OBJECTIF D2

Soit ,par exemple , à soustraire le nombre (-5) du nombre (+2). On sait que ,par définition, le reste de la soustraction est le nombre qu’il faut ajouter au nombre soustrait pour faire une somme égale au nombre dont on soustrait.

Ici ,la somme doit être (+2) et le nombre soustrait est (-5) . Que faut ajouter à (-5) ?

Pour remonter jusqu’ à zéro , il faut déjà ajouter (+5) .Ensuite il faudra encore ajouter (+2) .

Donc on aura ajouté en tout (+5) et (+2) soit (+5) + (+2) ; tel est donc le reste.

(+2) – (+5) = (+2) + ( +5)

Pour retrancher (-5) on ajoute (+5) , c’est à dire qu’on ajoute le nombre opposé.

En général, soit le nombre « a » , dont il faut retrancher « -b » , on dira que le reste sera « a + b » ; en effet , si nous additionnons « a + b » avec « -b » , nous aurons :

a + b – b = a

le reste est donc bien « a+b » , et la règle est générale :

Règle de la soustraction : Pour soustraire un nombre algébrique, on ajoute le nombre opposé :

a - (– b ) = a + b

De là on lira les corollaires suivants :

Corollaire 1 :

Une différence peut toujours être considérée comme une somme , et vice versa.

Ainsi l’expression « a – b »

Est égale à la différence « a – ( +b) »

Et à la somme « a + (-b) »

Exemple : la différence 5 – 2 est en même temps la somme 5 + (-2)

Corollaire 2 : Une somme algébrique est une suite de nombres algébriques séparés par le signe d’addition ( +) exprimé ou sous entendu.

Chacun de ces nombres , avec le signe qui précède, est appelé « terme » de la somme.

Par exemple , l’expression 5 – 3 + 2 - 7 peut être écrit (+ 5) + ( – 3) + ( + 2) + ( - 7)

Ce qui montre qu’elle mérite bien le nom de somme.

Ses termes successifs sont (+ 5) ; ( – 3) ; ( + 2) ; ( - 7)

Autre exemple :, l’expression - 5 – 3 + 2 - 7 peut être écrit (- 5) + ( – 3) + ( + 2) + ( - 7)

Ce qui montre qu’elle mérite bien le nom de somme.

Ses termes successifs sont (- 5) ; ( – 3) ; ( + 2) ; ( - 7)

Corollaire 3 :

Pour retrancher une somme, il suffit de retrancher successivement chacun de ses termes ; par conséquent,il suffira d’ajouter successivement les opposés de tous les termes.

Ainsi 29 - ( 5 – 3 + 2 - 7 ) = 29 - 5 + 3 - 2 + 7

Corollaire 4 :

On a souvent ,dans une expression algébrique, à supprimer une parenthèse précédée du signe + ou du signe - . On ne peut le faire qu’à condition d’effectuer l’opération indiquée.Par conséquent ,si la parenthèse qu’on supprime était précédée du signe « -« , il faudrait alors changer les signes de tous les termes qu’elle contenait.

S’il y a plusieurs parenthèses se renfermant l’une l’autre, il est à conseiller de commencer la suppression par la parenthèse la plus intérieur.

Par exemple :

L’expression : a – [ b + c – ( d – e ) ] – f

Devient d’abord : a – [ b + c – d + e ] – f

Et enfin : a – b - c + d - e – f

Réciproquement , on pourra introduire plusieurs termes dans une parenthèse, en changeant leurs signes si on fait précéder la parenthèse du signe - , en conservant leurs signes si au contraire la parenthèse est précédée du signe + .

Corollaire 5 : (voir les théorèmes sur les égalités)

Une égalité entre deux nombres ou entre deux somme reste vraie quand on ajoute un même nombre à ses deux membres. IL en est de même si l’on retranche un même nombre .

De là découle l’important principe suivant :

Dans une égalité, on peut faire passer un terme d’un membre à l’autre, à la condition de changer le signe de ce terme.

Soit l’égalité :

3 + 7 – 2 = 12 – 4

Si nous supprimons +7 à gauche (premier membre) ,l’égalité ne sera plus vraie ; mais elle le reviendra si nous soustrayons aussi 7 à droite ( deuxième membre) , ce que nous ferons en écrivant – 7

Car nous avons ainsi soustrait le même nombre « 7 » à gauche et à droite.

On aurait le même

3 + 7 – 2 + 2 = 12 – 4 +2

3 + 7 = 12 – 4 +2

On voit que les termes +7 et -2 en passant d’un membre à l’autre ont changé de signe et sont devenus - 7 et + 2