; 8,6 / 4,3 = 2 ;
19 ,2 / 9,6 = 2
Analyse des résultats : tous les
quotients sont identiques , on
trouve « 2 »
Conclusion : On peut
conclure que « 2 » est le coefficient de proportionnalité
|
III ) Rechercher si deux suites de nombres forment une suite de
nombres proportionnels |
Définition :
Deux suites de nombres forment une suite de nombres proportionnels (rapports
égaux) si le rapport entre les nombres de la première
suite et les nombres correspondants (même classement dans la suite )
de la deuxième sont constant . ( même valeur )
Exemple :
Soit
la première suite S1 = { 2 ; 6 ; 10 } ; soit la deuxième suite S 2 = { 4 ; 12 ; 20 } ,
sont - elles proportionnelles ?
1ère Solution :
si 2/4 = 6 / 12
= 10 /20
si { 2 ; 6 ; 10 } et { 4 ; 12 ; 20 } sont deux
suites de nombres proportionnelles car
en faisant une simplification (ou
calcul) des rapports on peut montrer
que
; 
;
deviennent
;
donne un
nombre constant 0,5
Vocabulaire : on dit aussi q ‘ une
« équation »
est une « écriture algébrique »
iLa fonction linéaire est le modèle algébrique permettant de traiter toutes les situations problèmes de la proportionnalité.
Problème « exemple » : 2 kg de
pommes valent 1, 6 € ; 3 kg valent 2,4 € ; 5 kg valent 4 € . Montrer qu’il y a
« proportionnalité ».
On
montre qu ‘il y a proportionnalité en
effectuant les calculs (1,6 ¸2 ; 2,4 ¸ 3 et 5 ¸ 4) ; ce qui nous permet d’écrire la suite de
nombres « proportionnels » :
|
|
= 0,8 (0,8 étant le prix au kilogramme) |
On
peut dire que le prix à payer est égal à
0,8 € multiplié par le nombre de kilogramme acheté.
Si
on désigne par « y » le prix à payer ; par « x » le
nombre de kilogramme acheté on peut écrire la formule : y = 0,8 x
Si
le kilogramme de pomme passe à 1,2 € le kilo ; on établira la
formule : y = 1,2 x
On
voit que l’on a une formule qui s’écrit sous la forme algébrique : y = a x ;
Remarque
1 : On pourrait tracer la
droite d’équation « y = 1,2x » dans un repère cartésien.
Remarque
2 « vocabulaire » : On dit que « y » est obtenu
« en fonction de « x » que l’on écrira en symbole : f (x)
.
Alors
on remplacera l’équation « y = 1,2
x » et l’on écrira que la fonction est « f(x) = 1,2 x »
+Généralisation : On
peut mettre les suites de nombres précédents sous la forme d’
une suite de rapports égaux 
=
=
=......... ;
On peut dire que cette suite est égale au rapport des 
Ce rapport est un coefficient qui est égal au nombre que l’on nommera « a »
.
On peut donc
écrire que : === 
On a décidé de transformer ces rapports de la forme 
par
l’écriture y = ax
c’est une autre forme d’écriture dite « algébrique », cette écriture algébrique est une égalité appelée « équation » .
Cette équation
qui est de la forme « y = a x » est appelée : « équation de la
fonction linéaire » .
Exemples d’équations : ( tous
les « a » sont positifs)
y =
x où ( a = 1)
; y = 2x où ( a= 2 ) ; y =
2,34 x ou (a = 2,34) ; y =
1,05 x où (a = 1,05) ; y = 5,24 x où (a
= 5,24) ; ……
+ Application à des cas concrets
(Adapté à la vie quotidienne)
D’autres
applications seront traitées dans le cours
10 /25 .
Série
1 :
►Problème 1°)
Le prix d’un kg de fruit est de
0,8 €. Donner une formule permettant de calculer le prix à payer en fonction de
la masse achetée.
Solution
Pour
tout achat de ces fruits , on a :
prix à payer = prix
au kg nombre
de kg
Si
on appelle « x » le nombre de kg achetés et « y » le prix à payer on écrira :
y = 0,8 x .
iL’expression
algébrique permettant de calculer le
prix à payer (seconde valeur) en fonction
du prix à l’unité est de la forme y = ax
►Problème 2°)
J’achète des pommes à 1,53 € le kilogramme
; quelle sera la relation mathématique à
utiliser ?
Solution : si
« y » est le prix à payer et « x » le nombre de kg ,
1,53 est le coefficient de
proportionnalité . je
dois payer : y = 1,53 x
Applications :
-si
je prend 4,5 kg ;
je payerai y = 1,53 fois 4,5 ; soit 6,885 €
-si
je prend 1, 350 kg ; je payerai y = 1,53 fois 1,350 ; soit 2,0655 €
Conclusion : Avec la
relation y = 1,53 x je peux calculer la somme à payer quelque soit la
masse; je multiplie la valeur de cette masse
par 1,53 .
►Problème n° 3
J’ai payé 7,2 € pour des pommes vendues 0,8 € au kg . Quelle
est la masse de pommes achetées ?
Solution :
On sait que la relation à utiliser
est y = 0,8 x
On
connaît « y = 7,2 » , on peut
écrire 7,2 = 0,8 x
|
Pour calculer « x » on transforme l’équation : |
|
On
simplifie pour obtenir : 
Donc x =
7,2 ¸ 0,8 ;
soit x = 9
conclusion : la masse de pommes achetées est de 9 kg.
Série 2 : Autre méthode de résolution d’un problème
sur les proportionnalités :
on
raisonne en passant par le tableau de proportionnalité.
Problème n° 4 : J’ai payé 7,2
€ pour 10 kg pommes combien paierai-je pour 4
kg ?
solution : (on établit le tableau suivant)
|
Nombre de kg |
10 |
4 |
|
Prix payé |
7,2 |
( x
) |
Calcul :
On fera le produit en croix :
10 ´ ( x )
= 7,2 ´ 4 ; on
transforme : ( x) = ( 7,2 ´ 4 ) ¸ 10 ;
x = 2,88
Conclusion : le prix à
payer pour 4 kg est de 2,88 €.
+Première approche : nous avons vu précédemment que nous pouvions mettre dans un tableau des valeurs calculées.
Problème n° 5 : J’ai payé pour des pommes
vendues 2 € au kg . Combien paierai-je si j’achète une masse de 1,5 kg ; 4,3 kg et 9,600 kg ;
pommes achetées ?
|
´ 2 |
¯ |
1,5 |
4,3 |
9,6 |
Dans cette Ligne supérieure on met le nombre
de kilo acheté . |
¸2 |
|
3 |
8,6 |
19,2 |
Dans cette Ligne inférieure
le prix à payer |
+Deuxième
approche : théorique
Problème n°6 :
J’ achète des pommes vendues 2 € au kg . Combien
paierai-je si j’ achète une masse
« quelconque » ( notée par la lettre « x » ) de
pommes achetées ?
On demande d ’ établir
l’équation et de construire un tableau ou l’on peut connaître les prix à
payer pour des sacs contenant 1,5 ; 2 ;
2,5 ; 3 ; 4 et 5 ( kilos
achetés)
Solution :
1°)On
pose : « x » pour les
kilos achetés ; « y » pour le prix à payer ;
2°)
On en déduit l’équation « y = 2 x »
3°)
On en construit le tableau de
proportionnalité :
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
Application : on sait que
y = 2 x
|
|
x |
1,5 |
2 |
2,5 |
3 |
4 |
5 |
|
|
y |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
On
multiplie tous les nombres : 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; ……par
« 2 » pour remplir le tableau.
|
on
Recherche le coefficient de
proportionnalité |
La
recherche du coefficient de proportionnalité est un autre moyen de traiter les problèmes de
proportionnalité.
Problème n° 7 : j’achète 9 kg de pommes pour 7,2
€ ; une offre promotionnelle
propose un lot de 3 kg de ces mêmes pommes à
2,99 €.
Y a - t-il un rapport de proportionnalité ?
Solution :
Pour
le savoir on effectuera les deux
calculs suivants ( 7,2 : 9 et
2,55 : 3 ) et puis on comparera
le résultat de ces calculs :
7,2 : 9 = 0,8 ;
2,55 : 3 = 0,85 ;
0,8 et 0,85
ne sont pas égaux !
Conclusion : Il n’y a
pas de proportionnalité parce que l’on a
pas obtenu le même quotient.
|
VII. autre activité : Faire la
Représentation graphique d' une
proportion |
La
représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l'origine .( O ) du repère
Exemple
N°8 : Un cycliste se déplace à la vitesse moyenne de 20 km par
heure ( 20 km/h ou 20 km.h-1 ).Déterminer
l’équation « y » distance parcourue(km) en fonction de
« x » durée du parcours(h) ; construire un tableau de proportionnalité avec x = 1 h ; 2h et 3 h ; Tracer
la droite dans un repère cartésien.
a) L'équation algébrique est
y = 20 x
Avec " y " la distance parcourue,
"x" la durée en heure.
b)
tableau :
|
Durée en h. |
1 |
2 |
3 |
|
Distance parcourue |
20 |
40 |
60 |
c
) représentation graphique ( on reprend le tableau précédent on nomme les
colonnes )
|
Points ® |
A |
B |
C |
|
Durée en h. |
1 |
2 |
3 |
|
Distance parcourue |
20 |
40 |
60 |
d)
On trace le repère ( sur « x » 1h = 2 cm ; sur « y » 20 km = 1 cm )et puis on
place les points A ( 1 ; 20) ; B ( 2 ;
40 ) ; C ( 3;60 )
|
La représentation graphique est une
droite |
|
|
VIII.
problème résolu ;
Activités |
|
Rechercher un complément
d'informations à la lecture de la
représentation graphique, et interpréter
certains événements :
|
Soit la représentation graphique ci- contre. « Soit un cycliste qui quitte un lieu en un point O » . |
|
1°)
Compléter le tableau ci - dessous :
|
|
? |
G |
? |
D |
F |
? |
E |
? |
|
Durée en h. |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
Distance parcourue |
0 |
|
20 |
|
|
40 |
|
60 |
2°) Quel commentaire peut - on faire sur
les points : G :
D ; F et E ?.
Solution :a) Après
avoir remplir le tableau :
|
|
O |
G |
A |
D |
F |
B |
E |
C |
|
Durée en h. |
0 |
0,5 |
1 |
1,30 |
1,75 |
2 |
2,50 |
3 |
|
Distance parcourue |
0 |
10 |
20 |
30 |
35 |
40 |
50 |
60 |
b)
On peut faire les commentaires suivants
:
au point "G"
il met 0,5h pour parcourir 10 km
au point "D"
il parcourt 30 km en 1,5 h
au point "F"
en 1,75 h ( 1 .
h ou 1 h 45 min) il a
parcouru 30 km
au point "E" il a parcouru 50 km au bout de 2,5 h ( 2h 30 mn )
|
Pré requis : repérage
et les calculs |
Revoir
ce dessus pour ce qui est du vocabulaire employé. !!!!!! Dans ce chapitre
1°) il faut
savoir : compléter et utiliser un tableau de proportionnalité , et ;
2°) il faut savoir
déterminer , représenter et utiliser l’application linéaire liée à une
situation de proportionnalité .
1°) Application linéaire :
· « k » est un nombre non nul ( ¹ 0)
· l’application linéaire de coefficient
« k » fait correspondre à chaque nombre « x » le nombre « k ´ x ».
on notera le
calcul de k ´ x = y
soit y = k x ,
où on dira
que le produit de « k x » est l’image
de « x » par l’application linéaire de coefficient
« k » . On dira donc que « x à pour image k x »
remarque :On
remplacera l’expression « à pour image » par la flèche
ci contre : 
(cette flèche est orientée de gauche vers la droite, la flèche aura un talon
(trait vertical lié)
«
x
à pour image k x
» : on notera cette phrase par l’écriture symbolique : x
k x
· Si l’application linéaire s’appelle « f » et si « y » est l’image de « x » ; ( remarque : « y » est le produit de k x )
on notera y = f (x) remarque : On lira que chaque valeur de « y » est obtenu en fonction de la valeur de « x »:
2°) Application linéaire liée à une situation de proportionnalité .
exemple : x -3,5
x est associé à ce tableau de proportionnalité
|
´ -3,5¯ |
x |
- 3 |
- |
0,4 |
1 |
2 |
|
|
y |
+10,5 |
+1 |
-1,4 |
-3,5 |
-7 |
|
3°) Représentation graphique
. ( voir chapitre ci dessus : 6°
)Représentation graphique d' une
proportion )
La
représentation graphique de l’application linéaire de coefficient
« k » est la droite d’équation
y = k x
Elle
passe par le point
« O » ( 0 ;0) et
par le point « A » ( 1 ; k )
4°) Coefficient :
l’application
linéaire f telle que f (
2) =
( -13)
à pour coefficient 
car
en généralisant :
l’application linéaire f
telle que f(x) = k x
à pour coefficient
« k » = 
La représentation graphique d’une
fonction linéaire est une droite qui passe par « O »
|
|
|
|
5°) Exemple de représentations graphiques :
|
|
Modèle :
droite passant par l’origine
« O » |
|
Les tracés ci contre et ci dessous sont des exemples de tracés utilisés dans la vie courante. |
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|
|
|
|
La
représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par
« O ». D1 ; D2 ; D3 ;
D4 sont des droites
passant par « O » |
|
Attention de ne pas
confondre : dans l’exemple ci
dessous les deux droites sont parallèles
.
La
droite d’équation « y = (17x) /
20 » est la seule qui passe par
« O » , elle est la représentante d’une fonction linéaire.
La droite d’équation « y = [(17x) / 20] + 2 » ne
passe pas par « O » , elle n’
est pas la représentante d’une fonction
linéaire , elle est la représentante d’une fonction dite
« affine » .
|
|
