Pré requis:
|
|
|
|
Nomenclature Calcul Numérique |
|
|
Type
de problèmes de la vie
quotidienne menant à la résolution d’équation du premier degré. |
|
|
Tout sur les
égalités EG4 |
|
ENVIRONNEMENT du dossier:
|
Objectif précédent : |
Tableau |
DOSSIER: N°1 :
ALGEBRE (Généralités)
-
Signes
et lettres : emploi des lettres ; signes opératoires ;
coefficient ; le signe « multiplier » ; exposant ;
signes de relation ; les parenthèses ; l’énoncé ; formules.
|
COURS |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
ALGEBRE
L ' algèbre existait bien avant l ' ère
chrétienne.
Nous
en trouvons des traces sur des tablettes retrouvées sur le site de NIPPUR
( Babylone) , vieilles de quatre mille ans , et
presque à la même époque , en Egypte .
Puis ce fut à la Grèce , pépinière
de savants philosophes et mathématiciens
, de reprendre le flambeau de l ' algèbre avant de les transmettre aux nations civilisées les plus proches de
nous : , celles des Indiens , celles de
Arabes qui l ' introduisent en Europe au
moyen âge(vers 950).
En
825 , un sage de Bagdad , al-Kharezmi
, écrivit un illustre traité de mathématiques intitulé AL-Djabr
w a J muqabalah ( l ' art d 'assembler et de réduire des inconnues pour les égaler à une quantité
connue).De là est né le nom ALGEBRE.
L ' algèbre
permet de réduire un problème concret à une ou plusieurs égalités simples où les
nombres à découvrir sont
remplacés par des lettres que l
'on appelle des "inconnues".
D
' où " Résoudre ": la résolution d ' équations ou d '
inéquations , les calculs d
'expressions numériques ( exemple : 3 x2 - 7x +3 ) pour des
valeurs de x appartenant aux ensembles de nombres relatifs sont des problèmes relevant de l ' algèbre.
Algèbre
Préliminaire:
Dans une question d'arithmétique le même nombre peut représenter deux grandeurs différentes.
On peut , par exemple, considérer 12 mètres de
plinthe à 12 francs le mètre. Dans les
calculs , le nombre 12 s ‘utilisera seul
sans indication de la nature de la
grandeur qu'il représente , et quand on devra effectuer les opérations , on ne
pourra pas savoir , sans faire un effort
de mémoire , si le nombre 12 qui est
écrit représente des francs ou des mètres.
De plus , si on a ensuite un problème analogue à faire , on sera dans
l'obligation de refaire sur les nouvelles
données le même raisonnement que l'on avait fait précédemment ,puisqu'on ne
sait pas la nature de la grandeur particulière représentée par chacun des
nombres écrits ; on ne pourra pas profiter des calculs antérieurs pour obtenir
plus rapidement le résultat.
Supposons maintenant que , dans l'exemple précédent, au lieu de laisser
les nombres , on convienne de représenter par "a" le nombre de mètres , par "b" le nombre de francs
que coûte chaque mètre ( à l'
exclusion de tout autre signification)
:partout où l'on verra "a"
, on pensera au nombres de mètres ; et
partout ou l'on verra "b"
, on pensera au nombre de francs .
Si dans la solution trouvée dans ces
conditions on remarque qu'il y a : b
a ,cela voudra dire qu'il faudra multiplier le nombre de
francs par le nombre de mètre et cela , dans
tous les exemples analogues , quels que soient d'ailleurs les nombres représentés par "a" et "b".
notation algébrique
La
notation b a équivaut à une phrase entière ; ce type de phrase est appelée "notation
algébrique"
La notation algébrique est une écriture
qui utilise des lettres et des signes opératoires
traduisant une situation mathématique .
But de l'algèbre:
L'algèbre a pour but la simplification et la
généralisation des questions sur les nombres:
L' algèbre a donc pour
but :
1°) de
simplifier les calculs.
2° )de faciliter la résolution des problèmes.
3° )de généraliser les résultats obtenus.
La simplification est due à l'emploi de signes pour indiquer
les opérations et , dans les problèmes , de lettres
pour désigner les nombres cherchés.
La généralisation est due à l'emploi de lettres pour
représenter les nombres donnés.
SIGNES ET LETTRES UTILISES EN ALGEBRE.
0n désigne
les nombres (quantités ) par des lettres.
Les premières lettres de l'
alphabet "a" , "b" , "c", ….représentent
ordinairement les nombres (quantités)
connus.
Les nombres que l'on se propose de chercher
sont désignés le plus souvent par les dernières lettres de l'alphabet :
"x" , "y" , "z" …que l'on appelle les
nombres ( quantités )
"inconnues"
L'algèbre emploie les mêmes signes que l' arithmétique.
On a vu que les signes usités pour indiquer
les opérations sont :
1°) pour l'addition ,
le signe "+" (plus) : a + b représente "la somme" désignés par "a" et
"b" ,comme 3 + 5 représente la
somme des deux nombres 3 et 5.
2°) Pour la soustraction ,
le signe " - " (moins) : a - b
représente la différence des nombres
désignés par "a" et " b" , comme 12- 7 représente la différence des deux nombres 12 et 7.
3°)pour la
multiplication , le signe " " (multiplié par ): ab représente le multiplication du nombre désigné par "a" par le nombre désigné par "b"
comme : 3 7 représente la multiplication du nombre 3 par
le nombre 7
On
simplifie la notation , on supprime le signe "" entre les facteurs : abc équivaut abc ,il faut souvenir de cette convention dans les calculs
algébriques.
4°) Pour la division ,
le signe ":" (divisé par ):
a : b représente la division du
nombre désigné par "a" par le nombre désigné par "b" , comme 56 :4 représente la division de 56 par 4 .
On emploie plus souvent la notation :
qui s'énonce
"a" sur "b" et qui équivaut à "a" : "b"
5°) Radical : Le signe
est le même qu’en arithmétique , c’est à dire qu’on
écrira : 
ou 
pour « racine
carrée » de 8a et 
pour racine cubique
de 7b
Pour une racine à extraire ,
le signe 
, que l'on appelle
"radical" .On le place devant le nombre dont on doit extraire la
racine ; l' ordre de la racine s'écrit au-dessus de l'angle formé à gauche du signe .
Le nombre qui indique l'ordre de la racine s'appelle l '"indice du radical"
.
Ainsi
représente la racine
quatrième du nombre désigné par "a" ,
comme 
représente la racine quatrième du nombre "256" ,et le nombre "4" est ici l'indice du radical
.
Quand l 'indice du
radical est 2 ou 3 , on dit comme en
arithmétique " racine carrée , au lieu de racine deuxième , et racine
cubique au lieu de racine troisième.
Quand l' indice est
2 et qu'il n'y a pas de radical ayant un autre indice que 2 , on peut ne pas
écrire l'indice.
Ainsi
représente la racine
carrée de "a" , mais il faut écrire 
+
et non pas +
On appelle "coefficient" un nombre
ou une lettre représentant ce nombre que l'on place devant une quantité pour
indiquer le nombre de fois qu'il faut répéter cette quantité
.
C'est en somme l'indication
du produit de ce nombre par la quantité sans utiliser le signe "multiplier" () ; on dit aussi : que le coefficient est un nombre
qu’on place à gauche d’une lettre comme multiplicateur et après un signe + ou -
.
Exemples:
|
6a |
6 est le coefficient
de "a", cela veut
dire 6 |
Cette
écriture remplace l' addition : 6 a = a + a + a + a + a + a |
|
mx |
m est le coefficient de "x" |
m x = m |
|
|
|
|
|
Autre cas :
|
|
Info +:cliquer ici |
IMPORTANT : Le
coefficient "1 " est toujours
sous entendu:
|
Elément neutre dans
la multiplication : le "1" |
SOS cours: cliquer ici |
AINSI:
|
a |
1 est le coefficient
de "a" |
a = 1 |
|
x |
1 est le coefficient
de "x" |
x = 1 |
Par
convention ,en algèbre le signe « multiplier » , « 
» n’ est jamais représenté pour éviter de le confondre avec
« x »
CONVENTIONS D’
ECRITURE:
Dans
les expressions algébriques le signe
« multiplier » n ‘ est jamais
représenté
On
ne trace pas la « croix » pour éviter
toute confusion avec la lettre « x »,qui
est couramment utilisée pour
représenter « l’inconnue » .
En l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:
un nombre et une lettre : 3x
;lire « trois fois
ixe »
(le
mot « fois » doit être remplacé
par « multiplié par » )
deux lettres : ab
; lire « a fois
b » ou « a » facteur
« b »
un
nombre et une racine: 3
;lire « 3
fois racine carré de 18 »
un nombre et une parenthèse : 3 ( 2x + 1) ; lire
« 3 fois entre parenthèses 2
ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de
2ixe plus un »
les groupes de mots « fois
entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .
une
lettre et une parenthèse: x ( 2x +2) , lire
« ixe facteur de 2ixe plus 2 »
entre
deux parenthèses
: (2x+1)(3x+2) , lire
« 2ixe plus un » , entre parenthèses , facteur de « 3 ixe
plus 2 »
|
Pré
requis « calcul numérique ». |
|
La
notation des exposants , indiquée en arithmétique ,
est employée aussi en algèbre: a5 représente le produit de 5 facteurs égaux au
nombre désigné par "a" , comme 35 représente le produit de 5 facteurs égaux à 3 (3132333435 )
Ainsi : a5 s'énonce "a puissance 5" , 5 est l'exposant de la puissance. On dit que
"a" est élevé à la 5ème
puissance.
On appelle "exposant" un nombre ou une lettre que l'on place en
haut et à droite d'un nombre , d'une lettre, d'une
parenthèse ou d'un crochet pour indiquer la puissance à laquelle on doit élever le nombre , la
lettre , ou la quantité placée entre parenthèses ou entre crochets , c'est à dire le nombre de fois que cette quantité
doit être multipliée par elle même.
|
Exemples: |
On
lira !!!!!! |
Ce
qui s’écrit aussi !!!!! |
|
52 |
Se
lit : 5 exposant « 2 »
ou 5 puissance 2 ou « au carré » |
52 = 5 |
|
a3 |
Se
lit : "a" exposant « 3 »
ou "a" puissance
3 ou « au cube » |
a3
= a |
|
(a-b) 2 |
Se
lit : (a-b) exposant
« 2 » ou (a-b)
puissance « 2 » |
(a -b) 2 = (a -b) |
|
Attention !!! ( -5) ² n’est pas égal à « - 5 ² » ; on doit savoir que « - 5² » est l ‘écriture simplifiée de - ( +5 ) ² |
||
|
A propos
de l'exposant 1 : par
convention on écrira 51 = 5 a1
= a x1
= x (a -b) 1
= (a-b) l’exposant « 1 » n’est jamais inscrit ,
mais il est parfois utile de savoir qu’il « existe ». |
||
Terme algébrique . On appelle « terme » une expression
formée d’une ou plusieurs lettres , ayant ou non un coefficient , et qui ne sont
séparées par aucun signe + ou - .
Exemple : 4ab2 est un terme
On a vu que les signes usités en arithmétique pour indiquer la relation
qui existe entre deux nombres sont :
1° )
Le signe = (égal à ) : a
= b indique que le nombre désigné par
"a" est égal au nombre désigné par "b" comme
8 + 2 = 10 indique que la somme des deux nombres 8 et 2 est
égale à 10.
a
= b s' énonce " a
égal à b " ou "a égale b"
2°) le signe <
(plus petit que ) indique que le nombre placé à gauche de ce signe est
plus petit que le nombre qui est placé à droite du signe.
a< b indique que le nombre
désigné par "a" est plus petit que le nombre désigné par "b" , comme 1 + 3 < 5 indique
que la somme 1+3 est plus petite
que 5 .
a< b s'énonce "a plus petit
que b".
On
voit que le nombre le plus petit est du coté
du sommet de l'angle.
3°) Le signe
> ( plus grand que ) indique que le
nombre placé à gauche de ce signe est plus grand que le nombre qui est placé à
droite du signe.
"a" >
"b" indique que le nombre
désigné par "a" est plus grand
que le nombre désigné par "b" , comme 12 - 2 > 9 indique que la différence 12 - 2
est plus grande que 9.
"a" >
"b" s
'énonce "a" plus grand que "b".
On voit que le nombre le plus petit est encore du coté du sommet de
l 'angle , comme dans l'emploi du signe précédent .
4° ) Le
signe "¹ " (
différent de ) "a" ¹
"b" indique que le nombre désigné par "a" est différent du
nombre désigné par "b" , comme
3 + 2 ¹ 1 + 6 , indique que la somme 3+2 est différente de la somme 1+6 .
5° ) Le signe £ ( inférieur ou au
plus égal à ) : "a" £
"b" indique que le nombre désigné par "a" est
inférieur ou au plus égal au nombre désigné par
"b".
"a" £ "b" s'énonce :
"a" inférieur ou plus égal à "b" .( on voit ce signe en arithmétique dans la
théorie de la division euclidienne)
6° ) Le
signe " ³ " (
supérieur ou au plus égal à ) :
"a" ³
"b" indique que le nombre
désigné par "a" est plus grand ou au moins égal au nombre désigné par "b".
"a"
³ "b" s'énonce : "a" supérieur ou au moins
égal à "b"
On emploie les parenthèses (…..)
, les crochets […..] pour indiquer que
l'on considère comme effectuées les
opérations à faire sur les nombres qui y sont renfermés.
Ainsi ( a + b - c) représente le nombre que l'on obtient quand
on a effectué le calcul indiqué par la notation a + b
- c
Alors
si on a (a + b ) (c + d ) ;
(a +b )
représente le nombre qui est la
somme de "a" et de "b" , que l'on désigne "A"
; ( c + d ) représente le nombre
qui est la somme de "c"
et de "d" , que l'on désigne "B" . On a donc une notation
de la forme "AB " , ce qui signifie qu'il faudra
multiplier A et B , c'est à dire que
(a + b ) (c + d ) indique la multiplication du nombre " a+ b
" par le nombre " c + d ".
Il
faut apporter une très grande attention à l' usage des
parenthèses ou des crochets. Leur oubli dénature complètement
l' opération à faire .
Exemples d'emploi de signes et lettres pour simplifier la
recherche de quantités.
Nous allons
montrer comment l'emploi de signes et de lettres pour désigner les quantités simplifie la
solution des questions sur les nombres .
Problème : Trouver deux nombres , connaissant
leur somme 40 et leur différence 12 .
Première
approche
: traitons la question par l'arithmétique.
La somme
des deux nombres est égale au plus petit plus le plus grand ; or le plus
grand est égal au plus petit augmenté de 12 , qui est la différence entre les
deux nombres ; donc la somme des deux
nombres est égale au plus petit plus le
plus petit augmenté de 12 , c'est à dire 2 fis le plus petit plus 12 ; mais la
somme est 40 , par conséquent 2 fois le plus petit nombre plus 12 = 40; 2 fois
le plus petit nombre vaut 40 diminué de
12 ou 28 ; une fois seulement le plus petit
nombre = 2 fois moins ou 14. Le plus petit nombre est 14 , le plus grand est donc 26.
Vérification:
la somme des deux nombres 14 et 26 est bien 40 .
Leur différence est de 12.
Deuxième
approche
: on reprend la même question en indiquant les opérations par
des signes et en représentant par
la lettre "x" le plus petit des deux nombres cherchés.
Le plus petit nombre étant "x" , le
plus grand est "x+12 "
La somme des deux nombres sera :
x + x + 12 , ou 2x
+12
Mais cette somme est par hypothèse
40 ,
donc on peut écrire:
2x + 12 = 40
|
retranchons « 12 » de part et d'autre : |
Voir Théorème sur les égalités |
2x + 12 - 12 = 40 - 12
2x = 28
d'où x =14
Le
plus petit nombre est de 14 ,
le plus grand est
x +12 ou 14 +12
ou 26
La
marche suivie dans les deux cas pour résoudre ce problème est absolument la même ; mais dans le premier
cas , le raisonnement semble pénible à suivre , car il faut chaque fois se
souvenir de ce que l'on a dit précédemment , tandis que dans le deuxième cas ,
à chaque étape du raisonnement , on a sous les yeux les résultats successifs
auxquels on arrive peu à peu et qui constituent autant de jalons.
La
simplification de la recherche des
problèmes a été mise en évidence dans l'exemple simple où la
solution arithmétique était aisée. Cette simplification deviendra plus
manifeste dans la solution des problèmes où le raisonnement par l 'arithmétique est long et compliqué.
Commentaire
:
Mais dans le résultat obtenu
, il n'y a plus de trace des calculs que l'on a effectué pour l'obtenir
.Si on a à résoudre de nouveau un
problème analogue , il sera nécessaire de refaire les mêmes calculs pour
trouver le nombre cherché.
Nous
allons montrer que l'algèbre généralise les questions sur les nombres et que cette généralisation
est due à l'emploi de lettres pour représenter les nombres donnés avec leur signification.
ENONCE
: (problème précédemment généralisé ) Trouver
deux nombres connaissant leurs
somme "a" et leur différence
"b".
Ainsi
on désigne "a" la somme des deux nombres cherchés et "b" la différence de ces deux nombres.
Soit
"x" le plus petit des deux nombres
cherchés , le plus grand est égal au plus petit
augmenté de la différence , c'est à dire de "b" ; le plus grand
nombre sera donc " x + b ".
La somme des
deux nombres sera donc
: x + x + b ou
2x + b ;mais cette somme est désignée "a" ,
donc : 2x
+ b = a (1)
Retranchons "b" de part et d'autre : 2x + b - b = a - b
2x = a - b
d'où , en prenant la moitié (en divisant de part et
d'autre par 2 ) x =
C'est le plus petit des deux
nombres. 2x + b = a
Ajoutons "b" de part
et d'autre , dans l' égalité (1) , nous aurons
2x + b + b =
a + b
2x + 2 b
= a + b
d'où , en prenant la moitié (en divisant de part et
d'autre par 2 )
x + b = 
; c'est le plus grand des deux nombres .
Donc si nous traduisons le résultat que l'on
vient d'obtenir , on écrira :
Le
plus petit des deux nombres cherchés s'obtient en retranchant la différence
donnée de la somme et en prenant la
moitié du reste .
Le
plus grand des deux nombres cherchés
s'obtient en ajoutant la différence donnée à la somme donnée et en prenant la moitié du total.
Commentaire: quels que soient désormais les nombres donnés dans un
problème de ce genre , on pourra immédiatement , sans
faire les opérations intermédiaires , calculer les nombres cherchés.
FORMULES : Les expressions 
et 
qui donnent les
valeurs des deux nombres cherchés du problème précédent ,
s 'appellent des formules.
Une formule est l'expression des calculs
à effectuer pour arriver à la
solution numérique d'un problème déterminé .
Exemple : calculer l’intérêt d’une somme
de 20 000 francs placée à 6 % , pendant 5 ans .
Solution voir
arithmétique : intérêt simple
En 1 an , le capital
de 20 000 rapporte :
Et en 5 ans , il
rapportera : 
Si l’on remplace Si l’on remplace le capital
par la lettre « c » , le taux par la lettre
« a » , le temps par la lettre »t » , et l’intérêt par la
lettre « i » , on voit que l’on aura : i = 
Cette forme d’écriture est appelée «
formule algébrique »
Pour voir des exemples de formules ►
|
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
1.
Quels sont les buts principaux de l' algèbre ?
2.
Donner un exemple de notation algébrique :
3.
Qu'appelle -t -o n notation algébrique ?
4.
En algèbre par quoi sont désignés les nombres ?
5.
Que représente les premières lettres de l' alphabet "a" , "b" , "c", ?
6.
En algèbre
avec quelles lettres désigne -t -on les nombres cherchés ? comment les nommes t-
on ?
7.
Quels sont les signes ( 5 ) opératoires les plus usités en algèbre ;nommer l'opération ?
8.
Que représente
les écritures suivantes
|
a + b |
|
|
a - b |
|
|
a |
|
|
a : b |
|
|
|
|
|
|
|
9 .A quoi équivaut
l'écriture algébrique " abc"?
10 . A quoi équivaut l'écriture : ?
11 . comment s'énonce t elle ?
12.Comment appelle t on
ce signe : ?
13. Qu 'appelle t
on indice du radical ? (donner un
exemple )
.
14 . L' écriture suivante
"+" est interdite
pourquoi ?
15. Coefficients:
a) Qu' appelle t on "coefficient "?
b) Un facteur seul
peut être précédé d'un coefficient ; lequel ?
16 .Que désigne les signes
suivants ?
|
Traduire |
|
|
|
Le signe = |
|
|
|
le signe < |
|
|
|
Le
signe > |
|
|
|
Le signe "¹
" |
|
|
|
Le
signe £ |
|
|
|
Le
signe " ³
" |
|
|
|
17 . Traduire |
|
|
|
a =
b |
|
|
|
a<
b |
|
|
|
"a" > "b" |
|
|
|
"a"
¹ "b" |
|
|
|
"a"
£ "b" |
|
|
|
"a" ³ "b" |
|
|
Que peut on dire sur la position des
nombres situés à gauche et à droite des
signes : < et > ? :
LES
PARENTHESES:
Qu
'indique
l'emploi de parenthèses et de
crochets dans le calcul
algébrique ?
Formule :
Qu'appelle- t -
on « formule » ?
Que signifie le mot
résoudre une équation?
Nommer
les coefficients :
|
|
Le coefficient est
: |
Montrer
l’opération: |
|
|
6a |
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
x |
|
|
|
CALCUL ALGEBRIQUE
|
Devoir |