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Classe 4ème
collège |
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Géométrie : DOSSIER :
TRIGONOMETRIE / Objectif cours 28 |
Pré requis :
Le système sexagésimal |
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Le triangle rectangle |
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Le produit en croix |
Environnement du dossier :
Objectif précédent : |
Objectif suivant : |
info Présentation :
liste des cours disponible sur la trigonométrie |
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DOSSIER « la trigonométrie » : Projection
orthogonale et COSINUS d’un angle
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Fiche 1 : Opérateur de projection . |
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Fiche 2 : Projection
orthogonale. |
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Fiche 3 : Cosinus de l’angle
aigu de deux droites. |
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Fiche 4 : Exercices
. |
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Fiche 5 : Fabrication d’une
table de cosinus. |
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Fiche 6 : Représentation
graphique …. |
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Fiche 7 : Dans le triangle
rectangle. |
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Fiche 8 : Construction d’un
angle connaissant son cosinus. |
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Fiche 9 Exercices . |
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TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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Corrigé évaluation |
Les relations trigonométriques dans le triangle rectangle que nous étudierons sont au nombre de quatre. : le sinus ; le cosinus ; la tangente et la
cotangente.
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Fiche 1 : Opérateur de projection . |
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On donne deux droites « » et « » se coupant en « ». On projette « » sur « » suivant la direction « » . Activité n°1. 1°) On vous demande
de mesurer sur la figure les segments (sur la droite « d ») et leurs projetés respectifs. (sur la
droite « d’ ») Inscrire les valeurs (nombres) dans le tableau ci-dessous. 2°) Calculer les quotients (divisions) , conservez deux chiffres après la virgule. |
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Segment projeté. |
[ O A ] |
[ O B ] |
[ O C ] |
[ O D ] |
[ AB ] |
[ AD] |
[ O E ] |
[ O F ] |
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Mesure du segment |
78 |
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Mesure du projeté . |
58 |
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0,74 |
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Choisissez sur « d » deux autres points :
« E » et « F » et faîtes comme pour
« A », « B », « C »
, « D ». Vous constatez que l’on trouve sensiblement le même
quotient dans tous les cas. Il est possible de faire une démonstration prouvant que
ces quotients sont égaux. On peut écrire : |
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· « opérateur de
projection »
Le nombre représenté par tous ces quotients est appelé « opérateur de projection ».
Il ne dépend pas des points choisis sur les droites « » et « ». Il dépend de la direction de projection et
de l’angle aigu des deux droites. |
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· D’après ce qui précède , on peut
dire qu’il y a proportionnalité
entre la longueur d’un segment et la longueur de son projeté. Le coefficient de proportionnalité
n’est autre que l’opérateur de projection. |
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Fiche 2 : Projection orthogonale.( et projection oblique) |
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Une projection
orthogonale est une projection dans
laquelle la direction de projection est orthogonale à la direction de la
droite sur laquelle on projette. C'est-à-dire : toutes les
projetantes sont parallèles à la droite sur laquelle on projette. |
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ci-dessous : la projection orthogonale de
« M » |
ci-dessous : la projection oblique de
« M » |
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Remarque 1 : Dans le cas de projection orthogonale
sur « » , « M » ayant pour image « M’ », « M’ » est appelé le projeté
orthogonal de « M » sur « ». |
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Remarque 2 : Il arrive parfois que l’on dise
« projection » sans préciser la direction de projection. Il S’agit alors d’une projection
orthogonale ( il en est de même pour le projeté. |
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Fiche 3 : Cosinus de l’angle
aigu de deux droites. |
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Ci-dessous on a tracé deux droites
« e » et « f » se coupant en « O ». On
a choisi des points quelconques sur « e » que l’on a projeté
orthogonalement sur « f » et
des points quelconques sur
« f » que l’on a projeté sur « e ». . |
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Activité n° 2 : Après avoir effectué les mesures nécessaires , déterminez approximativement l’opérateur de
projection orthogonale de
« e » sur « f » .
(prendre deux chiffres après la virgule ) |
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Activité n° 3 : De même déterminez l’opérateur de
projection orthogonale de
« f » sur « e » . (prendre deux chiffres après la virgule ) |
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Activité n° 4 : Vous constatez que l’on trouve sensiblement
le même nombre dans tous les cas. Il est possible de faire une
démonstration prouvant que :
L’opérateur de projection orthogonale de « e » sur « f » est le même que l’opérateur de projection orthogonale de « f » sur
« e ». Il en est ainsi pour toute paire de
droite. Ce nombre qui ne dépend pas des
points choisis pour le déterminer , dépend
uniquement de l’angle aigu des deux droites. |
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Définition : On appelle « cosinus »
de l’angle aigu de deux droites l’ opérateur de projection orthogonale de l’une sur l’autre. |
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Activité n° : Mesurez l’angle aigu des droites
« e » et « f ».
Vous trouvez ……° Vous avez trouvé que le cosinus est
sensiblement égal à « 0,67 ». |
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On écrit alors |
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( on lit
« cosinus 48 ° » ) |
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Fiche 4 : Exercices
. |
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Exercice 1 . On vous donne le dessin de 3 angles tous égaux à « 42° ». Après avoir choisi un point sur l’un
des côtés de l’angle et l’ayant projeté orthogonalement sur l’autre côté , détermine
approximativement dans les trois cas , le cosinus de l’angle de
« 42° ». |
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= |
= |
= |
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Trouvez-vous sensiblement le même
nombre dans les trois cas ? ……………………………………… Etant donné un angle aigu , le cosinus
de cet angle ne dépend pas du dessin le représentant . |
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Exercice 2 . Après avoir fait les constructions
nécessaires, déterminez approximativement le cosinus des angles représentés
ci-dessous. |
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= |
= |
= |
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Exercice 3 . On donne un angle aigu tel que . 1°) Un point « A » de « » se
projette orthogonalement sur « A
‘ » sur « » . Sachant que « OA = 42 mm » , vous allez calculer
« OA’ ». Vous savez que . , vous en déduisez que D’où |
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2°)
Un point « B » de
« » se
projette orthogonalement sur « B
‘ » sur « » . Sachant que « OB’ = 55 mm » , vous allez calculer
« OB ». Vous savez que . , vous en déduisez que ou ; D’où |
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Fiche 5 : Fabrication d’une
table de cosinus. |
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Nous allons vous expliquer ce que
vous devez faire dans l’exercice suivant ; On vous demande de remplir le tableau
donnant le cosinus des angles de « 5° » en « 5° » de
« 0° » à « 90° ». Pour cela ,
utilisez le quart de cercle de rayon « 100 mm »qui y est dessiné. |
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Exemple : considérons l’angle de
« 35° » représenté sur le dessin par l’angle . Le point « M » se projette
orthogonalement en « M’ » . « OM = 100
mm », vous lisez « OM’ = 82
mm » On a alors « Faîtes de même pour tous les autres
angles mais ne tracez rien sur la figure. |
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Angle |
Cosinus. |
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0 |
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5 |
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10 |
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15 |
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20 |
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25 |
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30 |
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35 |
0,82 |
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40 |
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45 |
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50 |
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55 |
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60 |
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65 |
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70 |
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75 |
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80 |
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85 |
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90 |
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Constatation : |
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Grâce à ce dessin, vous constatez
que « et , que tout angle
aigu a un cosinus et un seul et que ce
cosinus est un nombre compris entre
« 0 » et
« 1 ». Inversement , étant donné un nombre compris entre « 0 » et
« 1 » , il lui correspond un angle aigu unique dont le cosinus est
le nombre donné. |
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Fiche 6 : Représentation
graphique …de la fonction « cos. » . |
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En utilisant ce qui précède , faites la représentation graphique de la
fonction qui à tout angle aigu fait correspondre son cosinus. |
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Y-t-il proportionnalité entre le
cosinus et l’angle ? ……voir
cours ……………………………………………………. Grâce à ce graphique déterminez par simple lecture : Cos 32° = …………………… Cos 67° = …………………… Trouvez une valeur approchée des
angles « x » et « y » tels que : |
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Fiche 7 : Dans le triangle
rectangle. |
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Ci-contre ,
un triangle rectangle en « A ». En considérant que l’on projette
orthogonalement la droite ( BC ) sur la droite ( BA
), on peut écrire. |
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Vocabulaire : Dans tout triangle
, le côté opposé à l’angle droit s’appelle « l’ hypoténuse ». |
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Dans le triangle « ABC »,
on dit que [ BC
] et
[ BA ] sont les côtés adjacents à l’angle . Puisque [ BC ] est appelé l’hypoténuse , alors [ BA ] est
appelé « côté adjacent à . ». Avec ces notations
, nous écrirons schématiquement : |
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« x » désignant un angle
aigu d’un triangle rectangle ; nous pouvons écrire la formule : |
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Remarque : Dans la formule ,
quand on écrit « côté adjacent »
, on fait un abus de langage, on devrait écrire « mesure de la longueur du côté
adjacent » , ( on dirait de même pour
l’hypoténuse : « mesure de la longueur de l’hypoténuse » ). |
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Exercice 1 : |
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Sur la figure ci-contre mesurez ( en mm)
« BA » et « BC » et calculez une valeur approchée
à « 1° » près de « ». Vous trouvez : « BA =
…. » ; « BC = …. » ; ; En utilisant la table ou la représentation
graphique (fiche 6) ou une calculatrice , donné la
valeur approchée de « ». |
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Vous trouvez « ». |
Mesurez « ». |
Vous trouvez « ……………». |
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v Grâce à la formule encadrée ci-dessus ,
on peut écrire : |
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Exercice 2 « EDF » est un triangle
rectangle en « E » tel que « FD = 50 mm » et . Vous allez calculer « ED »
et « EF ». |
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Solution : Calcul de « ED » : On pose : ; Vous en déduisez que En utilisant la table ou la représentation graphique de la
« fiche 5 » ou une calculatrice vous trouvez Vous pouvez écrire alors : , |
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Calcul de : sachant que
vous en déduisez
que vous en déduisez que d’où |
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Exercice 3 « KML » est un triangle
rectangle en «L » tel que « KL = 86 cm » et . Vous allez calculer « KM »
et « LM » ( à 1 cm près ) . |
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Solution : Calcul de KM : , vous en déduisez En utilisant la table ou la représentation graphique de la
« fiche 5 » ou une calculatrice vous trouvez Vous pouvez écrire alors
que = 128,53 |
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Calcul de LM : A vous de travailler : trouvez la valeur de
l’angle « 90° - 48° = 42° » ; cos 42° =
0,7431 ; LM = 128,53
fois 0,7431 … |
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Fiche 8 : Construction d’un
angle connaissant son cosinus. |
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Construire un angle aigu sachant que Tout revient à construire un triangle
« OMH » rectangle en
« H » tel que |
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Et
Choisissons par exemple « OH = 40 mm » et « OM = 50 mm » |
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Ci-dessous nous vous donnons les étapes de
construction : |
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Etape 1 |
Etape 2 |
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Etape 3 |
Etape 4 |
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Refaites cette construction ci-contre
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Construisez ci-contre un angle aigu tel que |
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Remarque : Le problème est toujours possible à
condition que le nombre donné pour le cosinus soit un nombre compris
entre « 0 » et « 1 ». |
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Fiche 9 Exercices . |
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Exercice 1 : « EFD » est un triangle
isocèle de base [ DF]. [ EK] est la
hauteur . « EK = 50 mm » , . Calculez les côtés du triangle
« EFD » (
à 1 mm près). |
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Exercice 2 : « ABCD » est un trapèze
rectangle en « A » et « D ». « AB =
43 mm » , « BC = 80 mm » . Calculez l’aire de ce trapèze. |
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Exercice 3 : « ACB » est un triangle tel
que « AB = 120 mm », . ; . Tracez la hauteur [
AH ]. Vous calculerez les longueurs à 1 mm
près. 1°) Calculez ; ; 2°) Calculez « AH » et « BH ». 3°° Calculez « AC » et
« HC » puis « BC » . |
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Refaire
les fiches ci-dessus !!! |
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TRAVAUX AUTO FORMATIFS : CONTROLE : 1°) Traduire en langage littéral : « cos
a » lire : « cos b » lire : 2°) Traduire en symbole mathématique : « cosinus
de l’angle alpha » : ………………………………….. « cosinus de l’angle bêta » :
…………………………… 3°) Traduire en langage
littéral : cos a = 4°) Traduire en langage mathématique « Le
cosinus d’un angle ; dans un triangle rectangle ; est égal au rapport de la longueur du
coté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. » 5°) Compléter les phrases suivantes
: · Le cosinus est un nombre qui n’a pas ................. ;Précisez ses limites
numériques en fonction des angles ......... · Quand on connaît le cosinus d’un angle
........................................... · Quand on connaît la valeur d’un
angle ......................................... 6°)
*Donnez la définition littérale d’un « cosinus ». 7°) Donnez son modèle mathématique. |
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EVALUATION : |
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Compléter
les tableaux suivants : Avec la table :
Avec la calculatrice :
Au choix
(calculatrice ou table)
Soit
un triangle rectangle : (Voir la figure
ci-dessus ) I ) Compléter le tableau :
( prendre a = 60° )
II ) Compléter le
tableau suivant : l’angle a = 60°
III) Compléter le tableau :
Au choix
(calculatrice ou table)
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xd |
Soit un triangle rectangle : |
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I ) Compléter le tableau :
( prendre a = 60° )
II ) Compléter le
tableau suivant : l’angle a = 60°
III) Compléter le tableau :
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