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Exemples de suites..

Notation

Définition.

Des suites :  …. Arithmétiques ; géométriques ; encadrantes…..

Exercices Types.

COURS

Exemples de « suites de nombres » :

On utilise fréquemment des suites de nombres rangés dans un ordre déterminé.

 Exemples :

La suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

La suite des ouverture de diaphragme  d’un appareil photographique :

     2     ;  2 ,8   ;  4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 ; 22

Les suites  des avances longitudinales et transversales , en mètres par minute , sur une fraiseuse :

·       :   9 ; 11 ; 14 ; 18 ; 23 ; 29 ; 36 ; 45 ; 58

·       :   69 ; 86 ; 110 ; 137 ; 173 ; 220  275 ; 346 ; 440

« terme » Chacun des nombres figurant dans une suite est un « terme » de cette suite.

« suite finie ; suite infinie » Certaines suites comportent un nombre fini de termes ( comme la suite 2 qui comprend 8 termes) . Ce sont des suites finies.

D’autres comportent une infinité de termes , ce sont des suites infinies ou illimités  ( par exemple : la suite 1)

Notation :

On représente en général les termes d’une suite par une même lettre , chaque terme étant repéré par un indice correspondant au rang qu’il occupe dans la suite.

Ainsi pour  la suite 2 :

                 u₁  = 2      ;  u₂ = 2,8 ;    u₃ = 22

Il existe des suites dont les termes successifs apparaissent au hasard. Mais , le plus souvent , on définit une suite  à l’aide d’une loi de formation permettant :

 - soit de calculer chaque terme en fonction de son rang :    u_n = f ( n)

Ex :Suite des nombres entiers :    u _n =  n

       Suite des nombres pairs :       u_n = 2 n

-        Soit , lorsqu’on connaît un certain nombre de termes , d’en déduire les termes suivants ( loi de récurrence)

Exemple : pour la suite 1 , qui est la  suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

On obtient chaque terme en ajoutant une unité au terme précédent :

  La loi de formation est :     u _n  =  u  _n-1 + 1

Nous étudierons  les deux types de suites, fondamentaux,  la suite arithmétique dont la formation est basée sur la loi simple de l’addition et la suite  géométrique dont la formation est sur la loi simple de la multiplication.

Ces études vont mettre en évidence des analogies entre les progressions arithmétiques et les progressions géométriques : elles sont formées de la même manière. ( par addition pour les progressions géométriques , par multiplication pour les progressions géométriques) , leurs propriétés sont voisines. D’où l’idée   du mathématicien Neper de comparer ces progression et d’établir une correspondance entre les termes de même rang , et d’imaginer  « les logarithmes ».

Définition :

Une suite est un ensemble d'éléments connus "en compréhension".

Une  "suite" est  un ensemble d ' éléments (de nombres)  dont les éléments ont une propriété caractéristique permettant de les reconnaître (identifier) ;  

Pour savoir si un élément "x" appartient à une suite ,il faut se demander si  l 'objet "x" possède ou non cette propriété ; il est alors connu en compréhension.

L'ordre des éléments est important ( croissant ou décroissant) ;  ils   sont ou  peuvent être  "indicés"

(  l'indice indique le numéro d'ordre ou de  rangement de ces éléments)

Une suite de nombres réels est une application de l’ensemble des entiers dans : R

C’est donc une fonction numérique dont l’ensemble de définition est N  ( ou parfois  N * =  N -  )

Si l’image d’un entier « n » est noté «  u _n » , la suite elle-même est notée :  (  u _n )

Une suite est dite « croissante » (resp. décroissante) lorsque pour tout entier « n » on a l’inégalité u _n  u _n+1 ;  ( resp. u _n  u _n+1 )

Les exercices 1 ; 2 ; 3 qui sont proposés en fin de ce cours ; montrent des suites convergeant vers « 0 » ; si petit que soit le nombre strictement positif «  » , il existe un rang à partir duquel tous les termes sont ( en valeur absolue) inférieurs à «  ».

On note  u _n 0   ou  lim u _n = 0

Et l’on dit que (  u _n ) converge vers le réel « a » lorsque la suite (  u _n – a ) converge « 0 »

Deux  types de suites  se rencontrent souvent dans les applications

1°)   Les suites arithmétiques  ( dites aussi « progressions arithmétiques ».

Chaque terme est égal au précédent augmenté d’une constante « b » ( appelée raison de la progression )

Le terme   général s’écrit alors :   u _n =  u ₀ + nb

2°) Les suites géométriques ( dites aussi « progressions géométriques)

Chaque terme est égal au précédent multiplié par une constante « q » ( appelée : raison de la progression)

Ce terme général s’écrit alors :  u _n =  u ₀ q ⁿ

On peut vérifier que si la raison « q » est telle que  <  1 , la suite converge vers « 0 ».

3°) Les Suites encadrantes.

Deux suites  ( u _n )   et ( v _n  ) sont dites encadrantes lorsque les quatre propriétés suivantes sont vérifiées :

( u _n )  est croissante.

( v _n  ) est décroissante

Pour tout entier « n »  ( u _n )    ( v _n  ) ;

La suite ( v _n  -  u _n ) converge vers « 0 »

On montre alors que les deux suites convergent vers un réel « a » et que pour tout « n » :

( u _n )    a   ( v _n  ) ; autrement dit

( u _n )  est une valeur approchée par défaut de « a » ;

( v _n  ) est une valeur approchée par excès  de « a » ;

une incertitude est ( v _n  -  u _n )

(info + sur :  Les progressions arithmétique et géométriques.)

Exercices types  ( série 4)

1.   

On considère la suite définie par :  u _n =

1°) Calculer ses huit premiers termes .

2°) Comment choisir « n » pour que :

·       ( u _n ) < 0,1

·       ( u _n ) < 0,01

·       ( u _n ) <   ;    étant un réel strictement positif donné ?

2.   

On considère la suite définie par  u _n =

1 °) Calculer ses huit premiers termes .

2°) Comment choisir « n » pour que :

·       ( u _n ) < 0,1

·       ( u _n ) < 0,01

·       ( u _n ) <   ; 

  étant un réel strictement positif donné ?

3.   

On considère la suite définie par  u _n =

1 °) Calculer ses huit premiers termes .

2°) Comment choisir « n » pour que :

·       ( u _n ) < 0,1

·       ( u _n ) < 0,01

·       ( u _n ) <   ; 

  étant un réel strictement positif donné ?

4.   

On considère la suite définie par  u _n =

1 °) Calculer ses dix premiers termes .

2°) Montrer que , pour tout entier « n » , on a les deux inégalités :

·      2 <  u _n

·       u _n+1   < u _n

3°) Peut-on déterminer  « n » en sorte que

·       ( u _n – 2 ) < 0,1    ?

·       ( u _n – 2  )  <   ;                  étant un réel strictement positif donné ?

·        

5.   

On considère la suite définie par  u _n =

1 °) Calculer ses dix premiers termes .

2°) Montrer que , pour tout entier « n » , on a les deux inégalités :

·      2 <  u _n

·       u _n+1   < u _n

3°) Peut-on déterminer  « n » en sorte que

·       ( u _n – 2 ) < 0,1    ?

·       ( u _n – 2  )  <   ;                  étant un réel strictement positif donné ?

6.   

On considère la fonction définie sur l’intervalle  [ 1 ; 3 ]    par     f ( x ) = x² - 2

a)     vérifier que « f »  est croissante.

b)     On définit deux suites ( u _n )  et  ( v _n  ) en posant : u ₁ = 1  )  et  ( v ₁  = 3 )  et

 Si

  u _n+1  = u _n     et     v _{n+ 1} =   

si 

u _n+1  =  et    v _{n+ 1} = v _n

vérifier que , pour tout entier « n »     f ( u _n ) < 0  et   f ( v _n )  0

c)     Calculer : « u₂ » ; « v₂ » ; »u₃ » ; « v₃ » ; « u₄ » ; »v₄ » ; « u₅ » ; « v₅ »

d)     Vérifier que  ( u _n ) est une suite croissante , que ( v _n ) est une suite décroissante et que pour tout « n » ; ( u _n ) <  ( v _n )

e)     Montrer que ( v _n ) - ( u _n ) est une suite convergeant vers « 0 ». Calculer les dix premiers termes .

f)       Donner un encadrement de   de longueur inférieur à « 0,1 »

7.   

On considère la fonction définie sur l’intervalle  [ 1 ; 3 ]    par     f ( x ) = x² - 3

a)     vérifier que « f »  est croissante.

b)     On définit deux suites ( u _n )  et  ( v _n  ) en posant : u ₁ = 1  )  et  ( v ₁  = 3 )  et

 Si

  u _n+1  = u _n     et     v _{n+ 1} =   

si 

u _n+1  =  et    v _{n+ 1} = v _n

vérifier que , pour tout entier « n »     f ( u _n ) < 0  et   f ( v _n )  0

c) Calculer : « u₂ » ; « v₂ » ; »u₃ » ; « v₃ » ; « u₄ » ; »v₄ » ; « u₅ » ; « v₅ »

     d ) Vérifier que  ( u _n ) est une suite croissante , que ( v _n ) est une suite décroissante et que pour tout « n » ; ( u _n ) <  ( v _n )

e ) Montrer que ( v _n ) - ( u _n ) est une suite convergeant vers « 0 ». Calculer les dix premiers termes .

f ) Donner un encadrement de   de longueur inférieure à « 0,1 »

g) Si votre calculatrice comporte une touche   , comparer avec la valeur qu’elle affiche pour .

8.   

On définit une suite par

  «  f ( 0) = 1 » ;  «  f ( n ) =  » pour «  n 1 »

1°) Calculer «  f ( n) »en fonction de l’entier naturel « n ».

exemple : 

·       le premier terme est «  f (0) = 1 ;

·        le second terme est  «  f ( 1 ) =   .  [ f (0)] =   . [1]  = ;   f ( 1 ) = 

·       le troisième terme  est   f (2) =    f (1)]  =   .  =  = 

·       le quatrième terme  est   f (3) =    f (2)]  =   .  = 

·       le  8 ^ième terme  est  f ( 7)  =

voir ci-dessus : Montrer que cette suite est décroissante. Quelle est la valeur de  «  f ( 8) »

2°) Pour tout entier « n » , on pose : «  S (n) =  f ( 0) + f ( 1) +………..+ f ( n) »

a)     Calculer «  S (3) =  f ( 0) + f ( 1) + f ( 2 )+ f ( 3) »

b)     Montrer que   est la somme : f ( 1) + f ( 2 )+….+  f ( n + 1) » 

En déduire que l’on a :

9.   

L’étude de la production électrique française en milliards de kilowattheures pendant dix années consécutives numérotées de « 1 » à « 10 » a montré que les rapports :

 ;   ; …… ;

( P _n  désignant la production de l’année numérotée « n » ) étaient  pratiquement constants et que leur valeur commune était k = 0,1.

1°) Sachant que la production de l’année n°1 est  P₁ = 40 , calculer les valeurs de  P₂ , P₃ , P₄ .

 2°) « n » désignant un entier compris entre « 1 » et « 9 » , P _n+1 la production de la ( n+1)ième année, trouver une relation simple entre P _n et P _n+1.

Calculer P _n en fonction de P₁ ; en déduire la valeur de P ₁₀.

3°) A partir de quelle année la production a-t-elle été au moins le double de P ₁ . ? 

10.  

A suivre !!!!!

CONTROLE:

EVALUATION: