réciproque de thales_fiche travaux

i9	1°) Réciproque du théorème de Thalès.	:i
i9	2°) Double application du théorème de Thalès.	:i

	Cliquez ici : Des problèmes et situations problèmes sur Thalès……..

IV) INFORMATIONS « formation leçon » :

T est

COURS

Travaux auto - formation.

Corrigé des travaux auto - formation.

Contrôle

évaluation

Co r rigé Contrôle

Corrigé

évaluation

V ) DEVOIRS ( écrits):

Devoir diagnostique L tests.	
Devoir Auto - formatif (intégré au cours)	
Devoir Formatif « Contrôle : savoir » ; (remédiation)	
Devoir Formatif « Evaluation savoir faire » (remédiation)	
Devoir sommatif.	
Devoir certificatif : (remédiation)	

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

Leçon	Titre
	GEOMETRIE PLANE THALES(Réciproque)

COURS

1°) Réciproque du théorème de Thalès.				( info +++ sur la réciproque de Thalès)

On vous donne un triangle « ABC » et deux points « M » et « N ». « M » est sur [AB] et « N » sur le segment [AC] , tels que Démontrons que ( MN) est parallèle à ( BC ) Traçons par « M » la parallèle à ( BC). Elle coupe ( AC) en « M’ ». Grâce au théorème de Thalès , on peut écrire : Or par hypothèse donc par transitivité et par suite « AN = A M’ », et comme « N » et « M’ » sont situés sur [ AC] alors « N= M ' » Donc les droites ( MN) et ( M M’ ) sont confondues donc ( MN) est parallèle à ( BC )
Remarque 1 : On pourrait faire la même démonstration dans les deux autres cas de figure.
Remarque 2 :
IL faut préciser que les points « M » et « N » ont même position relative par rapport aux segments [ AB ] et [ AC ]. En effet, sur la figure ci-contre, on a « M » est sur [ AB ] mais « N » n’est pas sur [ AC ] et vous constatez que ( MN ) est parallèle à ( BC ).
Remarque 3 :
Si par hypothèse , on a ou une égalité du même genre, il est toujours possible de la transformer pour obtenir On peut donc énoncer la « Réciproque du théorème de Thalès »
Théorème : Dans tout triangle « ABC », « M » étant un point de ( AB) et « N » un point de (AC), si « N » est disposé par rapport à [ AC ] comme « M » l’est par rapport à [ A B ] et si les longueurs des segments déterminés par « A » , « B » , « M » sur ( AB) sont proportionnelles aux longueurs des segments correspondants déterminés par « A », « C », « N » sur ( AC ) alors les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles.

Activité N° 1 :
Trois droites « d₁ » , « d₂ » , « d₃ » se coupent en « O ». Deux parallèles coupent respectivement « d₁ » en un point « A » et un point « B » et « d₂ » en un point « C » et un point « D ». Par « C » et « D » on trace deux parallèles qui coupent respectivement « d₃ » en un point « E » et un point « F ». On vous demande de démontrer que la droite ( A E ) est parallèle à ( BF ) · Hypothèse : ......................... ……………. ; · Conclusion : ……………………………….. ;
Recherche : Pour démontrer que ( AE) est parallèle à ( B F ), on doit penser au théorème ci-dessus appliqué au triangle « OBF », à condition de savoir que : c’est ce que vous allez démontrer……..
Démonstration : Dans le triangle « OBD » , par hypothèse, ( A C ) est parallèle à ( BD) , donc , grâce au théorème de Thalès , : Dans le triangle « ODF » , par hypothèse , ( C E ) est parallèle à ( ………………), donc , grâce au théorème de Thalès , : On en déduit alors que et comme « A » est situé sur [ AB ] et « E » sur [ ……….. ] Alors, grâce à la réciproque du théorème de Thalès , ( AE ) et ……………….. à ( B F )
Activité N° 2 :
« ABCD » est un quadrilatère convexe quelconque . ( AC) et ( BD ) se coupent « O » . Tracez par « O » la parallèle à ( AB ) qui coupe ( BC) en « F ». Tracez par « O » la parallèle à ( AD ) qui coupe ( DC) en « F ». 1°) Trouvez (en le démontrant) des quotients égaux à 2°) Démontrez que ( EF ) est parallèle à ( BD)

2°) Double application du théorème de Thalès.
Nous reprenons ce que nous avons vu dans le chapitre sur « le théorème de Thalès »… »ABC » est un triangle quelconque. « M » est un point de ( AB), « N » est un point de ( AC) et ( MN) est parallèle à ( BC). Nous démontrons que : Nous traçons par « N » la parallèle à ( A B ) . Elle coupe ( BC ) en « P » .
Ci-dessous on vous donne les « 3 » cas de figures possibles :


Hypothèse :			Conclusion :
	( M N ) / ( B C ) ( N P ) / / ( A B )

Démonstration :
Dans le triangle « ABC » , par hypothèse, ( M N ) est parallèle à ( BC) , donc , grâce au théorème de Thalès , : Dans le triangle « ABC » , par hypothèse , ( NP ) est parallèle à ( AB), donc , grâce au théorème de Thalès , : On en déduit alors (par transitivité ) que D’autre part, par hypothèse, ( MN ) est parallèle à ( BC ) et ( N P ) est parallèle à ( AB), donc , par définition, « MNPB » est un p………………………………., donc ses côtés opposés ont même l………………….. donc « BP = ………………… ». Dans , remplaçons ( BP ) par ( MN ) , on obtient :
Théorème : Dans tout triangle « ABC », « M » étant un point de ( AB) et « N » un point de (AC), si « MN » est parallèle à ( B C ) alors :

Cette situation fait apparaître deux triangles : « AMN » et « ABC ». L’un est un agrandissement de l’autre, leurs côtés correspondants sont « proportionnels ».
Pour écrire les quotients égaux, on procède de la manière suivante : On écrit l’un sous l’autre les sommets correspondants et les quotients apparaissent :
		=			=
Activité N° 3 :
On vous donne un triangle « DEF » (l’unité est le mm). (voir la figure ci-contre) 1°) Une parallèle à (D F ) coupe [ E D ] en « G » et [ E F] en « H ». Ecrivez les « 3 » quotients égaux. 2°) On vous donne : « ED = 35 » , « EG = 20 » , « DF=56 » . Calculez « GH ».
3°) Une parallèle à ( DF) coupe ( ED) en « K » , avec « K » non situé sur [ ED] et coupe ( EF) en « L » , avec « L » non situé sur [ EF]. (voir la figure ci-contre) Ecrivez les 3 quotients égaux. 4°) « EK = 15 ». Calculez « KL »
Activité N° 4 :
« ABCD » est un trapèze « ( AB) // ( DC) ». L’unité est le mm. Une parallèle aux bases coupe [ AD] en « M » , [ BC] en « N » et [ BD] en « P ». « AB= 42 ; DC = 91 ; AM = 20 ; MD = 50 » . Calculez « MN » ………………….(nota : pour cela calculez « MP » et « PN » ) .

Fin du cours ( 26/02/2013)
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