MULTIPLICATION avec les nombres entiers

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Notion sur les opérations en arithmétique

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La multiplication dans N

Tableau 20

> Activités sur la multiplication avec des nombres entiers

DOSSIER: LA MULTIPLICATION

1. Idée de la multiplication .

2. DEFINITION GENERALE

3. La table de Pythagore

4. PRATIQUE DE LA MULTIPLICATION : ( 5 cas)

5. PREUVE de la multiplication :

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS:

Idée de la multiplication :

Je voudrais compter le nombre de pommiers d’un verger composé de 7 rangées de 10 arbres chacune :

1^re solution : je pourrais simplement les compter un par un

2^e solution : je puis dire une rangée à 10 arbres ; deux rangées en auront 10 +10 ; trois , 10 + 10 +10 et ainsi de suite ; c’est aussi une addition .

3^e je puis dire également : 7 fois 10 font 70 .

L’addition ainsi abrégée s’ appelle « multiplication »

Le nombre 10 que je répète 7 fois s’appelle « multiplicande »

Le nombre qui m’indique combien de fois je dois le répéter est le « multiplicateur ».

Le nombre « 70 » qui donne la quantité d’arbres s’appelle « produit »

Le multiplicande et le multiplicateur sont les « facteurs » du produit.

DEFINITION GENERALE :

La multiplication est une opération par laquelle , étant donnés deux nombres , l’un appelé « multiplicande » et l’autre « multiplicateur » , on en cherche un troisième appelé « produit » qui soit au multiplicande ce que le multiplicateur est à l’unité .

Remarques :

I ) d’après cette définition la multiplication équivaut à une addition d’autant de fois le multiplicande qu’il y a d’unités dans le multiplicateur .

II) le produit n’est pas nécessairement plus grand que le multiplicande. Il sera plus grand si le multiplicateur est plus grand que l’unité ( > 1 et plus petit si le multiplicateur est une fraction ordinaire ou décimale ( < 1) .

III) On répète la quantité indiquée par le multiplicande , le produit est donc de même nature que lui et le multiplicateur est toujours considéré comme abstrait .

Le produit a parfois une signification concrète différente de celle de chacun des facteurs . Cela se présente , en particulier , dans le calcul des « aires » et des « volumes » ; dans l’évaluation de certaines grandeurs électriques

a) Ainsi pour obtenir l’aire d’un rectangle de 5 m de long sur 4 m de large ; on l’ exprime par le produit :

5 ( mètres) 4 ( mètres) = 20 mètres carrées

b) La « puissance » d’un appareil électrique ; d’intensité de 5 ampères et de « tension » 220 volts égale :

5 ( ampères) 220 ( volts) = 1100 watts

remarque : il convient dans tous les cas d’indiquer correctement les opérations .

Ainsi on n’écrira pas 5 m² 4 = 20 m²

Mais : 5 m 4m = 20 m²

Ou 1 m² 5 4 = 20 m²

LA TABLE DE PYTHAGORE :

Pour multiplier un nombre par un autre nombre , il faut savoir de mémoire la table de multiplication. Cette table , dite de « Pythagore » , renferme les produits de deux quelconques des neuf premiers nombres .

PRATIQUE DE LA MULTIPLICATION : ( 5 cas)

Cas 1 : le multiplicateur a un seul chiffre : il suffit de multiplier chaque chiffre du multiplicande par celui du multiplicateur en commençant par la droite et de porter toujours la retenue à la colonne suivante .

Cas 2 : Le multiplicande et le multiplicateur ont plusieurs chiffres . On fait autant de produits partiels qu’il y a de chiffres au multiplicateur ; on place les uns sous les autres les produits partiels obtenus en ayant soin d’écrire chaque fois le premier chiffre du nouveau produit sous le chiffre correspondant du multiplicateur . Le produit des dizaines par les unités donne en effet des dizaines qu’il faut placer sous les dizaines ; le produit des unités par les centaines donne des centaines qu’il faut de même mettre sous les centaines , etc.

Cas 3^e Le multiplicande et le multiplicateur sont terminés par un ou par plusieurs zéros .

On fait la multiplication sans tenir compte de ces chiffres , puis on place à la droite du produit autant de « zéros » qu’en ont les deux facteurs réunis .

Cas 4^e : le multiplicateur a un ou plusieurs zéros entre ses chiffres . Au lieu de multiplier par zéro tous les chiffres du multiplicande , on se contente d’écrire un zéro sous le zéro du multiplicateur et on passe à la multiplication par le chiffre suivant ;

Cas 5^e : L’un des facteurs ou tous les deux sont des nombres décimaux .

On fait la multiplication comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis on sépare par une virgule sur la droite autant de chiffres décimaux que les deux facteurs réunis en comptent .

Remarques :

1°) le produit de zéro par un chiffre quelconque est toujours « zéro ». En effet multiplier « 0 » par 3 ; par exemple , équivaut à 0+0+0 = 0 . De même multiplier par zéro équivaut à ne pas le prendre et par conséquent le produit est encore « zéro ». Le zéro est appelé « élément absorbant »

2°) On peut intervertit les facteurs sans altérer le produit .

Au lieu de compter 7 rangées de 10 arbres , je puis compter 10 rangées de 7 arbres et la quantité est la même ; puis que dans les deux cas tous les arbres ont été comptés .

PREUVE de la multiplication :

Pour se rendre compte si une multiplication est exacte :

1°) on peut répéter l’opération en intervertissant les facteurs , le résultat doit être le même.

2°) utiliser la calculatrice .

3°) On peut faire la preuve par « neuf » .

4°) On peut diviser le produit par l’un des facteurs et l’on doit trouver l’autre .

TRAVAUX AUTO FORMATIFS : la multiplication . ( avec des nombres entiers)

CONTROLE

1. Que signifie le symbole :

2. Comment appelle - t on les nombres situés à droite et à gauche du signe

3. Que pouvez-vous dire sur ce qu ‘est un multiplicande et un multiplicateur ?

4. Donner la disposition pratique de la multiplication .

EVALUATION :

EXERCICES à faire sur feuille ; la vérification se fera ensuite à la calculatrice.

I ) Effectuer les multiplications suivantes :


a	16 8 =	c	756 =	d	45 7 =	e	830 9 =
f	256 27 =	g	485 58 =	h	849 95 =	i	358 24 =
j	1 694 58 =	k	3 27443 =	l	2 38039 =	m	8 76473 =
n	76 465932 =	p	46 178375 =	q	76 548654 =	r	56 381784 =

II ) Calculer:


a	425 4 =	b	237 5 =
c	807 46 =	d	198 27 =
e	9 087 97 =	f	2 783 64 =
g	54 639499 =	h	98 569 531 =

III ) Calculer:


a	8317 =	b	217 4 =
c	573 81 =	d	78297 =
e	6 781 21 =	f	147018 =
g	20 682 702 =	h	80 987 614 =

IV ) Calculer


a	630 3 =	b	427 6 =
c	632 19 =	d	942 72 =
e	4 29127 =	f	5 431 86 =
g	56 045 792 =	h	59 234 321 =

INTERDISCIPLINARITE:

Classe CM
a) Exemple : dans une semaine , il y a 7 jours . Combien y a-t-il de jours dans 4 semaines ; dans 6 semaines ; dans 8 semaines ? Pour 4 semaines : 7 + 7 + 7 + 7 = 28 ; soit 28 jours pour 6 semaines : 42 jours Pour 8 semaines : 56 jours	1.
b) Un jardinier achète 9 plants de rosiers à 13 € pièces et trois sapins à 97 € .Quel est le montant de sa dépense ?	2.
c) Pour sa classe , un instituteur commande 25 livres à 57 € , 20 cahiers de travaux dirigés à 19 euros et un guide du maître à 89 €. Quel est le coût de sa commande ?	3.
d) Une pommeraie compte 135 arbres . Cette année , le propriétaire estime la production de chaque pommier à 125 kg. Quelle masse de fruits produira le verger ?	4.
e) Un ouvrier gagne 7325 € par mois. Combien gagnera-t-il en un an si le mois d’août lui est payé double ?	5.
f)Une femme de ménage payée 43 € de l’heure travaille 8 heures par jour et 5 jours par semaine. Que peut-on calculer ?	6.
g) Un coureur de fond prépare son plan d’entraînement annuel : lundi : 10 km , mardi : 20 km ;mercredi : 10 km ; jeudi : 15 km ; vendredi : repos ; samedi : 25 km ; dimanche : repos. Quelle distance , en km , parcourra-t-il dans son année s’il reste au repos quatre semaines ?	7.
h) Une famille de 5 personnes part aux sports d’hiver pour une semaine. Elle dépense 115 € par personne et par jour pour l’hôtel, 70 € de forfaits de ski de fond par personne pour la semaine et 800 € de frais e transport. A combien lui revient ce séjour à la montagne ?	8.