Les polyèdres |
ENVIRONNEMENT du dossier:
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DOSSIER
: LES PYRAMIDES. |
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1°) Les
pyramides régulières. ( définition (1) et (2) ;
rappels sur les calculs : d’aire et de volume ) |
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2°) Les
modèles de pyramides régulières
et irrégulières.. |
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3°) le développement d’une pyramide. |
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TEST |
COURS
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Interdisciplinarité |
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COURS
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Définition 1 : Une
pyramide est un solide limité qui a pour base un polygone quelconque et pour
faces latérales des triangles ayant un sommet commun. |
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1°)
Les pyramides régulières : |
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Une pyramide est régulière lorsque
sa base est un polygone régulier et que sa hauteur « tombe » au
centre du polygone . Les arêtes
latérales obliques s’écartent également du pied de la hauteur perpendiculaire ,elles sont égales en longueurs ; les
facettes latérales sont donc des
triangles isocèles. Exemple :la
grande Pyramide d’ Egypte est une pyramide régulière à base carrée ; les
facettes latérales sont des triangles isocèles presque équilatéraux. |
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CALCULS : |
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I ) SURFACE
LATERALE : La
surface latérale d’une pyramide régulière est égale à la moitié du produit du périmètre de la base par l’apothème de
la pyramide . Ce
qui se traduit : Surf. Latérale = Ou A = |
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L’apothème « a » est
une droite issue du sommet de la pyramide
et sommet du triangle
isocèle et joignant le côté
opposé du triangle (face latérale) en
son milieu . Il y a autant d’apothème que de faces latérales. Cette
apothème est a la fois
médiane médiatrice bissectrice et hauteur. |
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Application : Une pyramide à pour base un carré de 0,80 m de côté ; son apothème égale
2,50 m. Trouver : 1°) le périmètre de base . 2° ) sa surface latérale. Résolution : 1°) le périmètre de base .= 0,80 m 4 = 3,20 m 2° )
sa surface latérale.= = 4 m2 |
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COMPLEMENT de CALCULS :
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II ) SURFACE TOTALE : |
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la surface totale
est la somme de la surface latérale et de la surface de base
. Application : Une
pyramide à pour base un carré de 0,80 m de côté ; son apothème égale
2,50 m. Trouver : sa surface totale . Résolution : Surface de base : A = 0,80m0,80m = 0,64 m2 Surface
latérale.= = 4 m2 Surface totale . 4 m2 + 0,80m0,80m =4 m2 + 0,64 m2 = 4,64 m2 |
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III ) VOLUME
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Un prisme triangulaire peut – être
décomposé en 3 pyramides équivalentes . Le volume d’une pyramide est
ainsi égal au tiers du produit de la surface de base par sa hauteur. |
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Définition 2 : Une pyramide est
un solide limité par un angle
polyédral
et une section plane s’appuyant sur toutes les arêtes. |
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Volume
de la pyramide à base carrée : V = ; « h » est la hauteur et « A » l’aire de la base ; ou : V = « B »
étant l’aire de base |
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Volume
de la pyramide à base polygonale : V = ; « h » est la hauteur et « A » l’aire de la base |
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Application : Une pyramide à pour base un carré de
0,80 m de côté ; sa hauteur égale 2,40 m. Trouver son volume . Résolution : Surface de base : A = 0,80m0,80m = 0,64 m2 Volume := =0,512 m3 |
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2°)
Les modèles de pyramides régulières
et irrégulières. |
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Régulière ; quadrangulaire |
Irrégulière ; triangulaire |
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Irrégulière,
quadrangulaire |
Régulière ; pentagonale |
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Régulière ;
hexagonale |
Irrégulière ;
triangulaire |
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3°) Le
développement d’une pyramide : |
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TRAVAUX
AUTO FORMATIFS. |
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CONTROLE : 1°)
Donner la formule permettant de calculer la surface latérale d’une pyramide : 2°)
Donner la formule permettant de calculer la surface de base d’une
pyramide : 3°)
Donner la formule permettant de calculer la surface totale d’une pyramide 4°)
Donner la formule permettant de calculer le volume d’une pyramide. EVALUATION
Exercices : A ) Une pyramide à
pour base un carré de 0,80 m de
côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver : 1°)
le périmètre de base . 2° ) sa surface latérale. B ) Une pyramide à
pour base un carré de 0,80 m de
côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver : sa surface totale . C ) Une pyramide à
pour base un carré de 0,80 m de
côté ; sa hauteur égale 2,40 m. Trouver son volume . D)
PROBLEMES : 1°)
Un toit en forme de pyramide a pour base un carré de 22,40 m de pourtour . La hauteur des triangles latéraux égale 8,50 m . Que coûtera la couverture de ce toit
, à 1250 €. 2° ) Une pyramide a pour base un hexagone de 0,70 m de côté
. La hauteur des triangles latéraux
égale 1,80 m . Calculer la surface latérale de la pyramide . 3° )La grande pyramide d’Egypte a 142 m de haut . Sa base
est un carré de 233m de côté. Quel est son volume ? 4 ) )Une petite pyramide de bronze est
plongée dans un vase plein d’eau. Quel est le poids qu’elle fait sortir ,
sachant quelle mesure 8 cm de haut et que sa base est un carré de 0,07 m de
côté ? 5°)
Une pierre a une forme pyramidale de O,45 m de
hauteur et dont la base est un hexagone de 0 ,10 m de côté et O,O86 m
d’apothème ;Quel est le poids de cette pyramide , la densité de la
pierre étant de 2,5 ? 6°)
Une pyramide a 12,5 dm3 de volume et 625 cm2 de base . Quelle est sa hauteur ? 7°)
Une pyramide a 171,5 cm3 de volume et 0,42 m de hauteur ; sa
base est un carré . Quel en est le
périmètre ? 8° ) niveau
+++++ : Parmi ces pyramides :
identifier les « régulières »
et les « irrégulière » ; donner leur un nom particulier ;
établir la formule permettant de calculer le volume de la pyramide
.
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