classe de troisième_calcul_équation de droites ; y = mx +p ;fonction affine

TITRE : Fiche sur LES EQUATIONS DE DROITES de la forme : y = mx + p dans un repère

	Classe de 3^ème		Programme de la classe de 3^ème .

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Pré requis:

Droites et repérage
Les repère cartésiens

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Equation de droite .

2°) « Pente »

COURS

APRES :

1°) Les droites croissante ; décroissante,..

2°)le parallélisme et la perpendicularité

3°) recherche de l'équation d'une droite .

Complément d’Info :

	Fiche précédente : Droite passant par l’origine du repère. Equation de la forme « y = mx » . ( dite aussi : fonction linéaire )
	Classe de 3^ème
	TITRE : Fiche sur LES EQUATIONS DE DROITES de la forme : y = mx + p dans un repère
	( dite aussi : fonction affine )

	Fiche : Droite ne passant pas par l’origine du repère : Equation de la forme : y = mx + p
	· Droites particulières.

Travaux ; devoirs			Corrigé
TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation

Interdisciplinarités : (matière concernée)

Géo.

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Autres :

Sciences et technique

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.


Fiche:
Le plan est muni d’un repère d’origine « O ». « d » est la droite d’équation « ». « B » est le point de coordonnées ( 0 ; 3 ). Complétez : . Considérons la translation de vecteur . Vous savez que l’image d’une droite par une translation est une droite.
La droite et son image sont parallèles . On vous demande de tracer la droite « » image de la droite « d » dans la translation de vecteur . Soit « M » un point quelconque de « ». Appelons ( x ; y ) les coordonnées de « M ». On peut considérer que « M » est l’image par la translation d’un point « N » de « d ». Placez « M » et « N » sur la figure.
D’après ce que l’on a vu dans le cours … « vecteur et translation » , on peut dire :

Puisque , la première coordonnée de est ……. Alors ( ) = ( ). Donc ( ) . Puisque « N » est situé sur « d » qui a pour équation « » , l’ordonnée de « N » est donc « » et comme l’ordonnée de « M » est « y » et que la deuxième coordonnée de est ……… On a alors et cela quel que soit le point « M » de « »

Inversement : un point dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient la relation est- il forcément sur la droite « » ? Considérons un point R ( x ; y ) tel que et cherchons si « R » est situé sur « »
Traçons par « R » la parallèle à l’axe des ordonnées. Elle coupe « » en un point « K ». « R » et « K » ont alors la même abscisse : « » Puisque « K » est sur « » alors « K » a pour ordonnée . C’est la même que celle de « R ». « R » et « K » ayant les mêmes coordonnées sont donc confondus donc « R » est sur « » .
En définitive : Tout point dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient est situé sur « » .
			Est appelée : Equation de la droite « » .
Cette relation est vérifiée par les coordonnées de chacun des points de la droite « » et par eux seulement .
Conséquence : Que peut-on dire des points de coordonnées ( x ; y ) tels que ? Ils ne sont pas sur la droite d’équation ……………….

Vocabulaire : Pour la droite « d » , d’équation , est appelé le coefficient directeur .

Pour la droite « » d’équation ; est aussi appelé le coefficient directeur . Le nombre « 3 » qui est l’ordonnée du point « B » , intersection de « » et de l’axe des ordonnées est appelé « l’ordonnée à l’origine ».

Remarque : « » est parallèle à « d » et « » a même coefficient directeur que « d ». En choisissant une autre parallèle à « d », on aurait trouvé le même coefficient directeur.


Activité 1 :
Un point de « » a pour abscisse « - 4 » , calculez son ordonnée , vous trouvez : ……………….. Un point de « » a pour ordonnée « 7 » , calculez son abscisse , vous trouvez : ………………..

Activité 2 :
Parmi les points suivants , déterminez par le calcul ceux qui sont situés sur « » .

H ( -6 ; 0)	C ( 0,2 ; 3,1 )	D ( 4 ; - 5 )		J ( )	R ( )	S = (
Vous avez trouvé les points : ………………………………………………………..

Droites particulières.

Considérons la droite passant par : A ( 3 ; 0 ) et parallèle à l’axe des ordonnées. Tous les points de cette droite ont même abscisse : ..3 ….et tous les points qui sont sur cette droite L’équation de cette droite est : « »
· D’une manière générale, toute droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : « »
Considérons la droite passant par « B ( 0 ; 2 ) »et parallèles à l’axe des abscisses . Tous les points de cette droite ont même ordonnée : …2…. Et tous les points qui ont cette ordonnée sont sur cette droite. L’équation de cette droite est : « »
· D’une manière générale, toute droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation de la forme : « »
Cas général :
Le plan est muni d’un repère d’origine « O ». Etant donné une droite non parallèle à l’axe des ordonnées , existe-il une relation liant les coordonnées de chacun des points de cette droite ?
Voir ci-contre : Désignons par « D » une telle droite. Elle coupe l’axe des ordonnées en un point « P ». Appelons « p » l’ordonnée de « P », complétez : « P ( . 0.. ; p….) » IL existe une droite passant par « O » et parallèle à « D ». Appelons « d » cette droite , tracez –la.
Il existe un nombre « » tel que « » ait pour équation « » En considérant la translation de vecteur , on prouverait comme on l’a fait pour la droite « » que tous les points de « D » ont des coordonnées ( ) qui vérifient la relation « » . Relation dans laquelle : « m » représente le même nombre que dans « » , ( l’équation de « » ) et « p » est l’ordonnée du point d’intersection de « D » avec l’axe des ordonnées. On démontrerait aussi que les points de « D » sont les seuls à vérifier cette relation.
D’où le théorème :
Théorème : Dans le plan muni d’un repère , toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme :

la forme : est équivalente à l’équation , aussi utilisée , :

Vocabulaire : Pour toute droite d’équation ; « m » est appelé le coefficient directeur et « p » est appelé l’ordonnée à l’origine.

Remarques : On a vu que les droites parallèles à l’axe des abscisses ont pour équation une relation de la forme « » . Cette équation est de la forme dans laquelle « ». Les droites passant par l’origine ( à part l’axe des ordonnées) ont une équation de la forme dans laquelle « ». Il n’y a que les droites parallèles à l’axe des ordonnées qui n’ont pas d’équation de la forme :

· La plan muni d’un repère , « » et « » étant des nombres quelconques et ( ) désignant le couple de coordonnées de points du plan, toute expression de la forme est-elle l’équation d’une droite ?
Il est possible de démontrer que la réponse est « oui » . ( on ne le fera pas à ce niveau )
Soit le théorème suivant :
Théorème : Le plan étant muni d’un repère , « m » et « p » étant des nombres quelconques , l’ensemble des points du plan dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient est une droite admettant pour équation.