Fiche 1 Figures se correspondant par une rotation.

Voici  ci-dessous deux figures F et F' et un point 0.

Activité :

Prenez une feuille de papier calque et calquez la figure « F » et le point « 0 ».
Sans bouger le calque, piquez  la pointe de votre  compas au point « 0 ».
Ensuite faites tourner le calque de telle sorte que le dessin de « F » vienne sur « F’ ».
Que constatez – vous  pour « F' » et le dessin de « F » ?                                  .                                  

Ce que l'on traduit en disant que les figures « F » et « F’ »  sont …………superposables…………………

On dit que l'on est passé de la figure « F » à la figure «F ‘ »  par une rotation de centre « 0 »

Ø Pour matérialiser le déplacement de certains  points    (« A » , « B » , « C » , « D »  par exemple), tracez les arcs de cercle  ,   ,  ,  de centre 0.

Le point « 0 »   n'a pas bougé, le point  « A »  est venu en « A' »  on a alors « OA…….OA' ».

Ø Mesurez  l'angle        .  Vous  trouvez   ……..°.

De même, mesure BOB¹ , COC' , DOD'.  Vous  trouvez  toujours .. ……..°.

Et vous  avez  aussi :     OB OB'   ;   OC   OC' ;  OD  OD'.

Il en serait de même pour tout point de « F » et de son correspondant sur « F’ » . On dit que « F' » est l'image de « F » dans la rotation de centre « 0 » et d'angle 60°.

* D'une manière générale, on dira :

à retenir :

Etant donné, un point « 0 » et un angle, de  ( la figure « F’ » est l’image  de la figure « F » dans la rotation de centre « O » de d’angle   , signifie que :

Tout point « M’ » de « F’ »est obtenu à partir d’un point « M » de « F » de telle sorte que  «  OM’ = OM »  et  

(en tournant autour de « O » dans un sens déterminé , le  même, pour i tous les  points. )

Remarque : Toute  figure et son image par une rotation sont superposables

Remarque

« F' » est l'image de « F »  dans la rotation de centre 0 et d'angle 60°  en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.

« F » est l'image de « F' »  dans la rotation ……………………………….en  tournant ……………………………………………….

Activité :

En utilisant le même morceau de calque que précédemment   (après avoir passé au crayon gris l'envers du dessin de F), dessinez  l'image « F" » de  « F » dans la rotation de centre « O »  et d'angle 130°.

( vous pouvez  prendre des repères sur la feuille pour faire tourner le calque de 130°)

Fiche 2 : Construction de l’image d’une figure dans une rotation.

La photographie ci-contre a été prise de nuit face à l'Etoile Polaire, en faisant une pose de plus d'une heure. On y voit la trajectoire apparente des étoiles : il semble que les étoiles soient animées d'un mouvement de rotation autour de l'Etoile Polaire. (En réalité, c'est la terre qui tourne).

·       Sur le dessin ci-contre, on a représenté la Grande Ourse et une partie de la trajectoire apparente de chacune des étoiles de cette constellation.

Ces trajectoires sont des cercles dont le centre est l'Etoile Polaire.

·       On vous  demande de dessiner la position de la Grande Ourse 3 heures après. (le sens de déplacement apparent est celui indiqué par la flèche).

·       Commencez  par calculer l'angle de rotation. Une étoile fait un tour complet en 24 H , ce qui correspond à 360°. A vous  de continuer.

Pour placer les étoiles sur leur trajectoire, découpez  dans une feuille de papier un angle de 45° et procédez comme il est indiqué ci-contre pour la construction de « A' » image de « A » dans la rotation de centre « O » et d'angle 45°.

En vous inspirant de ce qui vient d'être fait construisez  l'image de la figure ci-dessous dans la rotation de centre « I » et d'angle 90° le sens de rotation est indiqué par la flèche.

Fiche 3 : Images de figures élémentaires  par une rotation.

Vous avez vu  dans la fiche 1   que :

Dans toute rotation, toute figure et son image sont superposables

La figure et son image ont donc même forme et même dimensions C'est ce que nous allons préciser pour des figures élémentaires.

On donne un point « O »  et 3 points « A,B,C » alignés, d est la droite passant par « A,B,C ». On considère la rotation de centre « O » et d'angle 140° (sens donné par la flèche). (Vous pouvez  découper un angle de 140° dans une feuille de papier).

Activités :

-        Construisez  les images « A',B',C' »    des points « A,B,C ».Comment les points « A',B',C’ »  sont-ils disposés ?        

-        Appelons « d' »   la droite passant par « A',B',C' » . Tracez cette droite.

En choisissant d'autres points sur « d » , vous  trouverez  que leur image est sur…………..

De même, tout point de « d' »  est l'image d'un point de « d ». Donc l'image de « d » est ……….      

D'une manière générale, l'image d'une droite est une ……………….. 

-        Mesurez les angles que font entre elles « d » et « d' ». Vous trouvez ………………..et  ……………………  l'un des angles est celui de la rotation. Il est possible de le démontrer.

-             Mesurez  [ A B ]   et   [A' B’ ] puis [ BC]et [ B' C’ ]. Que constatez – vous  ?...................................................

D'une manière générale, l'image d'un segment est un   ……………..de même …………..     

-        Tracez la demi-droite [ BE et déterminez l'image « E' » du point « E » . Tracez  [ B 'E^’   l'image de la demi-droite [  BE est  …………………….

D'une manière générale, l'image d'une demi-droite est ………………………….

Quelle est  l'image  de  l'angle   ?     Mesurez   et  .  Que constatez - vous ?

D'une manière générale,   l'image d'un angle est un …………… de  même ………………..

-        Puisque  toute  surface et   son  image  sont  superposables,   elles  ont donc même aire.

-        Vous verrez  dans la fiche 4   que  l'image d'un cercle est un ………de même ……………

Théorème 31 :

Dans   toute  rotation (d'angle. Compris entre  0 t 180 °),

-             Des points  alignés   ont pour  image. Des points alignés .             

-             L’ image, d'une droite et une …………………..

un des angles déterminé  par ces droites est égal à l’ angle de la rotation.

-             L’ image, d'un segment et un segment de  même  mesure .       

-        l'image  d'une  demi-droite est  une  demi-droite .

-        l'image d'un angle, est un angle de  même mesure.

-        'image, d'un cercle est un cercle de  même mesure.

-        Toute  surface et son image  ont la même aire .

Fiche 4 : Image d’un cercle dans une rotation

On considère  la rotation de  centre 0 et  d'angle   110°   (sens de  la  flèche) .

Construisez   l'image  [A'B' ]   du  segment   [AB ]   dans  cette rotation.

-        Tracez le cercle « C » de diamètre [AB] et le cercle « C’ »  de diamètre [A'B'] .

En utilisant du papier transparent,    Contrôlez    que « C’ »   est l'image de « C »  dans la rotation considérée.

-        Considérons le cercle de centre E ci-dessus à droite.

Quelle est l'image de ce cercle dans la rotation de centre « E » , d'angle 110° ?.....................

Et si l'angle est 30° ?  120° ?  90° ?.............................................................

On dira alors :  …………………………………………………………………..

Etant donné un cercle,  dans  toute rotation ayant pour  centre  le  centre du cercle, quelque  soit  l'angle   (et  le  sens),   le  cercle est   sa propre  image dans  cette rotation,

Fiche 5 : Utilisation de la rotation pour la résolution de problèmes.

Problème 1 :

Ci-contre :« ABC »  est un triangle quelconque. 

Construisez  extérieurement à ce triangle les carrés « ABDE » et « ACFG ».      

Démontre que « EC = BG »   et que (EC) est perpendiculaire à (BG).

Hypothèse ……………………………………………………

Conclusion ………………………………………………..

Démonstration

Puisque par hypothèse « ABDE »  est un carré, alors   « AE………….AB »     et     

Puisque par hypothèse  « ACFG »   est un carré, alors  « AC……..AG »    et  

Considérons la rotation de centre « A »  , d'angle 90° (sens de la flèche)

« E »   a pour image …………   « C » a pour image……………..         

Donc la droite (EC) a pour image la droite ……………………… et le segment [EC] a pour image                                                           

Or on sait, (théorème 31) que dans toute rotation,
tout segment a pour image un …………………..de même ……………….donc EC =…………………………

On sait aussi que toute droite a pour image une ………………………….        

Un des angles formé par la droite et son image est égal à l'angle de la rotation.
Donc (EC) et (BG) font un angle de …………° donc (EC) et (BG) sont………………………….

Problème 2

ABC est un triangle équilatéral.

D , E , F sont des points situés   respectivement  sur   [AB] , [BC]  , [JCA]   et   tels  que AD =  BE =  CF.

Démontrez   que DEF est équilatéral.

Indication

En appelant 0 le centre du triangle ABC, considérez une rotation de centre 0 et d'angle 120°.

Fiche 6 : Triangle équilatéral.

Info +++@....

Voici un triangle équilatéral ABC. Trace ses axes de symétrie. Combien en a-t-il ? ……………………………..

Tracez  son cercle circonscrit. Appelons  « O »  le centre de ce cercle.

-        Calquez  le triangle « ABC »  et le point « O » , Piquez  le compas en « O »  et faites tourner le calque de telle sorte que le dessin du triangle s'applique exactement sur lui-même.

Vous venez  d'effectuer une rotation.

Quel est son centre ?..................................

Quel est son angle ? (calcule-le)

On dit que cette rotation laisse invariant le triangle équilatéral . Y en a-t-il une autre ?

Fiche 7 : le carré.

Info @ ….++++…

Voici un carré « DEFG » .

Tracez  ses axes de symétrie.

Combien en a-t-il ?....................

Tracez son cercle circonscrit.

Appelons « I »  son centre.

Déterminez  comme précédemment les rotations laissant invariant le carré.

Fiche 8 : Exercice .

« HJKL »   est un carré de centre « O » , « M,N,P,R »   sont les milieux des côtés.

(HP),(JR),(KM),(LN) se coupent  en déterminant le quadrilatère « STUV » .

Nous allons démontrer que « STUV »  est un carré .

Calquez  la figure et cherche les rotations la laissant invariante. Vous avez trouvé :…..

Considérons la rotation de centre « O », d'angle 90° et dont le sens est indiqué par la flèche.

Un des côtés du carré a pour image un autre côté du carré.
Le milieu d'un côté a pour image…………………………………                       

« H »  a pour image……….., « P »   a pour image …………., donc (HP) a pour image…………

Vous en déduisez  que (HP) et (JR) sont …………..

II en est de même pour les autres côtés du quadrilatère « STUV » .

Expliquez  pourquoi l'image du quadrilatère « STUV »  est ce quadrilatère lui-même et déduisez -en que « STUV »  est un……….. dont le centre est ……

Fiche 9 : Hexagone régulier.

..\Polyhexa.htm

Un hexagone régulier est un polygone  qui a   côtés de même longueur et dont les sommets sont situés sur un cercle dont le rayon est égal à la longueur des côtés.

·       Vous allez  construire l'hexagone régulier inscrit dans le cercle ci-contre :

Partant du point A, en reportant le rayon, déterminez les autres sommets « B,C,D,E,F »  et tracez  les côtés de ce polygone.

Tracez   [OA] , [OB] , [OC] , [OD] , [OE] , [OF] .

·       Puisque OA = OB = AB = le rayon,  alors le triangle OAB est ……………………………

Donc =………°,  =  ………°,  =………°

II en est de même pour  les angles :   ,   ,      etc.. .

·       =  +……..+………=  ……..° +………° +……….° =……….°

Vous en déduisez  déduis que A,0,D sont …………………….[ AD] est donc un _......................                                  

II en est de même pour …………et ……………………….

·       Tracez les axes de symétrie de la figure. Combien en trouvez-vous  ?

·       Déterminez  les rotations laissant invariant l'hexagone régulier.

Fiche 10 : l’ Octogone régulier.

Info +++@ +++++

Un octogone régulier est un polygone qui  a ………….côtés de même longueur et dont les sommets sont situés sur un cercle.

On vous donne , ci-contre,  un cercle de centre « I » .

Tracez  deux diamètres perpendiculaires puis tracez  les bissectrices des 4 angles que vous venez de déterminer.

Ces 8 demi-droites d'origine « I » coupent  le cercle en 8 points J,K,L,M,N,P,R, S.

[ IK est la bissectrice de , donc  =……….°

de même :

 ……..……. ……. ……    ……. ……..  =     …….. °           

·       Déterminez les rotations laissant invariante la figure.

Vous en déduisez   que  JK = KL =……..= ………= ………= ……….= ………..= ………..

Trace les côtés de l'octogone. JKLMNPRS est un octogone…………régulier……………….

·       Tracez les axes de symétrie de l'octogone. Combien en trouvez-vous  ?

Fiche 11 : Constructions :

1°)  Sur le dessin de gauche , ci-dessous :

Dessinez le triangle équilatéral « ABC »  dont on donne le sommet   « A »  et le centre du cercle circonscrit (  vous pouvez vous inspirer de la fiche 9 )

2°) Sur le dessin de droite ci-dessous : Dessinez  le carré « DEFG »  dont on donne le sommet D et le centre « I ».

Fini le 4/1/2015