WARMATHS REPERAGE et Les
Repères
Cas
particuliers
I. Graduation d'une droite et axe:
1. Graduation:
|
Le thermomètre est l'exemple même d'un morceau de
droite graduée. Cette graduation s'appuie sur des observations physiques :
degrés (Kelvin, Celsius ou Farheinheit), signification du "zéro"
(température de solidification de l'eau);.. |
Voici
différentes graduations d'une droite (D):
Remarque: sur la troisième graduation,
le point entre O et I indique le milieu de [OI]. Ce qui entraîne que la
distance entre ce milieu et O est 0,5.
2. Axe:
Un axe est une droite graduée munie d'un sens matérialisé par une
flèche. Ce sens est celui de l'origine O vers le point unitaire I de la
graduation. Les droites (x'x) ci dessous sont graduées de trois façons
différentes. Il s'agit de trois axes :
Les
nombres situés sous les graduations sont les abscisses
des points de graduation. Par exemples:
sur la graduation en centimètres,
le point A a pour abscisse 5
sur la graduation en décimètres, le point A a pour abscisse 0.5.
sur la graduation en millimètres, le point A a pour
abscisse 50.
Chaque fois le point origine O a pour abscisse 0
(zéro) et le point unitaire I a pour abscisse 1 (un).
Remarque: Le sens de O vers I est celui
des nombres croissants.
II. Repérage sur une droite:
1. Repère d'une droite:
Un repère sur
une droite est un axe de cette droite. Un repère est donc défini en donnant le
couple de points (point origine,point unitaire)
Repérer un point sur une droite c'est définir un axe sur cette droite
(=graduation et sens) et, sur cet axe, donner l'abscisse de ce point.
L'abscisse d'un
point d'une droite dépend de l'axe défini sur cette droite.
Dans les trois
cas, nous avons placé le point A à 5cm du point origine O dans nos représentations. Ce
qui ne signifie pas forcément que l'abscisse de A soit 5
Pour la première représentation, l'abscisse de A est effectivement 5, parce que
l'unité de graduation est le centimètre. Mais pour les deux autres repères
l'abscisse de A est 0,5, pour la deuxième graduée en décimètres, et.50 pour la
troisième graduée en millimètres.
La distance réelle entre les points O et I ne sert que pour construire la
graduation. Il est préférable, ensuite, de l'oublier et de ne considérer
que la graduations réalisée.
Remarque:
Sur un axe
horizontal (ou vertical) le sens choisi n'est pas toujours de la gauche vers le
droite (du bas vers le haut). Les règles de lecture des abscisses restent les
mêmes (valeurs croissantes dans le sens de l'axe en tenant compte de l'unité de
la graduation):
3. Mesure
algébrique:
Nota: cette notion n'est pas au programme de Mathématique du
collège bien qu'elle soit très facile à assimiler. Si je l'énonce c'est pour
permettre une compréhension plus claire des notions de distance, de coordonnées
d'un vecteur,.. et permettre
des démonstrations plus générales et plus rapides. A ceux qui ne désirent pas
l'étudier, il reste la faculté de mémoriser des résultats partiels basés sur la
notion de distance, moins générale.
Considérons une
droite (x'x) munie du repère (O,I):
Les points O, I,
M, P et R ont respectivement pour abscisses 0, 1, 5, 2 et -2. Ces abscisses
sont notée respectivement xO, xI, xM, xP et
xR. cette notation est très pratique
lorsqu'on ne connaît pas réellement les abscisses. Avec les données ci-dessus,
nous avons donc: xO =0, xI =1, xM =5, xP =2
et xR =-2.
La mesure algébrique du segment [MP] est notée (se
lit MP barre). Sa valeur est donnée par:
C'est à dire:
abscisse de l'extrémité moins abscisse de l'origine du segment.
Dans notre exemple: =2-5=-3.
Le nombre -3 indique que pour aller
de M à P il faut parcourir 3 unités de graduation dans le sens contraire donné par l'axe.
De même: =
xP - xR soit 2-(-2)=2+2=+4. Le nombre 4 indique que pour aller de R à P il faut
parcourir 4 unités de graduation dans le sens de
l'axe.
Remarque importante: les nombres et sont opposés ou encore = - puisque:
= xP - xR et = xR - xP = -( xP - xR ).
La mesure
algébrique d'un segment d'axe est un nombre relatif entier, décimal ou réel.
La mesure algébrique n'est pas utilisée que pour un
segment d'axe. Nous l'utilisons aussi dans le plan muni d'un repère (donc
de deux axes). Voir plus loin.
Propriété de Chasles:
Comme
=
xP - xM et =
xR - xP alors +
=
xP - xM + xR - xP = xR -
xM
Or xR - xM est la mesure algébrique de [MR]. Donc
De même ,
d'où =
xM - xR + xP - xM = 5 -(-2) +2 -5 =
4.
3. Abscisse du milieu d'un segment sur une droite graduée:
Soit
(x'x) une droite graduée de repère (O,I). Les points A
et B d'abscisses respectives xA et xB et M le milieu du
segment [AB].
Comme M milieu de [AB] alors AM=MB. Le sens de A vers M est le même que celui
de M vers B et comme AM et MB désigne la même distance alors les mesures
algébriques de [AM] et [MB] sont égales :
Remarques:
- Nous
avons remplacé la mesure algébrique de [OB] par xB ce qui se
justifie par le fait que, selon la relation de Chasles : où
xO est égale à 0 (origine du repère).
- Cette formule est juste quelque soit la position des points sur
l'axe. Pour notre exemple ci-dessus : l'abscisse de M est égale à (-2 +
3)/2 = 0,5.
4. Distance de deux points sur une droite: (voir aussi Distance de deux points dans un repère du
plan)
La distance de deux points M et P est
la mesure absolue de la mesure algébrique du segment d'axe [MP]:
MP = ||
qui se lit : distance MP égale valeur absolue de mesure algébrique MP
Exemple : avec les données du 2°: MP=|-3|=3 et RP=|+4|=4.
La distance est
donc toujours un nombre positif
Remarque:
Pour calculer MP, la procédure suivante est souvent utilisée:
- Calcul du carré de MP : MP²= ² (inutile de noter avec des | | car un carré est toujours
positif comme une valeur absolue).
- Calcul de la racine carrée : MP=
- Par exemple :
vous noterez que, dans le cas ci-dessus, nous écrivons bien (
- 18 )² et non - 18 ² (qui est égal à -324) ce qui constitue une erreur
de calcul. De plus, nous ne pourrions pas alors extraire la racine carrée
(la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas) ...
III. Repérage dans un plan:
1. Définitions:
Pour
repérer un point dans un plan nous utilisons un repère composé de deux axes:
x'x
pour l'axe des abscisses
y'y
pour l'axes des ordonnées ( ordonnées=abscisse sur le
second axe)
Ces deux axes ont le même point origine O mais des points unitaires différents
I et J. On les appelle axes des coordonnées.
Remarque:
-Les
deux unités de graduation ne sont pas obligatoirement égales.
-
Le repère d'origine O et de points unitaires I et J est souvent noté repère(O,I,J).
Pour repérer un
point M nous avons besoin de deux nombres: une abscisse lue sur l'axe des
abscisses et une ordonnée lue sur l'axe des ordonnées. Pour déterminer ces
nombres nous traçons deux droites (d1) et (d2) passant par M et
parallèles aux axes. Les points d'intersection M' et M" de,
respectivement, (d1) et (d2) avec (x'x) et (y'y) ont pour abscisses xM et yM les nombres cherchés.
Ces deux nombres constituent les coordonnées
du point M dans le repère (O,I,J)
Attention: dans la notation M(xM , yM)l'ordre est important. Dans
le couple (xM , yM) le premier
nombre est toujours l'abscisse, et le second l'ordonnée. Cet ordre est
illustré sur la figure ci-dessus par les flèches notée 1 et 2 pour donner le
sens de la lecture des coordonnées: abscisse d'abord, ordonnée ensuite.
Exemples: d'après la figure ci-dessus nous avons
M(3;2), O(0;0), I(1,0), J(0,1), M'(3;0) et M"(0;2).
2. Coordonnées du milieu d'un segment:
Soit le segment[AB]
dans un repère d'axes (x'x) et (y'y). Les droites passant par A et B
parallèlement aux axes, coupent (x'x) en A' et B' et (y'y) en A" et
B"
A' et B' ont donc pour abscisses, les abscisses de A et de B, c'est à dire xA
et xB. De même les ordonnées de A" et B" sont les
ordonnées de A et B, c'est à dire yA et yB.
|
La
droite (AA") coupe (BB') en H. |
D'après ce que nous avons vu au II 3° , sur l'axe (x'x) comme M' est le milieu de
[A'B'] alors
Note: pour yM vous démontrerez
que (MM") coupe [BH] en son milieu, puis vous "découperez" le
parallélogramme BHA"M" en deux triangles par la diagonale
[BA"]. En utilisant deux fois le théorème de la droite des milieux,
vous aboutirez à : M" milieu de [B"A"] ce qui permet d'écrire:
3. Distance de deux points dans un repère orthonormé:
Dans le repère orthonormé d'axe (x'x) et (y'y), soient
les points A(xA ; yA) et B(xB
; yB).
Note préliminaire : Le choix d'un repère orthonormé est ici
obligatoire pour deux raisons:
- il nous faut des axes perpendiculaires pour nous permettre d'utiliser le
théorème de Pythagore (Rappel : Si MPQ est rectangle en P alors MQ²=MP²+PQ² ).
- il faut que les axes soient gradués avec la même unité pour nous permettre
d'utiliser les abscisses et les ordonnées des points dans les
calculs. Sinon nous ajouterions par exemple, le carré d'un nombre de
centimètres, au carré d'un nombre de millimètres... Ce qui donnerait ... une
très belle erreur!
Ce qui donne la figure suivante:
|
Comme les lignes de
rappel des abscisses (AA') et (BB') sont parallèles à (y'y) alors elles sont
parallèles entre elles : (AA')//(BB') |
Comme (BB') est parallèle à (y'y) et (y'y)
perpendiculaire à (AA") alors (BB') est perpendiculaire
(AA"). Appelons C le point d'intersection de (AA") et (BB').
Comme le triangle ABC possède un angle droit en C alors ABC est rectangle en C.
Comme ABC est rectangle en C alors AB²=AC²+CB². (Théorème de Pythagore).
Nous avons (voir la remarque du II 4° ) :
AC²=(xC-xA)² et CB²=(yB-yC)² d'où
AB²=(xC-xA)²+(yB-yC)²
Comme les coordonnées de C sont (xB;yA)
l'égalité ci dessus devient (en remplaçant xC par xB
et yC par yA ) : AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)² et
Exemple: avec les points A(4; -2) et B(-3;2) nous avons AB²=(-3-4)²+(2-(-2))²
AB² = (-7)²+4²=49+16 et AB²=65. En extrayant la racine carrée :
AB=
4. Quadrants:
Les deux axes de coordonnées partagent le
plan en quatre parties appelées quadrants numérotés de I à IV. Les
points situés dans chacun de ces quadrants présentent une organisation des
coordonnées caractéristiques, comme indiquée sur la figure ci dessous
Ce
qui se lit: dans le 1er quadrant (quadrant I) les deux coordonnées sont
positives. Dans le quadrant II, les abscisses sont négatives et les
ordonnées sont positives,etc.
5. Repères particuliers:
Fig 1. Repère
orthogonal: les axes sont perpendiculaires. Les unités
de graduation sont différentes.
Fig
2. Repère normal: les axes ont une position quelconque
l'un par rapport à l'autre. Les unités de graduation sont les mêmes.
Fig
3. Repère orthonormal: c'est un repère à la fois orthogonal et
normal.
Fig
4. Repère quelconque: rien de particulier ne le caractérise.
Remarque 1: Nous n'utiliserons pratiquement que
des repères orthogonaux (normés ou non).
Remarque 2 : Il est parfois inutile de faire figurer l'origine et
le point unitaire sur l'un ou les deux axes. Exemple : dans les centres de
soins (hôpitaux, cliniques,...) un membre de l'équipe soignante relève
régulièrement la température des patients. Cette température est mémorisée
graphiquement sur une feuille de soin. Comme pour le patient XYZ dont la
date d'admission est le 11 mai 2002.
Sur ce graphique l'origine des abscisses est
le 11 (qui est le 11ème jour du mois en cours) et l'origine des ordonnées est
33 (qui représente 33° de température). Chaque jour la température du patient
est reportée sur le graphique : pour le patient XYZ, le jour d'admission la
température était 39,8° ... le 18 elle est de 37°...
Dans ce cas, une température inférieure à 34° (hypothermie) ou une températures
supérieures à 42° (hyperthermie) est généralement mortelle, d'où l'inutilité de
les représenter.