1°) Rappel. « différence »

2°) Différence de deux nombres relatifs.

3°) Activités sur la différence de deux nombres relatifs. ( la calculatrice n’est pas autorisée) .

COURS :

1°) Rappel :

Quel entier naturel faut-il ajouter à « 24 » pour obtenir « 53 » ? …29…..

Cet entier s’appelle la   ……différence…..de 53 et 24 pris dans cet ordre .

On écrit :         24+ ……29……..= 53    , signifie que «  53 – 24  = …..29… »

Ce que l’on a fait avec les entiers naturels, on le fera aussi avec les relatifs :

Exemple : quel nombre relatif faut-il ajouter à ( + 7 ) pour obtenir ( - 2 ) ?....( - 9 ) …….

Ce nombre s’appelle la différence de ( - 2 ) est  ( + 7 ) pris dans cet ordre .

On écrira  ( + 7 ) + …(- 9 ) …= ( - 2 )    signifie que  ( - 2 ) – ( + 7 )  =  ( - 9 )

A retenir :

La différence de deux nombres relatifs pris dans un ordre déterminé est le nombre relatif ( s’il existe ) qu’il faut ajouter au second pour obtenir le premier.

«  a – b = x »    signifie   « a = b + x »

1°) Différence de deux nombres relatifs.

Revenons au commerçant  faisant ces comptes ( voir le chapitre 1 du cours sur l’addition de 2 nombres relatifs )

Exemple 1 :

Le commerçant reçoit «  9 € » puis paie « 5 € ».

Ceci peut interpréter la situation de deux façons.

1°)  Le commerçant a un avoir de   « 9 € » auquel on retranche un avoir de  « 5 € »

Ce qui s’écrit :  ( + 9 )  - ( + 5 )

2°) Le commerçant a un avoir de « 9 € » auquel on ajoute une dépense de « 5€ » :

Ce qui s’écrit :  ( + 9 )  + ( - 5 )

«  retrancher un avoir »  revient au même que  « ajouter une dépense ».

On écrira alors :

( + 9 )  - ( + 5 ) …=…( + 9 )  + ( - 5 )

C'est-à-dire :

( + 9 )  - ( + 5 )  = ( + 9 )  +  opp ( + 5 )

Exemple 2 :

Le commerçant reçoit «  7 € » puis on lui enlève une dette de  « 3 € ».

Ce qui s’écrit  ( + 7 )  - ( - 3 )

Tout ce passe comme si après avoir reçu « 7€ » , il recevait  «  3 € »

Ce qui s’écrit  ( + 7 )  + ( +3 )

«  retrancher une dépense  »  revient au même que  « ajouter un avoir  ».

On écrira alors :

( + 7 )  - ( - 3 )  =  ( + 7 )  + ( +3 )

C'est-à-dire :

( + 7 )  - ( - 3 )  =  ( + 7 )  + opp ( -3 )

Dans les deux exemples, on a transformé ainsi une différence en une somme :

La somme du premier nombre et de ……l’opposé………….du second.

Activité 1 :  Faites de  même pour les différences suivantes  et effectuez le calcul ..

( + 15 ) – ( + 11)  = 

( + 15 ) + ( - 11)  = 

= ( + 4 )

( - 11 ) -  ( - 19 )  =

( - 11 ) +  ( + 19 )  =

=  ( + 8 )

( - 37 )  - ( + 18)   =

( - 37 ) +  (  - 18)   =

= ( -  55 )

Ce que l’on vient de faire dans les exemples précédents , on peut le faire pour n’importe quels nombres relatifs.

Par suite , puisque chaque nombre relatif possède un opposé et que l’addition des nombres relatifs est toujours possible, alors , la soustraction des nombres relatifs est toujours ……possible………

A retenir :

La différence de deux nombres relatifs pris dans un ordre déterminé existe toujours .
Pour la calculer , on ajoute au premier nombre …l’opposé.. du second.

Soit

«  a » et  « b »  étant des nombres relatifs « a – b = a + opp b »

3°) Activités sur la différence de deux nombres relatifs.

Activité 2 :  Calculez les différences suivantes en appliquant le règle précédente.

( - 7 ) – ( + 11 )  =

( - 7 ) + ( - 11 )  =

( - 18 )

( - 18 )  –  0  =

( - 18 )  –  0  =

( - 18 )

( + 3 ) – ( + 8) =

( + 3 ) + ( - 8)   =

( - 5 )

0   – ( - 37) =

0   + ( + 37) =

( + 37)

( - 8 ) – ( - 14 ) =

( - 8 ) + ( + 14 ) =

( + 6 )

( - 8 ) – ( - 8 ) =

( - 8 ) + ( + 8 ) =

0

( + 14 ) - (- 9 ) =

( + 14 ) + (+ 9 ) =

( + 23 )

( + 14 ) - (- 14 ) =

( + 14 ) + (+ 14 ) =

 (+ 28)

( - 15 ) – ( - 7 ) =

( - 15 ) + ( + 7 ) =

( - 8 )

(+ 15 ) – ( - 7 ) =

(+ 15 ) + ( + 7 ) =

( + 22 )

Activité 3 :  Considérons les températures indiquées par le thermomètre.

·       « 6 » au-dessus de « 0 » peut être représenté par  « + 6 » .

·       « 9  » au-dessous de « 0 » peut être représenté par  « - 9 » .

·       En un lieu donné, entre deux instants, la température varie : Elle peut augmenter  ou diminuer.

Dans le tableau  ci-dessous , on vous demande d’indiquer par un nombre relatif la variation de température .

Nota : une augmentation sera représentée par un nombre positif, un diminution par un nombre négatif.

Opération posée :

1^ère température.

2^ème température.

Variation de la température.

Transformation de l’opération :

( +25) - ( + 12 )=  

( + 12 )

( +25)

( + 13 )

( +25) + ( - 12 )=   ( + 13 )

( + 11 ) – ( -3 ) =

( - 3 )

( + 11 )

( + 14 )

( + 11 ) + ( +3 ) = ( + 14 )

( +17) – ( + 5) =

( + 17 )

( + 5 )

( + 12 )

( +17) + ( -  5) = ( + 12 )

( + 7 ) - ( - 3  ) =

( - 3  )

( + 7 )

( + 10 )

( + 7 ) + ( + 3  ) = ( + 10 )

( - 2 ) - ( + 7 ) =

( + 7 )

( - 2 )

( - 9 )

( - 2 ) + ( - 7 ) =  ( - 9 )

( - 15 ) - ( - 8 ) =

( - 8 )

( - 15 )

( - 7 )

( - 15 ) + (+ 8 ) =( - 7 )

( - 4 ) - ( - 13 ) =

( - 13 )

( - 4 )

( + 9)

( - 4 ) + ( + 13 ) =  ( + 9)

Activité 5 :  Complétez le tableau …..( vous devez faire une addition  puis une soustraction de deux nombres relatifs …)

« a »

( + 13 )

( + 37 )

( - 15 )

( - 39 )

( + 47 )

( - 24 )

( + 20 )

( - 63 )

« b »

( - 21 )

( + 16 )

( + 53 )

( + 13 )

( - 23 )

( - 39 )

( + 37 )

( -  36 )

«  a + b »

( - ( 21 – 13 ))

= (  - 8 )

( + 53 )

( + 38 )

( - 26 )

( + 24 )

( - 63 )

( + 57 )

( + 99 )

«  a – b »

( +34)

( + 21 )

( - 68)  

( - 52 )

( + 7 0 )

( + 1 5 )

( - 17 )

( - 27 )

TRAVAUX  AUTO FORMATIFS :

CONTROLE

vocabulaire: traduire l’abréviation   « opp . » 

Questionnaire:

1. Comment opère - t - on pour obtenir l’opposé  d’un nombre relatif négatif ?

(.donner le modèle mathématique .)

2.comment opère  -  t - on pour obtenir  l’opposé d’un nombre relatif positif?

  (donner le  modèle mathématique )

3.Il est écrit que la soustraction de deux nombres  relatifs ne se fait pas ;il nous faut pourtant un résultat que faut-il faire ?

4.Pour transformer une soustraction  de deux nombres relatifs en addition de deux nombres relatifs que faut-il respecter impérativement ?

.5.Montrer le modèle mathématique de la transformation de deux nombres d’une soustraction en addition!

  6.Représentation graphique  des nombres  relatifs :

               sur une droite graduée   placez  un nombre   (exemple  +2,5)  et son opposé 

EVALUATION

Partie I :

1.  Faire les transformations suivantes:

       opp. (+5,3) =

        opp. (-6,7)  =

   2. Donner  l’opposé des nombres suivants:

       (+5,2)     ; (-78,9)  ;  ( +  3 / 5 )  ; ( -  7 / 9 )  

3.Transformer  les nombres suivants:

            -(+7,8)  =   +

           - ( -   9,3 ) =  +

* Représentation graphique:

        pour chaque exercice  (1;2;3)  placer  sur une droite graduée  le nombre et son opposé;on pourra remarquer la « symétrie » de chaque point et de son opposé par rapport à zéro.

4.Les opérations suivantes ne peuvent se faire  ,les transformer pour qu’un calcul soit possible:

a)       (+7,8)-(+7,8)=

 b)      (-7,8) -(-7,8) =

 c)       (+13,5)- (+4,72) =

 d)      (-78,5) - (+32,5)  =

5. Après  avoir transformées les opérations  précédentes ,effectuez les opérations .

NIVEAU II.

   Calculer  (en montant les étapes successives ):

       (+5,2) - (73,2)+ (23,8) =  x

       - (-7,8) -(-25) -(-47) +(-32,5)  = y

       opp.(-5) - opp.. (+7)  +(+12)   =z

Niveau III : 

Calculer :

(-7.5) - (+8,2) + (+3,8) - (-9,3) = ?

montrer toutes les étapes de transformation.

Interdisciplinarités : 

Les vecteurs :

Recherche  par le calcul des coordonnées du vecteur  IA :     

  sur « x_i »   x_A  -  x _I  =  ( +2 ) – ( +3)  =  ( -1 )

  sur y_i   =    y _A  -  y _I =   ( + 1) – (  + 2) = ( -1)