
	Voir définition du mot « direction et sens ». Mots utilisés dans l’objectif : le vecteur Préambule : La projection d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés) implique que l’on doit connaître (ou se fixer) : n une direction (c’est une droite ) n la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et n la droite support qui recevra le « projeté du point » .


	I ) cas général : Projection d’un point sur une droite:

	Le point A’ est le projeté du point A par rapport à la droite de direction "" ; (le segment de droite AA’ est parallèle à la droite d), A' se trouve sur la droite orientée « axe » . La droite "d" indique la ligne "direction" de la projetée.

II ) PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :

Au départ :

On trace un droite « d » , on donne une droite représentant la direction de projection ( ) perpendiculaire à « d » .

On place un point « A » dans le plan .

On demande de tracer la position du point « A’ » sur « d » , qui sera la projection orthogonale de « A » sur « d »

On réalise la « projection orthogonale » d’un point « A » lorsque la direction (delta : ) et la droite sur laquelle on trace « le projeté du point « A’ » » sont perpendiculaires.

Par définition :

Si (d) est perpendiculaire à "d" et

si AA' est parallèle à "d" alors A' est le projeté orthogonal de A sur la droite ( d) ;

on appelle « distance d’un point à une droite » ; la mesure du segment de droite AA’ portée par un perpendiculaire à la droite « d » passant par le point « A ». .

- On dit : que le point " A' " est le projeté orthogonal du point "A" sur la droite (D) .

- On dit aussi : que "A' " est l'image de "A" par la projection orthogonale dur ( D ).

Soit un point "N" appartenant à la droite ( D ) , on dira alors que la projection de "N' " et le point " N" sont superposé sur ( D)

III ) Longueur de la distance du point M au point M' .

Activité : sur une droite "d" on a placé quatre points.

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1°) On demande de mesurer les longueurs des distances séparant ces points.

2°) tracer le projeté orthogonal "M'" de M sur cette droite "d" .

3°) classer ces 5 longueurs .

4°) Que peut-on dire de la longueur MM'

5°) Peut - on trouver un autre point de ( d ) qui soit un distance plus petite ?

compléter la phrase suivante :

Sur la droite ( D ) , le point le plus proche de M est ……………………….

Ainsi :

La distance entre le point « M » et sa projeté « M’ » est la distance la plus courte qui sépare ces deux points.

A savoir : la distance la plus courte entre un point et une droite se mesure sur la droite support de la projetée orthogonale .

Construction de la projetée orthogonale d'un point :

a) avec une équerre:

perpac5

b) avec un compas ( en utilisant les propriétés de la médiatrice , on peut tracer une perpendiculaire d'un point extérieur à une droite)

C

Le point A est hors de la droite x y :

Tracer de A un arc de cercle qui coupe la droite en « x » et « y » . De « x » et de « y » , avec un même rayon , choisi assez grand pour que les cercles se coupent , décrire deux arcs de cercles qui se coupent en un point « C »

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Activité Cours : Construire la projection orthogonale des point M , N et P .

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Résultat : on appellera la projetée de M ® M' ; de N ® N' et de P ® P'.

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Comparaison de distances :

On peut , à partir de la trace de la projection orthogonale , comparer les distances qui sépare ces points à l'aide d'un compas .

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Projetée orthogonales et "parallèles": ( cliquer ici : info plus!!)

Si les deux droites des projetées sont du même côté : et si les points M et N sont à la même distance de la droite ( D) , on peut tracer ( D ' ) parallèle à ( D)

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On peut vérifier le parallélisme avec une équerre.

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Autre application de la projetée d'un point .

Construction de la tangente à un cercle.

Soit un point M et une droite D .

Si je trace la projetée de M sur (D) j'obtient le point "H" . Avec un compas je trace un cercle de rayon [MH] ;

La droite ( D) peut être appelée : tangente au cercle .

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Domaines intéressés par la projection orthogonale :

1. Les projections orthogonales

2. la : symétrie orthogonale)

3. La géométrie descriptive : l’épure d’un point

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

1°) Pour tracer la projection orthogonale du point "M" il faut compléter le dessin par la direction"d"

Compléter le dessin et tracer M' le projeté orthogonal de M .

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EVALUATION

1°) Construire les projection orthogonales des point M , N et P

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2°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par AD ;

b) tracer les projetés B' et C'

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3°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par CD ;

b) tracer les projetés A ' et B' .

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4°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par AC ;

b) tracer les projetés B' et D'.

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5°) soit quatre points A ; B ; D ; C

a) tracer une droite passant par AB ; b) tracer les projetés C ' et D' .

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Série 2

1°) Sur la droite "d" , les deux points A et B sont distants de 5 cm .

Déterminer la longueur de [ A' ; B '] , projeté orthogonale sur (D ) de [A B]

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Même question avec des angles de 30° ; 60 ° et 90°

( ce travail sera exploité par "Thalès" et en trigonométrie "tangente")

2°) Projection orthogonale d'un segment sur une droite :

a) Reproduire la figure . Construire A' et B' , projetés orthogonaux de A et B respectivement sur ( D) , et tracer [ A ' B' ] : le segment [ A ' B' ] est le projeté orthogonal du segment [A B] .

b) Placer le point M , milieu de [A B] et construire M' son projeté orthogonal sur ( D ) . Quelle est la position de M' sur [ A ' B' ]

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Idem :

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Idem :

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