le nombre d'OR TRAVAUX

 

 (SOS Cours)

PARTIE 1

Travaux  auto - formatifs:   niveau IV .(BAC…)

sur  LE NOMBRE D’OR

@ ΦCorrigé

TRAVAIL PERSONNEL : De ces travaux , un devoir peut être donné : les exigences et les difficultés à résoudre sont fonction du niveau des objectifs à atteindre.(pré défini par le programme)

 

I)  Historique et définitions.

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                    Questionnaire 1

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

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                      Questionnaire 2

                     Activité 1 ; activité 2 ; activité 3 A  et activité 3B   

 

III ) APPLICATIONS :

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(@)

A)  Partage d’un segment dans la divine proportion:

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                    Activité 4 ; activité 5 ; activité 6 ;

 

B) Construction d’un rectangle à partir des segments

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-             calcul :  activité 7 activité 8

 

C ) Construction d’un rectangle à partir d’un carré.

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-             Activité 9

@info

III )   AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

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                  Activité 10 ; activité 11

 

IV )  LA SPIRALE HARMONIQUE.

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                  Activité 12

@info

 V ) LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.

@inٱfo

                   Activité 13  

PARTIE 2

LE NOMBRE D’OR

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                 Questionnaire N° 3

                  Activité 14

 

SUITE  à donner à ce cours: Pour donner un prolongement et assurer un travail en interdisciplinarité, en Art appliqué, on devra traiter de  la « composition selon le nombre d’or ».

 

 


 

 

I)  Historique  et définitions.

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QUESTIONNAIRE 1 :

 

 

1°) Qui est « Vitruve » ( quelle période) ?

 

2°)  donner la citation de « Vitruve » concernant   l’obtention du  « nombre d’or »:

 

3°) de quoi parle - t- il ?

 

4°) de quelle façon  a - t -  on découvert le nombre d’or ?

 

5°)  Qui a attribué  les propriétés au nombre d’or ?

.

6°) A partir de quel événement  a -t - on  fait  l’usage de la division au nombre d’or ?( à quelle période ? )

 

7°) que précise  t - il ? :

 

8°) A quelles figures géométriques lie - t- on le nombre d’or ?:

 

9°)  Rechercher les définitions :

 de « pentagone » ; « polygones réguliers » ; « polyèdres » ; Rechercher les figures ou autres dessins.

 

10°)  Compléter les phrases :

Empreint de mystère, objet de culte tantôt religieux , tantôt magique , le nombre d’or influence la vision ………………………………………….

Chez les Grecs , avec le développement de la géométrie , la secte secrète des pythagoriciens en avait fait ………………………………………………………………………………………………………………………………….

Architectes , peintres et sculpteurs cherchant à renouer avec  ……………….. se sont réclamés de la doctrine …………………des corps cosmiques , ……………………………………….. , et on fait du nombre d’or , « ……………………. », un modèle …………………………………………….

 

Le nombre d’or correspond à une proportion particulièrement esthétique  appelée « ………………………………… » ; il tient toujours une place importante dans le monde des arts et de l’architecture.

11 °) Quelle est la figure géométrique qui permet  d’approcher et de comprendre  la « divine proportion » ?  

 

12 °)  A quel  format des « peintres » correspond - t-il ?

 

13°) Trouver des professions ou activités  où l’on utilise le nombre d’or ?

 

 

II ) Valeur numérique du nombre d’or.

 

QUESTIONNAIRE 2 :

 

A)  Recherche du nombre d’or à partir de la définition :

 

1°) Par quelle lettre désigne - t - on le nombre d’or , comment la note - t -on  ?

 

2°) Donner la définition du nombre d’or :

.

     3°) Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment : établir la relation qui permet d’obtenir le nombre d’or :

 

 

   4°) Comment s’appelle cette relation ? 

 

 

 5°) A quelles fractions  peut approché ce rapport ?   

 

 

Activités : niveau  IV (dont : Bac. Prof)

 Recherche du nombre d’or :

On prend appui sur la construction de la « divine proportion » :

La distance AB entre les pieds et la tête de l’homme présentant les mensurations idéales et dessiné par Léonard de Vinci, est partagée par le nombril « M » dans une proportion correspondant au nombre d’or.

La construction de la « divine proportion » prend appui sur le triangle rectangle ABC  rectangle en « B » tel que :

BC = .

 

Sur le dessin ci-contre , sont représentés des rectangles dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or ; de tels rectangles sont appelés  « rectangles d’or »

 

1°)  détermination par le tracé  de la position du  point  « M »  sur la segment AB de telle sorte  que :

                                       

 

Tracer un triangle rectangle semblable à celui de la figure  « ABC », puis, en utilisant le principe de construction indiqué sur celle - ci, placer les points « M’ » et M » . En déduire la valeur approximative du nombre d’or.

 Activité 1 : Relever les longueurs des segments  AB ; AC ; AM ; AM ’  et  calculer le rapport  et le rapport     ;le rapport    et   ;  comparer les résultats et conclure que :. …………………………………………

 

 Activité:

Après avoir tracé un  triangle ABC ,  rectangle en « B »

  1.   On note AB = a
  2.  On demande :  Calculer  AC² ; puis exprimer  AC en fonction de « a » :

                             

 

  1. On demande : En déduire l’expression  de « A M’ » et « AM » en fonction de « a ».

                 

4. On demande  Calculer  le rapport  et l’on montre que le nombre d’or est :

                                           ou soit       1,618

 

Activité 3  :  

A)   Rechercher l’équation permettant de calculer le nombre d’or  par la résolution d’une équation du second degré. ( voir le triangle ABC sur le dessin de Vinci)

 

On donne :  AB = a  et   = x

 

a) Exprimer  AM en fonction de « a » et « x ». 

 b) En utilisant la relation :   on montrer   que   « a² -  »  (1)

 

 

c) En déduire l’équation du second degré permettant de calculer le nombre d’or et la résoudre.    « x² - x -1 »

(c’est une activité de  niveau  (Bac. Prof) ;pour cela Il est évident qu’il faut savoir résoudre algébriquement les équations du second degré .

 

B) Résoudre graphiquement  l’ équation  «  y =  x² - x -1 » , situer sur la courbe position du nombre d’or.

construire la représentation graphique de la fonction :

 f : x x² - x -1 et en déduire la valeur du nombre d’or. (l’utilisation d’une calculatrice graphique est conseillée)

 

.

 

III) APPLICATIONS :

 

 

(@)proportion

A) Partage d’un segment dans la divine proportion:

 

 

Soit le segment de droite AB et un point M, situé sur ce segment, permettant d’obtenir la relation suivante :

 

Les fractions     ou              approchent ce rapport.   On prendra   = 1,618

 

Activité 4 : Calculer   la longueur totale du segment connaissant la plus petite dimension du segment :

Soit MB  = 10 cm ; calculer  AB

 

 

 

Activité 5 : Calculer la longueur totale du segment connaissant la plus grande dimension du segment :

 

Soit AM  = 10 cm  , calculer AB

 

.

 

Activité 6 :Diviser , par tracé ,  un segment  AB  en deux parties , dans le rapport : ; Avec un compas .

 

 

B )Construction d’un rectangle à partir des segments

 

 

Pour construire un rectangle d’or  la méthode est la même : le petit côté est dans le rapport  (phi)  avec le grand côté. On peut toujours vérifier les calculs en se servant du rapport approximatif 5/8  ou 13 / 21.

(@ Voir tracé d ‘un rectangle)

 

Activité 7 :  On donne la longueur du petit côté d’un rectangle : 12 cm    ; tracer le rectangle dans le format marine. 

 

Activité 8  On donne la longueur du grand côté d’un rectangle : 27 cm    ; tracer le rectangle dans le format marine. 

 

C) Construction d’un rectangle à partir du carrée

 

 

Activité 9:  Soit un carré de  9 cm de côté , tracer le rectangle d’or à partir de ce carré .

 

 

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IV )  AGRANDISSEMENT OU REDUCTION DU RECTANGLE D’OR.

 

Activité 10:Sur une feuille A3 : tracer le rectangle d’or  ABCD :   22 x 12 cm ; Agrandir ce rectangle , en vue d’obtenir un autre rectangle d’or.

 

Activité  11 - On trace un rectangle ABCD qui est dans un rapport de  « phi » : 22 x 12 cm

- tracer  à l’intérieur de ce rectangle un autre rectangle d’or .

 

 

 

 

 

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V) LA SPIRALE HARMONIQUE.

 

 

Activité 12:  Sur une feuille de format A4 ; centrer un rectangle d’or de 4,6 x 2,7 cm, à partir de ce rectangle  tracer une spirale harmonique. La plus grande possible.

 

 


 

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VI)  LE PENTAGONE CONVEXE ET LE PENTAGONE ETOILE.*

@info

 

Activité 13:   tracer un pentagone convexe , ( diamètre AB = 10 cm) et a partir du même tracé construire le pentagone étoilé . (noter par une lettre chaque sommet et établir un rapport qui vérifie que «les  rapports des côtés des deux pentagones est égal à « phi » ».

 

LE NOMBRE D’OR

PARTIE 2

QUESTIONNAIRE N°3 :

1°) Compléter la phrase suivante :   le nombre d’or est en mathématique un nombre ………………………..,  c’est - à - dire un nombre irréductible à un rapport de nombres entiers ou à une fraction.

 

2°) Qu’appelle - t- on  : LA DIVISION  en « MOYENNE » ?

 

3°) Qu’appelle - t- on :  « EXTREME »  RAISON. ?

 

4°) Qu’appelle - t- on : « section dorée » ?

 

5°) Quel point on en commun LA DIVISION  en « MOYENNE » et « EXTREME »  RAISON. 

 

6°) Avec quels instruments  peut  - on faire  la division en moyenne et extrême raison ?

 

7°) Quel autre outil peut -on utilisé , comment le nomme t - on ; précisez?

Activité 14: : 

Travail de recherche :

 

Rechercher   une reproduction d’une  oeuvre  (peinture ou photographie d’un monument  architectural,.. ; ) « Composer selon le nombre d’or ». Le montrer sur la reproduction et expliquer.