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ENVIRONNEMENT du
dossier:
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Objectif
précédent : |
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tableau |
DOSSIER : Les logarithmiques
vulgaires (n°2)
Dit
aussi : Système base 10 : appelé système des
logarithmes vulgaires ou logarithmes décimaux , ou
encore appelé logarithmes de Briggs.
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TEST |
COURS |
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Interdisciplinarité |
|
Corrigé Contrôle |
Corrigé évaluation |
CHAPITRES :
INFO :
· Avantages des logarithmes.
Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les
logarithmes , sont ramenées à des
opérations d’ordre moins élevé :
Une multiplication est remplacée par
une addition ;
Une élévation à une puissance est
remplacée par une multiplication ;
Une division est remplacée par une
soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.
S’il était possible d’obtenir rapidement
le logarithme d’un nombre donné , et inversement
d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les opérations
seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .
Les tables de logarithmes remplissent
ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant
de les utiliser .
·
Notions :
Idée de logarithmes .
Soient les deux progressions ci dessous ,
la première géométrique , la deuxième arithmétique :
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0,001 |
0,01 |
0,1 |
1 |
10 |
100 |
1000 |
10
000 |
Etc. |
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|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Etc. |
1er exemple :
« multiplication »
II) Soit effectuer :
10
1000
Cherchons dans la deuxième progression
les nombres qui correspondent aux nombres 10 et 1000 .
On trouve 1 et 3 .
Additionnons ,
on obtient 4 . Cherchons 4 dans la
première progression et relevons le nombre correspondant dans la première progression . On trouve 10 000 .
Le produit demandé est 10 000 .
Les nombres 1 ; 3 ; 4 et tous les termes de la
deuxième progression sont appelés les logarithmes des nombres correspondant de
la première progression .
On dira : log. 10 = 1
log . 1 000 = 3
log 10
000 = 4
On
voit que pour effectuer une multiplication , il a suffit de faire une addition de logarithmes et de chercher
le nombre correspondant au total .
Conséquence – le logarithme d’un
produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs . ( facteur 10 et
facteur 1000)
III) 2ème exemple :
« division »
Soit effectuer : 10 000 : 100
Cherchons dans la deuxième progression
les logarithmes de 10 000 et de 100
On a : log 10000 = 4
log. 100 = 2
Soustrayons les deux logarithmes ,
on obtient 2 . Cherchons le nombre qui
correspond au logarithme 2 , c’est 100 . Le quotient
cherché est 100 .
On voit que pour effectuer une division
de deux nombres ,
il suffit de faire la soustraction des logarithmes de ces nombres et de
chercher le nombre correspondant au logarithme de la différence .
Conséquence : le logarithme d’un
quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur .
log. (
) = log. 10000- log
100
IV) 3ème Exemple « puissance »
Soit à effectuer 10 3
On cherche dans la deuxième progression
le logarithme de 10 , que l’on multiplie par
l’exposant 3 . On obtient 1 3 ou 3 .
A
ce logarithme ,
correspond le nombre 1 000 , qui est la puissance cherchée .
On voit que pour effectuer la puissance
d’un nombre , il suffit de multiplier le logarithme de
ce nombre par l’exposant et de chercher
ensuite le nombre correspondant au produit trouvé .
Conséquence : le logarithme d’une
puissance d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par
l’exposant de la puissance.
V ) 4ème
exemple « puissance »
Soit à effectuer 
On cherche dans la deuxième progression
le logarithme de 100 , c’est 2 .
On divise ce logarithme par l’indice de
la racine , qui est ici 2 . On obtient 1 . Il suffit de relever le nombre correspondant au
logarithme 1 . C’est 10 , qui
est la racine cherchée .
On voit que pour effectuer la racine
d’un nombre , il suffit de diviser le logarithme de ce
nombre par l’indice de la racine et de chercher ensuite le nombre correspondant au quotient trouvé .
Conséquence
. Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par l’indice de la racine .
Tables de logarithmes
. Des savants ont dressé ce qu’on
a appelé des tables de logarithmes ;c’est à dire
qu’ils ont calculé les termes de progressions géométriques , correspondant à
des termes de progressions arithmétiques
.
Les calculs sont tous faits . Il
suffit de relever les résultats . Des exercices
montreront mieux que toute théorie comment on doit se servir de ces tables .
ACTIVITES
EXERCICES
SUR LES CALCULS DE LOGARITHMES
Extrait des
tables des logarithmes
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I )
TROUVER LE LOGARITHME
d’ UN NOMBRE DONNE .
A ) Trouver le logarithme d’un
nombre donné : nombre à trois
chiffres
Exercice 1 :
a) Trouver le logarithme du nombre 493 ,avec une table
On cherche dans l’extrait de la table , le nombre
« 493 » dans la colonne des nombres , indiquée N . Puis on prend le
logarithme inscrit en face , on trouve 69 285 , ce nombre s’appelle « mantisse » .
On compte le nombre de chiffres du
nombre « 493 » , c’est « 3 » . On
retire 1 à cette somme et on obtient « 2 » ,
qui est appelé la « caractéristique » . On place cette
caractéristique devant « 69
285 » , en
les séparant par une virgule ; et on
écrit :
Log. 493 = 2 , 69285
b ) Trouver le logarithme du nombre 493 Avec la calculatrice :
taper
« 493 » puis « log » : le résultat affiché
est : 2
, 692846919
Utilité de la caractéristique :
La caractéristique « 2 »
indique que le nombre dont provient le logarithme est compris entre 100 et 1000 , c’est à dire à 3 chiffres .
Règle
. La caractéristique d’un logarithme est toujours égale au nombre
de chiffres entiers , moins un , du nombre considéré .
Remarque : on peut tirer de ce qui
précède que :
log. de 49,3
= 1 , 69285
log.
de 4,93
= 0, 69285
EXERCICE 2
Trouver le logarithme du nombre 0,0493 .
On cherche le logarithme du nombre 493 , c’est toujours comme mantisse 69 285
.Reste à trouver la caractéristique .
Or
, : 0,0493 = 
ou log. 493 moins
log. 10 000
Ou
2, 69285 - 4
Pour retrancher 4 de 2 , on
inscrira -2 qui est le résultat , mais en l’indiquant
comme ci-dessous :
, 69285
d’où
log. 0,0493 = , 69285
Remarque .- On voit qu’ainsi
tous les logarithmes obtenus ont leur partie décimales positive , il n’ y a que
la caractéristique qui peut-être négative . Cela
facilite les calculs .
Règle : La caractéristique d’un
nombre inférieur à 1 indique le rang du premier chiffre significatif à
droite après la virgule
.
B ) Trouver le logarithme d’un nombre
donné : NOMBRES
DE 4 CHIFFRES :
Exercice : Trouver le
logarithme du nombre 4936
On cherche dans la table le logarithme
de 493 , qui est le même que celui de 4930 , mais avec la caractéristique
« 3 » .
On a : log
4 930 =
3 , 69285
Mais ce n’est pas ce nombre 4 930 dont il faut chercher le logarithme , c’est 4
936 , c’est à dire un nombre supérieur de 6 unités .
Pour un nombre supérieur de 10 unités , c’est à dire pour le nombre 4940 , la différence de
logarithmes est de 88 ( colonne des
différences) .
On dira : 1à unités correspond à
une différence de logarithme égale à 88 , à quelle différence correspond 6 unités ? La règle
de trois suivante donne :
= 52, 8 ou 53
On ajoute ce nombre 53 au log. de 4930 , et l’on a
3,69285
+ 0,00053 = 3 , 69338
qui est
le logarithme du nombre 4 936
A l’aide de la calculatrice le log.
4936 = 3,693375151
C ) Trouver le logarithme d’un nombre
donné : NOMBRES
DE 5 CHIFFRES :
Exercice : Trouver le logarithme du nombre 57 789 .
Cherchons dans la table les logarithmes
de 57 700 et 57 800 ;puisque 57 789 est compris entre 57 700 et
57 800.
On a : log. 57 700
= 4 ,76118
Et log. 57 800 = 4,76193
Pour une différence de 100 unités entre
les 2 nombres , on trouve une différence de 75 entre
les logarithmes ( colonne spéciale)
Comme dans l’exercice précédent , on fera la règle de trois suivante , en
regardant que le nombre proposé 57 789 surpasse de 89 unités le nombre 57 700 ;
= 67 par excès .
On doit donc ajouter 67 au log. de 57 700 , c’est à dire à
4,76118 .
On obtient : log. 57 789 = 4, 76185
II TROUVER LE NOMBRE CORRESPONDANT A UN LOGARITHME DONNE .
Exercice 1
Trouver le nombre correspondant au
logarithme 2,79 934
On ne s’inquiète pas de la caractéristique , qui indique seulement que le nombre
cherché doit avoir 3 chiffres entiers .
On cherche dans la colonne des logarithmes la
mantisse 79 934 qui s’y trouve justement .
Elle correspond à un nombre : 630 . C’est le
nombre cherché .
Exercice 2 :
Trouver le nombre correspondant au
logarithme 0, 69679
Ce nombre aura 1 chiffre entier d’après la caractéristique 0
Cherchons dans les colonnes des logarithmes , on ne
trouve pas 69 679 , qui est compris
entre
69 636 , correspondant au nombre 497
et 69 723
, correspondant au nombre 498
et qui
est supérieur de 43 unités à 69936
le nombre
cherché sera entre 497 et 498
On dit : Pour une différence de
logarithme de 69723 – 69636 ou 87 (indiquée dans la colonne
des différences ) , on a une différence de nombres
égale à 4980 – 4970 ou 10 unités .
Une règle de trois donnera le quatrième
chiffre à ajouter à 497.
Pour une différence de logarithme de 87
unités , on doit ajouter 10 unités au nombre 4930 ,
pour une différence de logarithme de 43 unités , on devra ajouter : 
= 5
Le nombre sera donc : 4,975
La
calculatrice donne pour log. de 0,69679 = 4,974964659
Exercice 3 :
Trouver le nombre correspondant au
logarithme 
,69082
On cherche 69082 dans les colonnes de logarithmes . (voir page précédente)
On trouve 69020 . Il y a donc
une différence de 62 de plus
. Or , la différence tabulaire
correspond à 69020 est de 88.
On posera la règle de trois suivante , si on veut avoir 5 chiffres du nombre .
Pour 88 : la différence des
nombres 49 000 et 49 100 = 100
Pour « 1 » la différence : 
Pour « 62 » la
différence : 
= 70
Le nombre demandé sera donc : 49 070 , mais comme la caractéristique est de , il s’ensuit que le
premier chiffre significatif du nombre 49070 doit venir après la virgule .
Le nombre demandé est : 0,49070.
III
) RECHERCHE D’UN PRODUIT PAR LES LOGARITHMES.
On a vu que les produits de facteurs se
transforme en additions des logarithmes de ces facteurs .
Exercice 1
Effectuer la multiplication :
492,7 
0,51 517
On disposera ainsi :
;
log.
492,7 = 2,69258
log.
0,51 = ,70757
log.
517 = 2,71349
somme 5,11364 =
nombre 129 910
(voir le résultat avec une calculatrice : 129 910 , 2274 )
Le logarithme 5,11364 est le logarithme du produit .
Recherchons dans une table complète le
nombre correspondant à ce logarithme , et le produit sera effectué .
Dans la table , on a le logarithme 11059 , qui est
le plus approché de 11364 . Il
correspond au nombre 129 ou 129 000 , puisqu’il
nous faut ici 6 chiffres entiers à cause de la caractéristique
« 5 » . On dira :
Pour une différence de 335 en logarithme , on aura une différence de 1 000 unités sur un
nombre . Pour une différence de
logarithme de 11364 – 11059 ou 305 , on aura une
différence de nombre égale à : 
= 910
Le produit sera donc : 1239 910
Le produit est 129910
, qu’on retrouve en faisant les
multiplications ordinaires . ( ou avec la calculatrice
)
IV)
RECHERCHE D’UN QUOTIENT
PAR LES LOGARITHMES
On a vu que tout division de nombres se
traduisait par une différence de logarithmes .
Exercice
: Effectuer la division 4968,3 : 51,4
On disposera :
log. 4
968,3 = 3 ,
69620
log.
51,4 = 1, 71096
Différence : 1, 98524
On recherchera dans la table , le nombre correspondant au logarithme 1, 98524 et
l’on trouvera après calcul : 96,65
Qui
est le quotient demandé .
V ) RECHERCHE D’UNE PUISSANCE
PAR LES LOGARITHMES
On a vu que toute puissance d’un nombre
se traduisait par la multiplication du logarithme de ce nombre par l’exposant
qui marque la puissance cherchée.
Exercice : Effectuer la puissance (5,15)4
On disposera :
log. 5,15 =
0,71181
4 log.
5,15 = 2, 84724 = nombre
703,44
On cherchera ,
dans la table , le nombre correspondant au log . : 2,84724 , et l’on trouvera : 703,44
Qui est la puissance demandée
.
Voir
le calcul avec la calculatrice :703,4430062 .
VI ) RECHERCHE D’UNE RACINE PAR LES LOGARITHMES…………… (info
+++ )
On a vu que toute racine d’un nombre se
traduisait par la division du logarithme de ce nombre par l’indice de la racine .
Exercice : Effectuer la racine
cubique de 5 197 ; noté : 
On disposera :
Log. 5197 = 3 ,
71575
log . 5197 = 1,
23858 =
nombre 17,32
On recherchera, dans la table, le
nombre correspondant au log. 1,23858 , et l’on
trouvera : 17,32
Qui est la racine demandée.
Avec
la calculatrice , en utilisant la fonction
racine ; on trouve :17,32144978
VII) CALCUL PAR LES LOGARITHMES D’UNE EXPRESSION ALGEBRIQUE .
Exercice : Soit à effectuer le
calcul de l’expression suivante :
On calculera d’abord le logarithme du
numérateur :
On disposera :
log. 858
= 2,93349 ……………………… 2,93349
log. 54 = 0,69897 4 = ……………… 2,79588
log. 0,037 =
, 56820 …………………….., 56820
log. 1247
= 3,095587………………………3,095587
|
Total ………………………………………. |
7,39343 |
Puis on cherchera le logarithme du dénominateur .
On disposera :
log. 712 =
1,85126 2 …………… 3,70252
log. 0,5865
= ,76827 ……………….. ,76827
log. 25 =
0,30103 5 ………………1, 50515
|
Total ……………………………………. |
4,97594 |
On soustrait enfin le logarithme du
dénominateur du logarithme du numérateur .
7,39343 - 4,97594 = 2,41749
Et l’on cherchera le nombre
correspondant à ce logarithme , qui sera le résultat .
On obtiendra : 261,51
Si l’on veut effectuer par
l’arithmétique le calcul de l’expression donnée , on
verra que l’on trouve exactement le même résultat . 261,51
Remarque
. Le calcul logarithmique n’est pas difficile à acquérir
, ce n’est qu’une habitude , mais encore faut-il la prendre , et pour
cela faire de nombreux exercices .
Nous recommandons donc de
s’exercer au maniement de la table de
logarithmes d’une façon fréquente .
Rappels :
sur les avantages des logarithmes.
Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les
logarithmes , sont ramenées à des
opérations d’ordre moins élevé :
Une multiplication est remplacée par
une addition ;
Une élévation à une puissance est
remplacée par une multiplication ;
Une division est remplacée par une
soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.
S’il était possible d’obtenir
rapidement le logarithme d’un nombre donné , et
inversement d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les
opérations seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .
Les tables de logarithmes remplissent
ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant
de les utiliser .
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
Exercices spéciaux sur les logarithmes :
Nota : Ces exercices doivent être
résolus avec le plus grand soin , mais on n’oubliera
pas que les résultats sont
approximatifs .
1°) Trouver les logarithmes de 8 ; 43 ; 724 ; 3652
2°) Trouver les logarithmes de 0,25
; 0,05 ; 0,876 ;
3°) Trouver les logarithmes de 3,72 ; 345,8 ; 85,000 ; 42,79
Trouver les nombres correspondants aux
logarithmes suivants :
4°) 0,30103 ; 2,11394 ; 4,
95328
5°) 1,33522 ; 3,73 672 ; 2,93354
6°) ,80688 ; ,93346 ; 
,56874
Effectuer
, par logarithmes , les multiplication suivantes :
7°)
5 48 173 = ; 4 574 278 =
8°) 0,087 24 500 = ; 0,0127 0,00793 =
Effectuer
, par les logarithmes , les
divisions suivantes :
9°)
4 747 : 237 =
279 000 : 888 =
10°) 0,00287 : 4562 =
0,875 : 0,0147 =
Effectuer
, par les logarithmes , les puissances suivantes :
11°)
37 ; 184 ; 3573
12
°) 0,34 2 ; 0,082 3 ; 45,41 2
Effectuer , par
logarithmes ; les racines
suivantes :
13°) 
; 
; 
14°) 
; 
; 
15°)
; 
; 
Effectuer
, par les logarithmes , le calcul des expressions suivantes :
16 ° )
= 17°) 
=
18°) 
= 19 °) 
20°) 
= 21°) 
22°) 
23°) 
|
PROBLEME 1 : On donne : en 1998 il y a en France 60 000 000 de personnes
.En quelle année la population aura-t-elle doublée soit (120 000 000 de personnes) sachant que
sa croissance annuelle est de 3% |
|
Problème N°2
|
|
|
Un capital de 9 000 francs à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12
000 francs , le taux étant de 5 %. Combien
d’année est-il placé ? |
|
|
Pb
N°3 : |
Logique « Argentine » |
|
Buenos-Aires
comporte aujourd’hui 13 millions d’habitants et augmente de 3% par an. La
population totale de l’ Argentine fait 30 millions
d’habitants et diminue de 1% par an. Selon cette perspective
, dans combien d’année pourra-
t-on approximativement dire que tous
les Argentins vivent à Buenos-Aires ? |
|
|
Corrigé
des Pb : |
|
N°4 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes. Durant
les années suivantes on enregistre une diminution annuelle de 8 % du nombre
de visiteurs. |
|
a)
Quel a été , dans ces
conditions, le nombre de visiteurs de la deuxième année ? b)
Quel a été le nombre total de visiteurs au cours
des deux premières années ? Quel a été , dans ces
conditions, le nombre de visiteurs de la cinquième année ? |
|
Les
logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0
à 1000 . feuille 2/2 |
|
|
|
N°1 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes. Durant les années suivantes on enregistre une
diminution annuelle de 8 % du nombre de visiteurs. |
|
c)
Quel a été , dans ces
conditions, le nombre de visiteurs de la deuxième année ? 230 000 d)
Quel a été le nombre total de visiteurs au cours
des deux premières années ? 480 000 Quel
a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs
de la cinquième année ? 179 098 visiteurs ou autre approximation Obtenu par calcul directe avec la formule ou calcul par années
successives. |
|
PROBLEME 1 On donne : en 1998 il y a en France 60 000 000 de personnes
.En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de 3% |
On pose : 1,03n = 2 faire ou alors passer par les ..logarithmes
120 000 000 = 60 000 000 (1,03)n soit n = on a log . 120 000 000 = log 60 000 000 = on fait la soustraction : = on cherche le log 1,03 on doit effectuer la division d’un logarithme par un autre
logarithme : |
SUITE géométrique et (Pb. vu dans le cours sur les
intérêts composés
|
|
PROBLEME 2
Un capital de 9
000 francs à produit , capital et intérêts composés
, une somme de 12 000 francs , le taux étant de 5 %. Combien d’année est-il placé ? |
Solution : On aura , d’après la formule : 12 000 = 9
000(1+0,5)n et en appliquant le calcul logarithmique : n = on a log. 12 000 =
4,07918 log. 9 000 =
3,95424 donc : 4,07918 - 3,95424 reste :
log 0,12494 or log. 1,05 = 0,02119 On aura donc à effectuer la division d’un logarithme par un
autre logarithme.
|
|
Pb N°3 : |
Logique « Argentine » |
|
Buenos-Aires comporte aujourd’hui 13 millions d’habitants et augmente
de 3% par an. La population totale de l’ Argentine
fait 30 millions d’habitants et diminue de 1% par an. Selon cette perspective , dans combien d’année pourra- t-on approximativement dire que tous les
Argentins vivent à Buenos-Aires ? |
Corrigé :Soit « x »
le nombre d’années inconnu. A) Au
bout d’un an, la population de Buenos-aires sera
de : 1,03× 13. Au bout de 2 ans : 1,03² × 13. Au bout de « x » ans :; 1,03 x× 13. B) La population de toute l’Argentine au bout de un an
sera : 0,99 × 30. au bout de
« x » années elle sera de 0,99x × 30 Quand tous les argentins vivront à Buenos-Aires, la
population de l’ Argentine sera égale à celle de
Buenos-Aires : 0,99 x × 30 "H 1,03 x × 13 ce qui donne : ou :
2,3077 "H ( 1,040404) x 21 < x
< 22 Conclusion : Il apparaît que c’est en 21 ans (environ)
que presque tous les Argentins vivront à Buenos-Aires, selon ce modèle démographique. |
