- Cours niveau 5 sur le calcul algébrique |
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Autres
pré requis :( voir « repère
cartésien) ) ; ( ici : SOS calculs
) ;
les symétries |
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DOSSIER
N° : Matière :
MATHS Leçon : ETUDE DE <VARIATIONS » de
FONCTIONS ( exemples) |
Information
« TRAVAUX » |
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II ) ENVIRONNEMENT du dossier :
Dossier
précédent : |
Dossier
suivant : |
Info : Liste des activités sur l’étude des fonctions. |
Leçon |
FONCTIONS : |
Niveau V ; IV |
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Problème
1 |
Etudier
la fonction : y = 4 x 4 + x²
- 3 |
Problème
2 |
Etudier
la fonction : y
= |
Problème
3 |
Problème
3 : Etudier la fonction y = |
Problème 4 : |
Etudier la fonction y = |
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Problème 5 : |
Etudier la fonction y = |
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· Méthode
indirecte de recherche du maximum ou des minimum. |
Problème 6 : |
Etudier la fonction y = |
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Résumé :
comment faire pour étudier les variations d’une fonction donnée. |
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IV) INFORMATIONS
« formation leçon » :
Travaux auto - formation. |
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Corrigé des travaux auto -
formation. |
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Corrigé |
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Le but de ce cours est d’ examiner quelques exemples d’études et de les compléter de remarques
intéressantes , et qui montera comment il est possible d’anticiper et de vérifier l’exactitude des tracés proposés par les tableurs ou
logiciels sont conformes . |
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Problème
1 :
Etudier les variations de la fonction : y = 4 x 4 + x²
- 3 A
chacune des valeurs de « x » répond une valeur bien déterminée pour
« y » ; cette fonction ne contenant que des puissances paires
de « x » , il en résulte que deux valeurs
égales , et de signes contraires de « x » donnent à « y »
deux valeurs égales , la courbe représentative sera donc symétrique par
rapport à la droite « x = 0 » , ou axe des « y ». Pour
la valeur « x = 0 » la valeur de « y = - 3 » cette
valeur est un minimum de « y » , car pour
les valeurs de « x » voisines
de « 0 » il y a lieu d’ajouter la valeur de « 4 x 4 +
x² » qui est positive. Si
nous envisageons l’équation « 4 x 4 + x²
- 3 = 0 »elle n’
admet que deux racines
« x’ = La
valeur de « y » est infinie et positive quand la variable
« x » prend l’une des valeurs « + On
peut résumer les résultats dans le tableau suivant : |
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Valeur de
« x » |
«- |
Croît |
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0 |
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Croît |
« + |
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Valeur de
« y » |
« + |
Décroît |
0 |
- 3 |
0 |
Croît |
« + |
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Il
est alors possible de tracer la courbe figurée ci contre |
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Problème
2 :
Etudier la fonction :
y = |
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Cette
fonction « y » varie en sens inverse de la fonction linéaire ( 5 x – 3 ) celle-ci
est croissante , il en résulte que
la fonction proposée est toujours décroissante . La fonction proposée
est discontinue pour la valeur « x = ( « D’autre
part , pour « x = - |
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Valeur de
« x » |
«- |
Croît |
0 |
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Croît |
« + |
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Valeur de
« y » |
0 |
Décroît |
|
«- |
« + |
Décroît |
0 |
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Ces
résultats permettent de tracer la courbe indiquée, si cela était nécessaire
pour la précision du dessin on calculerait quelques valeurs de
« y » répondant à des valeurs arbitraires de « x ». Remarque :
La courbe se rapproche indéfiniment de l’axe des « x » sans
l’atteindre du côté des « x » négatifs ; de même du côté des
« x » positifs. La
courbe s’approche également de la parallèle à l’axe de « y » menée
par le point A « x = · Les
asymptotes parallèles à l’axe des « y » s’obtiennent en cherchant
les valeurs de « x » qui rendent « y » infini. · Les
asymptotes parallèles à l’axe des « x » s’obtiennent en cherchant
les valeurs de « y » quand
« x » prend une valeur infinie. |
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Problème
3 :
Etudier la fonction y = |
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En
effectuant la division dans le second membre on peut écrire : y = 2 + |
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Sous
cette forme il apparaît que l’étude est analogue à la précédente
, il suffit d’ajouter « 2 » aux valeurs de la fraction La
fonction donnée est discontinue pour la valeur « x = Pour
« x = Pour
« x = D’autre
par pour x = « + |
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Valeur de
« x » |
«- |
Croît |
|
0 |
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Croît |
«+ |
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Valeur de
« y » |
0 |
Décroît |
0 |
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«- |
«+ |
Décroît |
2 |
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Les
résultats ci-dessus permettent de tracer la courbe figurée
, celle-ci à une asymptote parallèle à l’axe des « y » ,
menée par « A » ( |
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Problème
4
:
Etudier la fonction y = |
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En
effectuant la division dans le second membre on peut écrire : y = |
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La
première partie de la parenthèse « 3x-2 » est croissante ;
l’expression |
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L
fonction proposée est discontinue pour « x = Pour
« x = Pour
« x = D’autre
part pour « x = + pour « x = - comme
valeurs particulières observons que
« y » est nulle pour «
x’ = -2 » et « x’’ =
5 » ; enfin pour « x=0 » la valeur de « y » est
égale à « On
peut résumer les résultats obtenus dans le tableau suivant : |
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Valeur de
« x » |
«- |
Croît |
-2 |
0 |
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+ 5 |
Croît |
+ |
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Valeur de
« y » |
«- |
Croît |
0 |
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+ |
- |
0 |
Croît |
+ |
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Il est alors
possible de tracer la courbe , nous avons déterminé
une asymptote parallèle à l’axe « y ». |
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Méthode
indirecte de recherche du maximum ou du
minimum. |
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Nous
avons pu, dans les exemples précédents ,
étudier « directement » les
variations des fonctions et déterminer leur maximum et leur minimum .IL n’est
pas toujours aisé d’agir ainsi , on peut essayer la « méthode indirecte » qui consiste
à opérer de la façon suivante. |
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Donnant
à la fonction « y » une valeur déterminée que nous représenterons
par la lettre « m » , on cherche quelle
valeur on doit donner à la variable « x » pour que « y »
acquière cette valeur « m ». On est
ainsi conduit à résoudre une équation « x »
, si la résolution de cete équation
« x » est possible, la discussion et la détermination des
conditions nécessaires pour qu’elle ait des racines donne la limite à imposer
à « m » , c'est-à-dire à la fonction « y » , il en
résulte par cela même la connaissance du maximum ou du minimum de
« y ». |
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Problème 5 :
Soit à étudier la fonction y = |
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Cherchons
la valeur de « x » qui donne
à « y » la valeur
« m » , on est conduit à résoudre
l’équation : m = |
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Ou : m ( x² - x –
1) =
x² + x +1 Soit |
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m
( x² - x – 1)
- x² - x - 1
= 0 |
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m
x² - mx – m – x² - x – 1 = 0 |
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( m – 1 ) x² -
(m+1) x – ( m + 1 ) = 0 |
(reste
à résoudre l’équation du second degré ) |
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Ce
qui donne comme racines : |
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x
’ =
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x
’ ‘ =
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Pour
que « x » existe il faut que le trinôme sous le radical soit positif , ce qui exige que « m » soit extérieur
aux racines « -1 »
et « Il
faut soit « m La
fonction ne peut être nulle , mais elle devient infinie en changeant brusquement
de signe pour les valeurs de « x » annulant le dénominateur ,
c'est-à-dire pour : |
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x’
= |
x’
‘ = |
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pour x = « + |
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Valeur de
« x » |
«- |
- 2 |
- 0,618 |
0 |
+ 1,618 |
«+ |
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Valeur de
« y » |
1 |
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«+ |
- 1 max. |
«+ |
+1 |
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D’où
le tracé de la courbe : |
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Problème
6 : Etudier
les variations de la fonction : y =
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En
calculant le discriminant du
dénominateur on verra que celui-ci n’a pas de racines. ; la fonction
reste donc toujours finie et continue. |
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Cherchons
le maximum et le minimum , en posant : m = D’où :
( m – 1 ) x² - ( m – 5 ) x + ( m-1) = 0 |
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Donnant
deux racines : |
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x’ = |
x’’ = |
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Pour
que le trinôme sous le radical soit positif
il faut que « m »
soit entre les racines
« -3 » et « Ainsi : « Et « -3 » est un minimum de « y » pour « x = 1 » La
fonction « y » s’annule pour « x² - 5 x + 1 = 0 » ;
c'est-à-dire pour : « x’ =
0,21 » et « x’’ =
4,79 » |
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pour x = « + |
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Valeur de
« x » |
- |
- 1 |
0 |
0,21 |
1 |
4,79 |
+ |
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Valeur de
« y » |
+ 1 |
|
+1 |
0 |
- 3 mini |
0 |
+ 1 |
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Résumé :
comment faire pour étudier les variations d’une fonction donnée ? . |
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Il
résulte des exemples traités que pour étudier les variations d’une fonction
donnée il faudra : |
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1°)
Rechercher si la fonction est continue , ou pour quelles
valeurs de la variable elle est discontinue , et dans ce dernier cas ,
examiner comment la fonction se comporte
pour des valeurs de « x » voisines de celles qui
correspondent à une discontinuité. |
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2° ) Etudier le sens
de variation de la fonction, rechercher si elle est croissante ou
décroissante , ou bien présente un maximum ou un minimum. -dans
les exemples simples qui ont été étudiés , nous avons pu résoudre aisément
ces diverses questions , la méthode directe sera très souvent utile pour
rechercher le maximum ou le minimum ; il y a lieu parfois de faire
intervenir des méthodes « spéciales » de recherches, qui ne sont
pas examinées dans ce cours. |
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3°)
Déterminer les valeurs de la fonction
« y » pour certaines valeurs de « x » , en particulier
pour les valeurs infinies de « x » , pour les valeurs de
« x » annulant la fonction , pour « x = 0 » , et en
général autant de valeurs arbitraires
qu’il sera nécessaire pour pouvoir établir le tableau des variations et
dessiner la courbe.t |
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Leçon |
Titre |
N° |
TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION Sur
les tracés des fonctions |
Donnez la procédure
permettant d’étudier la variation d’une fonction.
A ) Etudier les variations des fonctions
suivantes.
Problème
1 |
Etudier
la fonction : y = 4 x 4 + x²
- 3 |
Problème
2 |
Etudier
la fonction : y
= |
Problème
3 |
Problème
3 : Etudier la fonction y = |
Problème 4 : |
Etudier la fonction y = |
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Problème 5 : |
Etudier la fonction y = |
|
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Problème 6 : |
Etudier la fonction y = |
B ) Etudier et représenter graphiquement les variations des fonctions
suivantes.
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y
= 4 x 4 + 3 x² - 27 |
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y = 4
x 4 - 12 x² + 5 |
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y = 2
x 4 - 5 x² + 9 |
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y = |
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y = |
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y = |
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