(SOS Cours)

PARTIE 1

 

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CORRIGE

  des Travaux  auto - formatifs

sur  LE NOMBRE D’OR

TRAVAIL PERSONNEL : De ces travaux , un devoir peut être donné : les exigences et les difficultés à résoudre sont fonction du niveau des objectifs à atteindre.(pré défini par le programme)

 

I)  Historique et définitions.

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                   Questionnaire 1

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

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                     Questionnaire 2

                     Activité 1 ; activité 2 ; activité 3 A  et activité 3B                 

 

III ) APPLICATIONS :

ٱ

 

(@)

A)  Partage d’un segment dans la divine proportion:

ٱ

                   Activité 4 ; activité 5 ; activité 6 ;

 

B) Construction d’un rectangle à partir des segments

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-          calcul :  activité 7 activité 8

 

C ) Construction d’un rectangle à partir d’un carré.

ٱ

                  Activité 9

@info

III )   AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

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                  Activité 10 ; activité 11      

 

IV )  LA SPIRALE HARMONIQUE.

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                  Activité 12

 

@info

 V ) LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.

@inٱfo

                   Activité 13        

PARTIE 2

LE NOMBRE D’OR

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Questionnaire N° 3

                  Activité 14

SUITE  à donner à ce cours: Pour donner un prolongement et assurer un travail en interdisciplinarité, en Art appliqué, on devra traiter de  la « composition selon le nombre d’or ».

 

 


 

 

I)  Historique  et définitions.

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QUESTIONNAIRE 1 :

Le symbole @ signifie qu’ il existe un lien 

 

1°) Qui est « Vitruve » ( quelle période) ?

Architecte romain Vitruve

 

2°)  donner la citation de « Vitruve » concernant   l’obtention du  « nombre d’or »:

 

« Il y a de la petite partie à la grande le même rapport que de la grande au tout »

 

3°) de quoi parle - t- il ? du partage asymétrique des longueurs d’une figure dont le rapport de dimensions est établi selon le « nombre d’or ».

4°) de quelle façon  a - t -  on découvert le nombre d’or ?

Découvert d’une façon empirique, dans l’architecture et dans la peinture,

 

5°)  Qui a attribué  les propriétés au nombre d’or ?

ce sont les Grecs avec Pythagore ( v. 570-V 480 av. J.- C) qui ont attribué au nombre d’or ses propriétés mathématiques.

 

6°) A partir de quel événement  a -t - on  fait  l’usage de la division au nombre d’or ?( à quelle période ? )

 

 Dès la parution du traité d’ Euclide  ( III e  siècle av. J.-C.)  .

 

7°) que précise  t - il ? :il indique  comment on procède pour obtenir le nombre d’or par tracé au compas.

 

8°) A quelles figures géométriques lie - t- on le nombre d’or ?:

 Le nombre d’or est notamment lié (@) au pentagone régulier ainsi qu’à divers autres (@) polygones réguliers  et   (@) polyèdres.

 

9°)  Rechercher les définitions :

 de « pentagone » ; « polygones réguliers » ; « polyèdres » ; Rechercher les figures ou autres dessins.

 

10°)  Compléter les phrases :

Empreint de mystère, objet de culte tantôt religieux , tantôt magique , le nombre d’or influence la vision occidentale de l’harmonie.

Chez les Grecs , avec le développement de la géométrie , la secte secrète des pythagoriciens en avait fait un symbole d’ harmonie universelle , de vie , d’amour et de beauté. A la renaissance

Architectes , peintres et sculpteurs cherchant à renouer avec  l’ idéal antique se sont réclamés de la doctrine platoniciennes des corps cosmiques , les cinq polyèdres réguliers , et on fait du nombre d’or , « la divine proportion », un modèle de perfection esthétique et philosophique.

 

Le nombre d’or correspond à une proportion particulièrement esthétique  appelée « divine proportion » ; il tient toujours une place importante dans le monde des arts et de l’architecture.

11 °) Quelle est la figure géométrique qui permet  d’approcher et de comprendre  la « divine proportion » ?  

C’est le rectangle d’or , par sa forme simple, qui permet d’approcher et de comprendre une construction établie selon la « divine proportion ».

 

12 °)  A quel  format des « peintres correspond - t-il ?

 

Il correspond à la dimension du format « marine » des peintres.

 

13°) Trouver des professions ou activités  où l’on utilise le nombre d’or ?

 

 le nombre d’or  est utilisé par les : architectes , artistes , concepteurs , publicistes , ……

 

 

 

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

 

QUESTIONNAIRE 2 :

 

A)  Recherche du nombre d’or à partir de la définition :

 

1°) Par quelle lettre désigne - t - on le nombre d’or , comment la note - t -on  ?

Par la lettre grecque « phi »  notée :

2°) Donner la définition du nombre d’or :

C’est le partage d’une longueur en deux parties inégales, dans lequel le rapport de la grande partie au tout est égal au rapport de la plus grande partie à la plus petite.

     3°) Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment : établir la relation qui permet d’obtenir le nombre d’or :

 

Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation suivante :

   4°) Comment s’appelle cette relation ?  une proportion.

   5°) A quelles fractions  peut approché ce rapport ?    Les fractions     ou         approchent ce rapport.

 

 

 

 

 

Activités : niveau  IV (dont : Bac. Prof)

 

 Recherche du nombre d’or :

On prend appui sur la construction de la « divine proportion » :

La distance AB entre les pieds et la tête de l’homme présentant les mensurations idéales et dessiné par Léonard de Vinci, est partagée par le nombril « M » dans une proportion correspondant au nombre d’or.

La construction de la « divine proportion » prend appui sur le triangle rectangle ABC  rectangle en « B » tel que :

BC = .

 

Sur le dessin ci-contre , sont représentés des rectangles dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or ; de tels rectangles sont appelés  « rectangles d’or »

 

1°)  détermination par le tracé  de la position du  point  « M »  sur la segment AB de telle sorte  que :

                                       

 

Tracer un triangle rectangle semblable à celui de la figure  « ABC », puis, en utilisant le principe de construction indiqué sur celle - ci, placer les points « M’ » et M » . En déduire la valeur approximative du nombre d’or.

Activité 1 : Relever les longueurs des segments  AB ; AC ; AM ; AM ’  et  calculer le rapport  et le rapport     ;le rapport    et   ;  comparer les résultats et conclure que :. Les rapports sont égaux

 

 

 

 

 

 

 

Activité:

Après avoir tracé un  triangle ABC ,  rectangle en « B »

  1.   On note AB = a
  2.  On demande :  Calculer  AC² ; puis exprimer  AC en fonction de « a » :

 

                               AC² = ( a² + () ² )  = a² + = 

                                         AC =  = 

 

  1. On demande : En déduire l’expression  de « A M’ » et « AM » en fonction de « a ».

                

AM’ =   -    ou   =  = AM ;   AM =         

4. On demande  Calculer  le rapport  et l’on montre que le nombre d’or est :

                                            ou soit       1,618

 

 =  =   = == ==

 

Conclusion:                  =  =

 

Activité 3  :  

A)   Rechercher l’équation permettant de calculer le nombre d’or  par la résolution d’une équation du second degré. ( voir le triangle ABC sur le dessin de Vinci)

 

On donne :  AB = a  et   = x

 

a) Exprimer  AM en fonction de « a » et « x ». : puisque     donc  

b) En utilisant la relation :   on montrer   que   « a² -  »  (1)

 

                 

 

   Il faut trouver MB =  AB - AM  =   a -

    on remplace  « AB » ; « AM » et « MB » dans le relation       

   on obtient :         ; en faisant le produit en croix :     a (a - )=  (        (2)

 

      soit : en développant (2)  on obtient la relation  (1) :

                                  a (a - )=  (   =       a² -        (3)

 

c) En déduire l’équation du second degré permettant de calculer le nombre d’or et la résoudre.

   

   1°) Réduire la relation précédente (3) au même dénominateur :      = 0

 

     (@ info + »on chasse les dénominateur »++)   (d’après un théorème sur les égalités :cela revient à multiplier tous les termes par x² )

    

  On obtient  l’équation :                  a² x² - a² x - a² = 0   ;

 

2°)   On factorise :      a² (x² - x -1) = 0

 

3°)   Il faut  résoudre l’équation    «   - x - 1 »  , une solution  de cette équation est   le nombre d ‘or.  (On doit résoudre une équation du deuxième  degré).

 

4°)  Résoudre l’équation : x² - x -1

 

(c’est une activité de  niveau  (Bac. Prof) ;pour cela Il est évident qu’il faut savoir résoudre algébriquement les équations du second degré .

 

Résolution :

Δ = b² - 4ac ;   (-1)² -  4 fois (+1)  fois (-1)  = 1 + 4 = 5

 

X’ =    soit   x ‘  =   et     x’’=   soit x’’=

 

On retiendra la solution « positive » :   que l’on appelle : phi et que l’on note :

 

 

B) Résoudre graphiquement  l’ équation  «  y =  x² - x -1 » , situer sur la courbe position du nombre d’or.

construire la représentation graphique de la fonction :

 f : x x² - x -1 et en déduire la valeur du nombre d’or. (l’utilisation d’une calculatrice graphique est conseillée)

 

Voir le tracé ci contre :

Le point  « x » =  1,618  pour y= 0 est une des solutions de l’équation ; la valeur négative n’est pas retenue.

.


 

 

III) APPLICATIONS :

 

 

(@)proportion

A) Partage d’un segment dans la divine proportion:

 

 

Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation suivante :

 

Les fractions     ou              approchent ce rapport.   On prendra   = 1,618

 

Activité 4 : Calculer   la longueur totale du segment connaissant la plus petite dimension du segment :

Soit MB  = 10 cm ; calculer  AB

 Suivant la formule ci dessus :

 

:  = = 1,618

 

AM =  10 × 1,618 = 16,18

Longueur totale du segment AB :

AB = AM + MB = 16,18 + 10 = 26,18 cm

 

 

Activité 5 : Calculer la longueur totale du segment connaissant la plus grande dimension du segment :

 

Soit AM  = 10 cm  , calculer AB

 Suivant la formule ci dessus :

 

:  = = 1,618

 

MB =  10 / 1,618 = 8,85 cm

Longueur totale du segment AB :

AB = AM + MB = 10+ 8,85  = 18,85 cm

.

 

 

 

 

Activité 6 :Diviser , par tracé ,  un segment  AB  en deux parties , dans le rapport : ; Avec un compas .

 1-  Tracer  un segment AB

2- Tracer la perpendiculaire BC de longueur AB à partir de « B »

3 - Diviser la droite BC en deux parties égales au compas. Le point O est le point central.

4 - Tracer à partir de O un circonférence de diamètre BC.

5 - Tracer à partir de A un arc tangent extérieurement à la circonférence de centre O qui la touche en « M’ » et qui coupe la droite AB en « M »

6 - Le rapport obtenu est

:

 

 


 

 

B )Construction d’un rectangle à partir des segments

 

 

Pour construire un rectangle d’or  la méthode est la même : le petit côté est dans le rapport  (phi)  avec le grand côté. On peut toujours vérifier les calculs en se servant du rapport approximatif 5/8  ou 13 / 21.

(@ Voir tracé d ‘un rectangle)

 

Activité 7 :  On donne la longueur du petit côté d’un rectangle : 12 cm    ; tracer le rectangle dans le format marine. :     Format :  N°  1      12 x 22 cm

 

Activité 8  On donne la longueur du grand côté d’un rectangle : 27 cm    ; tracer le rectangle dans le format marine. :     Format :  N°  2      27x 22 cm

 

 

C) Construction d’un rectangle à partir du carrée

 

 

Activité 9:  Soit un carré de  9 cm de côté , tracer le rectangle d’or à partir de ce carré .

 

Procédure :

1-  tracer un  carré

 

2- Diviser la base du carré en deux parties égales.

          

3- Avec le compas, tracer à partir de « M » un arc de cercle qui passe par « C »

4-Du point d’intersection de l’arc de cercle avec le prolongement de la base « AB », « N » on trace la perpendiculaire à « AB ». Elle coupera le prolongement du sommet du carré en « N’ »

5 -La relation obtenue sera :   AN / AB = ?                                                   

 

 

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IV )  AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

 

Activité 10:Sur une feuille A3 : tracer le rectangle d’or  ABCD :   22 x 12 cm ; Agrandir ce rectangle , en vue d’obtenir un autre rectangle d’or.

 

 

1 -Tracer un rectangle ABCD qui soit dans le rapport du nombre d’or :

 

2 -A partir  de AB tracer un carré AFEB

 

3- 

 

Activité  11 - On trace un rectangle ABCD qui est dans un rapport de  « phi » : 22 x 12 cm

- tracer  à l’intérieur de ce rectangle un autre rectangle d’or .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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V) LA SPIRALE HARMONIQUE.

 

 

Activité 12:  Sur une feuille de format A4 ; centrer un rectangle d’or de 4,6 x 2,7 cm, à partir de ce rectangle  tracer une spirale harmonique. La plus grande possible.

 

On se servira de l’agrandissement du « rectangle d’or » pour tracer cette spirale particulière. Il faut faire partir la ligne courbe d’un premier carré inscrit dans un rectangle d’or. Elle doit toucher trois coins de ce carré et un coin du rectangle. Puis on agrandit la spirale par le tracé d’un carré d’agrandissement à partir de la plus grande dimension et ainsi de suite.

 

 

 


 

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VI)  LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.*

@info

 

Activité 13:   tracer un pentagone convexe , ( diamètre AB = 10 cm) et a partir du même tracé construire le pentagone étoilé . (noter par une lettre chaque sommet et établir un rapport qui vérifie que «les  rapports des côtés des deux pentagones est égal à « phi » ».

Construction au compas :

1- tracer une circonférence dont le centre est O et le diamètre AB

2- A partir de O, en se servant d’une équerre, tracer une perpendiculaire à AB qui coupe la circonférence en « D »

3- Avec le compas diviser le rayon OB en deux parties égales : ON = OB

 

4 - Mesurer au compas la longueur ND et , en partant de « N » tracer un arc de cercle qui viendra couper « AO » en « M ».

5- Mesurer la distance « MD » au compas et reporter cette longueur sur la circonférence.

6 - En réunissant les points obtenus par des cordes, on reconstitue le pentagone convexe.

7 - Pour obtenir le célèbre pentagone étoilé, on relie entre eux tous les trois points.

On a aussi construit un second pentagone inversé.

8- Le rapport des côtés des deux pentagones est égal à « phi ». (CQFD) 

 

* On peut toujours le vérifier par le calcul, on prend la mesure des côtés consécutifs  et on fait le rapport.

 

( voir : @les rosaces )

 

 

LE NOMBRE D’OR

PARTIE 2

QUESTIONNAIRE N°3 :

1°) Compléter la phrase suivante :   le nombre d’or est en mathématique un nombre irrationnel,  c’est - à - dire un nombre irréductible à un rapport de nombres entiers ou à une fraction.

 

2°) Qu’appelle - t- on  : LA DIVISION  en « MOYENNE » ?

La moyenne raison est le rapport entre la petite  et la grande dimension

 

3°) Qu’appelle - t- on :  « EXTREME »  RAISON. ?

L’extrême raison est le rapport entre la grande dimension et la dimension totale

 

4°) Qu’appelle - t- on : « section dorée » ?

La moyenne raison et L’extrême raison permettent d’obtenir  la section dorée.

 

5°) Quel point on en commun LA DIVISION  en « MOYENNE » et « EXTREME »  RAISON. 

Ces deux termes du rapport sont égaux entre eux et égaux au nombre d’or

..

6°) Avec quels instruments  peut  - on faire  la division en moyenne et extrême raison ?

. Le compas, la règle et l’équerre sont les instruments  avec lesquels on peut faire la division en moyenne et extrême raison

7°) Quel autre outil peut -on utilisé , comment le nomme t - on ; précisez?

Le compas de proportion de Galilée

on peut  utiliser le compas de proportion pour calculer le nombre d’or. Ce compas est constitué de deux règles graduées , articulées à une de leurs extrémités. L’ouverture du compas placé sur une longueur donnée, les graduations indiquent la réduction ou l’agrandissement proportionnel correspondant.

 

il est établi une fois pour toutes que  = 1,618

►Il s’agit toujours d’un partage asymétrique d’une dimension en deux parties :une moyenne et une petite dimension.

Activité 14: : 

Travail de recherche :

 

Rechercher   une reproduction d’une  oeuvre  (peinture ou photographie d’un monument  architectural,.. ; ) « Composer selon le nombre d’or ». Le montrer sur la reproduction et expliquer.

 

n et expliquer.