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les chiffres et nombres

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Objectif précédent : les chiffres et nombres , définitions

Objectif suivant : les ensembles de nombres ( généralités)

Tableau         6   Algèbre : les relations d’ordre.

Lecture :     

1°) NOTIONS SIMPLES   sur  LES  « « ENSEMBLES »

2°) Vocabulaire  ensembliste .

3°) Rappels  destinés  aux probabilités.

 

 

Test

COURS

Contrôle

évaluation

INTER. disciplinaire

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

 

COURS

 

NOTION  d’ ENSEMBLE.

 

 

Rassemblons en un lieu tous les élèves d’un établissement scolaire , et posons à chacun d’eux la question : êtes- vous élève de la classe 4^e A ?

 

 

Pour chacun des élèves , il existe une réponse sans équivoque à la question  posée.

Pour certains , cette réponse est : oui ; pour d’autres , la réponse est : non

 

Nous dirons que   tous les élèves  pour lesquels la réponse est « oui »  forment « l’ensemble » des élèves de la classe 4^e A .

 

D’une façon générale  , on appelle « ensemble » une collection d’objets , de personnes , de choses , qui ont en commun au moins une propriété qui permet de les distinguer des autres objets .

 

Par exemple  , une collection de timbres , un groupe de majorettes  , les cercles que l’on peut tracer dans un plan sont des ensembles .

Chaque timbre  , chaque majorette  , chaque cercle est « un élément » de l’ensemble envisagé .    

 

En mathématiques , nous considérons des ensembles de nombres , des ensembles de points , des ensembles de lignes .

 

Symbole d’appartenance (  Î )  ; Symbole ( Ï )  de non appartenance .

 

                              Si nous désignons par « a » un objet , par « E » un ensemble . Pour exprimer que « a » est un élément de l’ensemble « E » , nous écrivons :   a ÎE

Le symbole Î est le symbole d’appartenance ; nous lisons a appartient à E

 

Si « b » n’est pas un élément de l’ensemble « E » , nous écrivons bÏE

 

Le symbole Ï est le symbole de non appartenance ; nous lisons : b n’appartient pas à E

 

 

 

Par exemple , si nous désignons par E l’ensemble des dix premiers nombres entiers  , nous écrivons :  7 Î E ; et  13ÏE.

 

 

 

 

ENSEMBLES : DONNEES GENERALES

 

 

Définition : Un ensemble est une collection d’objets distincts ayant un caractère  commun et  bien défini.

 

Notation : On désigne généralement un ensemble par une lettre majuscule : « A » ; « B » ; « S » ;….

Il y a des conventions  internationales pour désigner certains ensembles.

 

L’ensemble des voyelles peut être appelé « V » ; N est l’ensemble des nombres entiers naturels. 

 

« élément » : chacun des « objets » de l’ensemble est appelé « un élément » de cet ensemble .

«  a ; e ; i ; o ;u ; y»  sont des éléments de « V »

nous écrirons que  « a Î V »  et nous lirons : « a » appartient à l’ensemble « V »

   nous écrirons  , au contraire que  « z » Ï V ; nous lisons que «  z n’appartient pas à l’ensemble V » de même 13 Î N  mais  3,7 Ï N par contre  3,2 ÎD .

 

« écriture en extension » fini ou infini.

 

« écrire un ensemble en extension » , c’est une énumération de tous les éléments. On les aligne entre deux accolades, en les séparant par des virgules pour les lettres ou des points virgules pour des nombres.

Exemples :  l’ensemble fini  des voyelles se notera :    

                     l’ensemble infini  des nombres entiers  se notera :      ; pour écrire cet ensemble on se contentera de faire figurer les premiers éléments de cet ensemble , qui est illimité.

« écriture en compréhension »

« écrire un ensemble en compréhension » c’est résumer  par une propriété le caractère commun à tous  les éléments  de l’ensemble.

 

Exemple :       on lit « B est l’ensemble des entiers naturels « x » inférieurs à 7 .

Autrement dit ,

 

Représentation d’un ensemble  par un diagramme de Venn

 

Diagramme :du grec « diagramma », dessin .  John Venn  « mathématicien » ( 1834 - 1923)

 

 

 

Ensemble vide :    l’ensemble vide est noté  par le lettre :   « Æ »  ou par la double accolades :   

Reprenons l’exemple l’ensemble des élèves d’un établissement scolaire . Si dans cet établissement il n’y a que des ébénistes et des sculpteurs , c’est à dire qu’il n’y a pas de classe de dessinateurs  , il n’y a pas d’élève inscrit en classe 3A . Nous dirons que  inscrit en classe 3A . Nous dirons que l’ensemble des élèves de la 3A est « l’ensemble vide » .

Nous désignons l’ensemble vide par le symbole :  Æ . par définition , cette notation désigne tout ensemble qui ne contient aucun élément.

 

Remarque : pour certaines propriétés il est parfois possible de répondre sans ambiguïté par oui ou non à la question posée pour définir l’appartenance . Mais il est possible aussi que , pour certains objets , la réponse soit incertaine .Par exemple pour identifier les élèves ayant les cheveux bruns la réponse est forcément oui ou non , il n’en est pas de même si l’on doit identifier les élèves ayant les cheveux de couleur châtain  plus ou moins foncé , la réponse n’est pas nette . 

Nous ne considérons  que les ensembles bien définis , c’est à dire des ensembles pour lesquels l’appartenance ou la non appartenance d’un élément est sans équivoque.

 

« singleton »  de l’anglais  single :seul

tout ensemble contenant un seul élément  est appelé « singleton ». 

 

exemples :    ; 

 

Ensembles disjoints

 

Désignons par E l’ensemble des élèves de la classe  TCC ; par E’ l’ensemble des élèves de la classe 2B . aucun des élèves de la classe TCC n’appartient à la classe 2B . Nous dirons que les ensembles TCC et 2B sont des « ensembles disjoints »

 

Définition : On appelle ensembles disjoints ( nota : remarquer l’utilisation du pluriel ) des ensembles E et E’  qui n’ont aucun élément commun.

 

 

Intersection de deux ensembles .

Désignons par « A »  l’ensemble des quatre lettres  « a » ;, « b » ,  « c » ,  « d »

 Et par « B »   l’ensemble des cinq lettres  « a » , « c » , « d » , « e » , « f » , « g »   ;

              Les éléments communs à ces deux ensembles sont les lettres « a »  et « b » .

Nous dirons que l’ensemble « C » des deux lettres « a » et « b » est l’intersection des ensembles A et B , nous le noterons :  C = A Ç B  , et nous lirons C est égale A inter B 

 

Avec l’exemple précédent  , nous écrivons :

A =ía  ,b ,c ,dý    ; B = =ía ,b ,e ,f , g ý ; C = A Ç B  = ía  ,bý

 

 

Par définition : on appelle « intersection » de deux ensembles « A » et « B »  l’ensemble « C » des éléments communs aux deux ensembles « A » et « B ».

 

 

           Remarque : il résulte des définitions précédentes que si deux ensembles E  et E’ sont disjoints , leur intersection est l’ensemble vide ; nous le noterons E Ç E’ =Æ

 

 

Réunion de deux ensembles .

 

Soit les deux ensembles   A = ía  ,b ,c ,dý    et   B =í a ,b ,e ,f , g ý ; nous écrivons la liste de toutes les lettres distinctes  que nous venons de  nommer « a » ;, « b » ,  « c » ,  « d », « e » , « f » , « g »   ; .Nous disons que l’ensemble « D » de ces lettres et la « réunion » des ensembles A et B . Nous noterons : D = A È B et nous lirons : D égale  A union B

Avec l’exemple précédent , nous avons :

        A = ía  ,b ,c ,dý    et   B =   í a ,b ,e ,f , g ý   ;

        D =         A È B      =       ía  ,b ,c ,d ,e ,f , g ý 

 

 

Définition : On appelle réunion de deux ensembles A et B l’ ensemble  D des éléments qui appartiennent à l’un et l’ autre des deux ensembles donnés .

 

En résumé : Si A et B sont deux ensembles de nombres ;

 

L’intersection de A et de B est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à A et à B ; on la note A Ç B   ( on lira : A inter B)

 

La  réunion de A et de  B  est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un  au moins de deux ensembles  A et B ; on la note  A È B  ( on lira : A union B)

 

On peut écrire :

                   x Π A Ç B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

                   x Π A È B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 

 

 

Symbole d’ inclusion :

 

Si  nous désignons par « F » l’ensemble des élèves de la classe TCC  qui font partie de l’ équipe de football  . Tous les élèves  de l’ensemble « F » appartiennent à l’ensemble « E » des élèves de la classe .

 

Pour exprimer que tous les éléments de l’ensemble  F appartiennent à l’ensemble  E , nous écrirons :   FÌ E .

Le symbole Ì  est le symbole « d’inclusion » . Nous lisons : « F » est inclus dans « E » 

Et nous disons que « F » est un « sous ensemble »  de l’ensemble « E »

 

 

 

Comparaison de deux ensembles.

Exemple de « comparaison » en vue de les distinguer :

Un surveillant entre dans la salle de classe pour distribuer aux élèves les carnets de liaison ; il doit donner un carnet à chaque élève .

Soit « E » l’ensemble des élèves de la classe  , « C » l’ensemble des carnets que porte le surveillant . Trois cas peuvent se présenter :

1°) Chaque élève reçoit un carnet , et il ne reste aucun carnet après la distribution ; nous disons qu’il y a autant de carnets que d’élèves.

* l’ensemble E et l’ensemble  C on le même nombre d’éléments.

2°) Chaque élève reçoit un carnet , et , lorsque la distribution est terminée , il reste des carnets , nous disons qu’il y a davantage de carnets que d’élèves .

* l’ensemble E  possède moins d’éléments que l’ensemble  C.

3°) Lorsque tous les carnets que portait le surveillant sont épuisés , il y a encore des élèves qui n’ont pas reçu de carnet ; nous disons qu’il y a moins de carnets que d’élèves .

* l’ensemble E  possède plus d’éléments que l’ensemble  C.

 

Egalité de deux ensembles :

 

Deux ensembles  sont égaux  s’ils contiennent exactement les mêmes éléments

Exemples : 

A  =  ;  B =   ;  C  =   ; 

On écrira :   A  ¹ B   on lit «  A est différent de « B »   et    

On écrira :   A = C   on lit «  A est égal à « B » 

 

 

Cardinal d’un ensemble :

 

Du latin « cardo , inis : pivot principal

Le cardinal  d’un ensemble est le nombre  d’éléments qu’il contient.

On le note en abrégé « card. »

 

 

 

 

 

 

 

INTER DISCIPLINARITE:

 

Trouver des cas de la vie courante  où  l ' on peut  parler d ' "ensemble".

   CONTROLE:

 

Traduire :

 

 x Π A Ç B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 x Π A È B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 

 EVALUATION:   

 Aucune

 

 

PARTIE  2 : Rappels  destinés  aux probabilités.

 

2.1 Ensembles, éléments

On appelle ensemble, toute liste ou collection d’objets bien définis, explicitement ou implicitement ; on appelle éléments ou membres de l’ensemble les objets appartenant à l’ensemble et on note :

• si p est un élément de l’ensemble A
• B est partie de A, ou sous ensemble de A, et l’on note ou , si

On définit un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments :

• A = {1, 2, 3}
• X = {x : x est un entier positif}

Notations :

• la négation de est
• Ø est l’ensemble vide
• E est l’ensemble universel.

2.2 Opérations sur les ensembles

Soient  A et  B deux ensembles quelconques.

 

Intersection L’intersection de A et B, notée , est l’ensemble des éléments x tels que et . Soit :  = { x : et } Le terme « et » est employé au sens si x appartient à la fois à  A et à  B   Cas particulier : si , on dit que A et B sont disjoints.

 

 

 

Réunion La réunion de A et B, notée , est l’ensemble des éléments  x tels que ou . Soit :  = { x : ou } Le terme « ou » est employé au sens si  x appartient à A, ou à B, ou à A et B (car signifie et ).

 

 

 

 

Complémentaire Le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à  A.

 

 

Différence La différence entre A et B, ou complémentaire de B relatif à A, est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

 

Résumé  sur  l’ algèbre des ensembles :