Pré requis:

Régionnement et inégalité des distances (5ème)
Système d’équation du premier degré à une inconnue
Résolution de l’équation du premier degré à deux inconnues
Fonction linéaire (représentation graphique)
Fonction affine (représentation graphique)

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent : 1°) Inégalité degré 1 à une inconnue 2°) Niveau ++ inégalités du premier degré à une inconnue++ 3°) Système d’inégalités du premier degré à une inconnue.

Objectif suivant : 1°) système de 3 ’inéquations du premier degré à deux inconnues. 2°) suite (cours N°2) les inéquations et les systèmes d’inéquations du premier degré à deux inconnues..

Info générales : Info : liste des cours d’algèbre Résumé : algèbre. Liste des cours sur les inégalités et inéquations. Liste des cours sur les systèmes.

DOSSIER :

INEQUATION du PREMIER DEGRE à deux INCONNUES et REGIONNEMENT.

I) INEQUATION : approche

II) INEQUATIONS du Premier degré à deux inconnues : (généralité)

Avec exemples d’application !!!!

				Résoudre :pré requis -fiche
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

COURS

L’équation du premier degré à deux inconnues a pour forme mathématique l’égalité :

( « a » ; « b » ;  « c » Î R )

Si « a » et « b » sont différents de zéro, cette équation admet une infinité de solutions .

La représentation graphique des solutions est une droite .(voir fonction affine « représentation graphique »)

I ) INEQUATION du premier degré à deux inconnues : approche

Exemple : Soit l’équation y -2x + 1 = 0

Par transformation on obtient le tracé de la droite ” d’équation y = 2x -1 .

Cette droite partage le plan en deux demi- plans.

On peut observer sur le graphe ci contre : - Tous les points ( à la gauche de ” )de la zone « bleu » ont les coordonnées qui vérifient y > 2x -1 - Tous les points ( à la droite de ” )de la zone « rouge » ont les coordonnées qui vérifient y < 2x -1

Si y -2x + 1 = 0 (1)

Soit un point A (1 ; 4) (choisi au hasard, à la gauche de la droite ”) on remplace ces valeurs dans l’équation (1)

Alors : 4 - 2 fois 1 +1 = 1 ; cela signifie que le point A est dans la zone y -2x + 1 > 0

Soit un point B (2 ; 1) (choisi au hasard, à la droite de la droite ”) on remplace ces valeurs dans l’équation (1)

Alors : 1 - 2 fois 2 +1 = -3 ; cela signifie que le point B est dans la zone y -2x + 1 < 0

On peut essayer de savoir si le point d’origine O (0 ;0) appartient à la zone « y -2x + 1 > 0 » ou à la zone « y -2x + 1 < 0 » en remplaçant y=0 et x=0 dans l’équation « y -2x + 1 = 0 » ;

Le résultat donne « 1 » ; donc le point O appartient à la zone « y -2x + 1 > 0 »

· Remarques :

1. Si la droite passe par l’origine, on ‘essaie » un autre point bien choisi.

2. Si l’inégalité est au sens large ( "d ou "e ) , on doit « ajouter » aux points du demi -plan les points de la droite « frontière ».

Exemple 1 d’application :

On demande de résoudre l’inéquation 6 x + y – 5 0

Dans un premier temps : De l’inéquation précédente on en déduit l’équation : 6 x + y – 5 = 0

Dans un second temps : on écrit cette équation sous la forme : y = m x + p

Soit y = - 6 x + 5 ; on reconnaît là l’équation d’une droite ( ; lire : delta) que l’on va représenter ci-dessous

Cette droite (  ) ( qui passe par x= 1 et y = 5 ) coupe le plan en deux demi-plans.

Il nous reste à trouver lequel des deux demi plans qui est la solution de l’inéquation.

Pour solution : nous choisissons un point pris dans l’un des demi-plans , relevons ses coordonnées et nous contrôlons si ce point vérifie l’inéquation .

Conseil : On choisit ,de référence, le point « O » de coordonnées ( 0 ; 0 ) ; c'est-à-dire x= 0 et y = 0 . les calculs sont donc simplifiés . ( Si la droite passe par « O » , on prendra un autre point…)

Dans l’inéquation 6 x + y – 5 0 ; on remplace « x » et « y » par « 0 » ;

Ce qui donne : 6 (0) + ( 0 ) – 5 0 

Soit – 5 0  ; on constate que le résultat est impossible ,donc inexacte .

Conclusion : les coordonnes ( 0 ; 0 ) ne vérifie pas l’inéquation.

On généralise en concluant qu’il en est de même pour tous les points de ce demi –plan.

Ainsi on doit hachurer le demi –plan concerné. Au contraire , le demi- plan non hachuré représente la solution de l’inéquation .

Remarque : la droite ( ) fait partie de cette solution car le signe de l’inéquation est ( lire : supérieure ou égale)

II) INEQUATIONS du Premier degré à deux inconnues :

GENERALITE :

On appelle « inéquation du premier degré à deux inconnues « x » et « y » l’inégalité du type : a x +by + c > 0 ou a x + by + c < 0

Lire : a x +by + c > 0 « supérieur à 0 »

Ou a x + by + c < 0 «  inférieur à 0 »

Inéquations et demi-plan :

1°) Une droite (d) partage le plan en trois régions : (d) la droite elle-même , et deux demi –plans de frontières (d)  que l’ on note « P1 » et « P2 ». 2°) si b ¹ 0 , l’équation ax + by + c = 0 est associée à la droite ( d ) ( d) : y = m x + p ( info ++++) Les deux inéquations sont à associer aux deux –demi plans/ Si ax + by + c < 0 est associée à un demi-plan de frontière (d) («  d » exclue) Alors ax + by + c > 0 est associée à l’autre demi-plan de frontière (d) («  d » exclue)

3°) Toute inéquation de la forme a x + by + c > 0 est associée à un demi-plan de frontière (d) ; ( d) exclue ; étant associée a x + by + c = 0 d’équation y = --

si c > 0 alors l’origine « O » est dans le demi plan associée à l’équation.

si c < 0 alors l’origine « O » n’ est pas dans le demi plan associée à l’équation.

Exemple : (d ) associée à x – 2 y + 3 = 0

« P₁ : x – 2 y + 3 < 0 » et « P₂ : x – 2 y + 3 > 0».

En résumé :

Les solutions graphiques (on dit aussi : la solution ) d’une inéquation sont situés dans un des deux demi-plans ouverts limité par la droite d’équation «  ax + by +c =0 ».

L’autre demi-plan ouvert contient l’ensemble des solutions de l’inéquation de « sens » contraire.

Autre APPLICATION :

Exemple : résoudre graphiquement : x - 2y + 4 > 0

Objectif : on recherche tous les points dont les coordonnées vérifient l’inégalité.

On transforme successivement pour obtenir une inéquation de la forme : y …. %Ï On transforme l’inéquation : x - 2y + 4 > 0 - 2y > -x - 4 2y < x + 4 y < %Ï On trace la droite d’équation : y = %Ï Recherche de la zone (1/2 plan qui convient): On essaye l’origine ( 0 ; 0), remplaçons ces valeurs dans l’équation : y < 0 < 0 + 2 cette inégalité est vraie. conclusion : tous les points du demi- plan qui contient l’origine vérifient l’inégalité. On hachure le demi plan qui ne convient pas. (on peut colorier le demi -plan qui convient)

Applications Série 1 :

1°) Représenter graphiquement l’ensemble des solutions de chacune des inéquations :

a) y < 2	c) x + 2y "d 1
b) x - 1	d) x - > 0

2°) Caractériser chacune des quatre régions (quadrants) par deux inéquations (au sens large)

3°) Donner une inéquation dont l’ensemble des solutions correspond au demi-plan bleu (on donnera une égalité stricte)

4°) Donner une inéquation dont l’ensemble des solutions correspond au demi-plan rouge (on donnera une égalité stricte)

Travaux auto formatifs.

CONTROLE :

1°) Donner la procédure qui permet de résoudre « graphiquement » une inéquation du premier degré à deux inconnues.

EVALUATION

A) Résoudre graphiquement les inégalités suivantes :
On demande de résoudre l’inéquation 6 x + y – 5 0	(corrigé dans le cours)
x - 2y + 4 > 0	(corrigé dans le cours)
y – 3 > x -5
2x – 5 > x + 4
2y -< x +
- 4 y + > x + 4

B) Résoudre le système suivant :

Corrigé dans le cours.