WARMATHS Résumé : collège. |
Les triangles |
Définitions:
Un triangle est un polygone à trois sommets. Tout se compte par
trois dans un triangle: 3 côtés, 3 angles, 3 médianes,
3 médiatrices,
3 bissectrices,
3 hauteurs,
3 façons de calculer son aire dont la formule est (base x hauteur) / 2.
Propriétés:
1. La somme des mesures des
angles d'un triangle est égale à 180°.
2. La somme des mesures de deux
côtés est supérieure (plus grande) à la mesure du troisième côté (inégalité
triangulaire).
3. Droites particulières dans un
triangle:
les médianes sont concourantes au centre
de gravité.
les médiatrices sont concourantes au centre
du cercle circonscrit.
les bissectrices sont concourantes au centre
du cercle inscrit.
les hauteurs sont concourantes au point appelé orthocentre.
Triangles
particuliers:
Un triangle
équilatéral a ses trois côtés égaux, ainsi que ses trois angles (mesure égale
à 180/3 = 60°). Ses médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs sont
concourantes au même point. Les cercles inscrits et circonscrits sont donc
concentriques (= même centre). |
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Un triangle
isocèle a deux côtés égaux ainsi que deux angles. Le point commun à ces deux
côtés est appelé sommet principal. La médiane, ainsi que la
bissectrice et la hauteur qui passent par ce sommet sont aussi appelées principales.
Ces droites sont confondues avec la médiatrice du côté opposé au sommet
principal. Cette médiatrice est l'axe de symétrie du triangle isocèle. |
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Un triangle
rectangle possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit
est appelé hypoténuse, c'est toujours le côté le plus long du triangle
rectangle. La somme des mesures des deux autres angles est 180 - 90 = 90°.
Ces deux angles sont aigus et complémentaires. Les deux
côtés de l'angle droit sont aussi deux hauteurs du triangle.
C'est pourquoi l'aire d'un triangle rectangle est très facile
à calculer ( = produit des mesures de ces deux côtés, divisé par 2). Le centre du
cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse (ou: son diamètre est son
hypoténuse). La longueur de la médiane relative (en bleu
sur la figure) à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de
l'hypoténuse. |
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Calcul des angles
d'un triangle:
Pour calculer un
angle d'un triangle, vous pouvez utiliser:
Attention: la mesure d'un angle obtenu
à l'aide du rapporteur n'est pas démontrée. Vous pouvez
cependant utiliser cette méthode pour vérifier vos calculs.
Calcul de côtés
d'un triangle:
Pour calculer la
longueur d'un côté d'un triangle, vous pouvez utiliser:
Constructions
de triangles:
1. Triangles
quelconques:
a. Nous connaissons les mesures
des trois côtés: il faut que la propriété 2. de la section sur les
propriétés soit vérifiée. Exemple: construire ABC tel que AB=6cm,
BC=3cm et AC=5cm (vérifier que la somme des mesures de 2 côtés est supérieure à
la mesure du troisième)
Nous pouvons
commencer par tracer n'importe quel côté, puisqu'ils sont connus tous les
trois. Commençons par [AC]: avec la règle et un double décimètre. Pour trouver le
troisième sommet B nous utilisons le compas. Tracez deux arcs de cercle:
d'abord en pointant A avec un rayon de 6cm (AB=6cm) puis en pointant C avec
un rayon de 3cm (CB=BC=3cm). A l'intersection
des deux arc se trouve le point B. Il y a deux
solutions (représentées, ci-contre, en noir puis en bleu). Vous n'en
choisissez qu'une, bien sûr! |
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b. Nous connaissons les mesures
de deux côtés et d'un angle: savoir utiliser un rapporteur
est ici (comme dans le point suivant) bien utile. Exemple: construire ABC tel
que AB=6,5cm, AC=7cm et l'angle en A mesure 40°.
Note: il existe
une seconde solution de l'autre côté de (AB). |
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c. Nous connaissons les mesures
d'un côté et de deux angles. Exemple: construire ABC tel que AB=7cm, l'angle en
A mesure 40° et l'angle en B mesure 70°.
Note: une seconde
solution existe.... |
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2. Triangles
particuliers (quelques exemples): Si nous savons que (le triangle à construire est ici appelé
ABC):
a)Les
trois côtés sont égaux: le triangle est équilatéral. Vous tracez le premier côté ([AB]
par exemple) à la bonne longueur puis avec le compas dont la distance entre les
pointes est égale à AB, pointe sèche en A, tracez un arc d'un côté de [AB];
pointe sèche en B, tracez un arc du même côté. Les deux arcs se coupent au
troisième sommet du triangle à construire.
b)Les
trois angles sont égaux: il nous faut tracer un triangle équilatéral mais il nous faut
aussi la mesure d'un côté: si vous la connaissez, vous agissez comme en a) sans
vous occuper des angles (de toute façon ils auront la même mesure: 60°). Sinon
il vous faut d'abord la calculer...
c) Le
triangle a deux côtés égaux de longueur connue et nous connaissons la
mesure de l'angle principal (en A). Tracez le premier côté [AB] par exemple, A
étant le sommet principal. Portez avec le rapporteur centré en A la mesure de
l'angle et tracez le support du deuxième côté (demi droite d'origine A). Portez
sur cette demi droite, à partir de A la mesure du côté [AC].
d) Le
triangle est rectangle en A, que le côté [AC] mesure 6cm et que l'hypoténuse mesure 9cm.
Dans ce cas l'hypoténuse est [BC]. Deux méthodes:
-Tracez l'angle droit d'abord (1)( avec
l'équerre ou non, tout dépend de la précision que vous recherchez). Portez à
partir de A, sur l'un des côtés de l'angle droit, le point C tel que AC=6cm
(2). Avec le compas muni d'un rayon de 9cm, pointe sèche en C, tracez un arc
de cercle qui coupe l'autre côté de l'angle droit au point B (3). Remarque: la figure ci-contre est à
l'échelle 1/2 |
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-Tracez
l'hypoténuse [BC] d'abord. En déterminer son milieu (1). Tracer le cercle de diamètre
l'hypoténuse (2). Avec la pointe sèche placée en C et un rayon de 6cm coupez
le cercle en un point A (3)(il en existe deux symétrique
par rapport à (BC), en choisir un). Tracer [AC] et [AB]. Le triangle obtenu
ABC est rectangle en A et a les dimensions imposées. |
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Propriété de
Pythagore:
Le
théorème:
Si ABC est rectangle en A alors
BC²=AB²+AC²
La propriété
de Pythagore ne se rencontre que dans les triangles rectangles et seulement
dans ces triangles. Si vous travaillez dans un triangle quelconque, vous ne
pouvez pas l'utiliser directement: il vous faut décomposer ce triangle en
triangles rectangles (en traçant une hauteur par exemple).
Cette propriété est
très utile pour calculer la longueur d'un segment. Il faut que ce segment soit
l'un des côtés d'un triangle rectangle (j'insiste..) et que vous connaissiez
les longueurs des deux autres côtés.
Exemple:
Soit
le segment [AB] de longueur 10cm et le point H de ce segment situé à 3cm de
A. Tracer
la droite (d) perpendiculaire en H à [AB] et placer sur (d) le point C tel
que HA=5cm. Calculer
la longueur des côtés de ABC. |
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ABC est quelconque
jusqu'à preuve du contraire.. Nous connaissons déjà la longueur du côté [AB]
qui est 10cm.
Comme (d) est
perpendiculaire à [AB] en H alors AHC (respectivement CHB) est rectangle en H.
Comme AHC
(respectivement CHB) est rectangle en H alors AC²=HA²+HC² (respectivement :
CB²=HC²+HB²).
Donc: AC²=3²+5² ;
AC²=9+25 ; AC²=34 ; AC= 5,8cm environ (à 0,1cm près par défaut) (utilisation de
la calculatrice avec la touche racine carrée: entrez 34 et appuyez sur la
touche racine carrée). De même pour CB² mais il faut calculer d'abord la
longueur de [HB]... (c'est facile!). Nous trouvons: CB=8,6cm à 0,1cm près par
défaut.
Remarque: ABC est-il
rectangle finalement? La réponse est non (utilisez la réciproque du théorème de
Pythagore ci-dessous).
La
réciproque:
Si dans un triangle ABC
l'égalité AB2+AC2=BC2 est vérifiée
Alors le triangle ABC est
rectangle en A.
Exemple:
Pour donner une
solution à la remarque
de l'exemple précédent: ABC est-il un triangle rectangle?
Nous avions
calculé AC2 (34) et BC2 (74) et nous avions AB=10, d'où
AB2=100. Dans un triangle rectangle le côté le plus long est
toujours l'hypoténuse. Vérifions si [AB] est une hypoténuse:
Premier membre
de l'égalité: AC2+ BC2=34+74=108
Deuxième membre
de l'égalité: AB2=100
Comme AB2
est différent de AC2+ BC2 alors ABC n'est pas un triangle
rectangle.
Triangle obtenu
avec un point d'un cercle et l'un de ses diamètres:
Le
théorème: (important)
Si un
triangle est obtenu en joignant un point d'un cercle aux extrémités d'un
diamètre
Alors ce triangle
est rectangle en ce point.
Données:
Un cercle, un
point M sur le cercle, un diamètre [AB] de ce cercle.
Figure:
Sur la figure
ci-contre nous avons placé plusieurs points M (indicés de 1 à 4 pour les
différencier) et indiqué l'angle droit obtenu. |
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Remarque: cette propriété peut
s'énoncer aussi:
Si le cercle
circonscrit d'un triangle a pour diamètre un côté de ce triangle
Alors ce
triangle est rectangle et le côté diamètre est son hypoténuse.
Droite et segment
des milieux:
La droite qui
passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième
côté.
La longueur du
segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle a pour longueur la
moitié de la longueur du troisième côté.
Droite parallèle
à un côté:
Les données sont:
Ces données
déterminent deux triangles: AMN et ABC dont les longueurs des côtés sont
prortionnelles. Nous avons les égalités de rapports ci-contre. |
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La propriété peut se
présenter avec les données suivantes:
Si vous inversez
tous les quotients, les égalités demeurent.
En pratique, vous
n'utiliserez qu'une égalité à la fois, ce qui est possible de trois manières:
En utilisant les
propriétés des quotients
égaux vous pouvez calculer une distance en en connaissant trois
autres: calcul de AM en connaissant AB, AN et AC avec la première égalité, par
exemple.