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Auteur :
WARME R.
INFORMATIONS sur
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NOM : ……………………………… |
Prénom : ………………………….. |
Classe :………………….. |
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Année scolaire : ……………………… |
Dossier
pris le : ……/………/……… |
Validation
de la formation : O -
N Le : …………………………………….. Nom
du formateur : …………………… |
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ETABLISSEMENT :
………………………………………….. |
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Leçon |
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N°10 |
PROPORTIONNALITE
applications : Echelle ; pourcentage ;indice . |
CHAPITRES
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1°) Echelles |
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2°) Pourcentages |
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3°) Indice . |
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I. Les échelles |
Définition : Le
rapport :
est appelé « l'échelle du plan » .
L’échelle permet de représenter « la
réalité » avec des dimensions
différentes tout en conservant les mêmes proportions.
On note
« Dp » dimension du plan et « Dr » la dimension réelle .
D'où la formule : 
Résultat du calcul : L ' "échelle"
peut être une fraction ou un nombre décimal.
+Activité
1 : Mesures
sur un plan de maison
on
donne le plan d'une maison,
l'échelle est 
(Lire : « un cinquantième »)
On peut dire
que : 1 cm sur le plan
représente 50 cm dans la réalité.
Remarque : la fraction 1/50 à
pour valeur décimale : 0,02
Si l'on
cherche à savoir la longueur réelle de
la cuisine dont la mesure sur le plan est 9 cm, on peut construire un tableau
de proportionnalité.
|
Mesure "réelle" en cm. |
50 |
x (9 fois 50 ) = 450 cm |
|
Mesure plan en cm |
1 |
9 |
Le coefficient
de proportionnalité "k" est égal à ( ou
= 0,02 )
On en déduit l’équation : y = x ; D p = Dr
+Activité 2
: Carte
routière
Une carte
routière est à l'échelle 1 : 50 000 (un cinquante - millième)
On dira que :
1 cm sur le plan représente 50 000 cm dans la réalité .
Rechercher
par quelle mesure sera représentée sur
la carte une portion de route droite
longue de 3,5 km .
On peut convertir en cm :
3,5 km = 3 500 m = 350 000 cm
Ou l'on peut convertir 50 000 cm en km
= 0,500 km
On peut
établir le tableau :
|
(
x) Mesures réelles en cm |
50 000 |
350 000 |
|
(y) Mesure sur le plan en cm |
1 |
"y" |
On en
déduit que : Dp = 
Dr
ou Dp = 0,000 02 Dr
Le
coefficient de proportionnalité est de
«1/ 50 000 » ou de «0,000 02 »
; soit l ' équation " y = 0,000 02 x "
- A
partir du tableau ci dessus, on peut
effectuer le calcul de "x" :
Le produit
en croix peut s'effecteur à partir de la
proportion : 
= 
Soit " 50 000 y = 350 000 ;
donc y = 350 000 / 50 000 " donc " y = 7 cm
"
+Activité 3 : Agrandissement
Une plaque
de métal de 12 mm de long sur 6 mm de
large a été dessinée sur plan, le rectangle mesure 6 cm de long et 3 cm de large. Quelle est
l'échelle utilisée ?
=Pour calculer l'échelle avec laquelle elle a été
représentée, il faut tout d'abord effectuer les conversions pour que les
mesures soient exprimées dans la même unité (en mm par exemple) :
Les
dimensions du plan
en mm seront : 6 cm = 60 mm et 3 cm = 30 mm.
D’où le tableau :
|
Mesures
réelles en mm |
12 mm |
6 mm |
|
Mesures
"plans" en mm |
60 mm |
30 mm |
L'échelle
est le rapport 
soit 
;
- l'échelle utilisée pour tracer le plan est de "5"
Remarques :
- La
valeur du rapport de l'échelle est
supérieure à 1 ; il s'agit donc d'un
agrandissement.
-
Le coefficient de proportionnalité
est égal au rapport 
-
On établit
la formule, à utiliser : Dp = 5 Dr ; (égalité de
la forme y = 5 x)
(Voir suite de la leçon : agrandissement ou réduction)
iPré requis : multiplication d'une fraction par un nombre.
Le rapport
de deux grandeurs exprimées dans la même unité peut s'écrire sous forme de
pourcentage :
"je dépense
25 € sur 100 € ; se traduit par "je
dépense 25% de mes 100 €" ;
*
Les 25 %
de mes 100 € se traduit par l'opération : 
= 
=
= 25
Ainsi 25%
= 
= 0,25
A retenir : Pour
calculer " a % " d'une
grandeur A , ,on multiplie la grandeur A par 
.
+Activité 1 : Rechercher
l'existence d'un "k" en vu d'obtenir un
"a % "
Lors d'une
période de soldes , un commerçant a affiché , pour chaque article , le prix habituel et le montant de la réduction accordée :
|
Marchandise |
prix
habituel |
réduction |
|
Chemise |
40 € |
10 € |
|
Pantalon |
36 € |
9 € |
|
Veste |
100 € |
25 € |
|
Polo |
8 € |
2 € |
Pour
vérifier qu'il y a « proportionnalité » , nous allons calculer le
« coefficient » multiplicateur de chaque marchandise ; pour déduire qu'il
existe un coefficient de proportionnalité "k" .
On établit
le tableau :
|
Prix
normal |
40 |
36 |
100 |
8 |
|
Montant
de la réduction |
10 |
9 |
25 |
2 |
Le
coefficient est égal au rapport :
Chemise 
; Pantalon
;
Veste 
;
Polo 
On
constate que les coefficients
obtenus sont de même valeur : 0,25
Le
coefficient de proportionnalité est donc k = 0,25
On peut
écrire ce rapport sous la forme d'un pourcentage pour signifier que la réduction est de 25 € pour 100 € ( voir la veste)
On écrira : la
remise est 25% du prix habituel .
iUn
pourcentage permet de connaître la
valeur qui correspond à 100 unités d'une grandeur .
Exemples :
.
+Activité 2 : On veut
retrouver une grandeur dont on connaît la valeur d’un certain pourcentage
On fait
une remise de 20% sur un meuble. Calculer la valeur de ce meuble sachant que la
valeur de ces 20 % représente 540 €.
i Si la valeur du meuble était de 100 € la remise
serait de 20 €.
|
Coût du meuble |
100 |
"x" |
|
Remise |
20 |
540 |
D’où la
proportion : 
;
En
résolvant cette équation il vient :
x = 
= 2700
Donc le
prix du meuble était de 2700 €
+Activité 3 : Rechercher le pourcentage d’une remise sur un
article dont on connaît la valeur ainsi que la valeur de la remise.
Un article
dont le prix de départ est de 360 € est vendu avec une remise de 54 € sur
le prix. Quelle serait la remise pour
100 € marqué ?
On établit
un tableau :
|
Prix marqué |
360 |
100 |
|
54 |
"x" |
Proportion
obtenue : 
En
résolvant cette équation il vient : 
Le
pourcentage de remise sur le prix marqué est de 15 %
:
|
A RETENIR On retiendra que
pour traiter un problème sur les pourcentages on peut utiliser un tableau de proportionnalité |
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Base
"100" |
Réelle |
|
Valeur |
100 |
"x" |
|
Remise |
"a" |
"y" |
|
Pour remplir ce tableau : - On repère les grandeurs proportionnelles en transformant le pourcentage en une
comparaison: à "100" associe
"a" et à "x"
associe "y" - On construit et l'on remplit le tableau afin d'obtenir la proportion : -On transforme la
proportion , pour obtenir un calcul à trois nombres et on effectue les
calculs |
||
|
III ) LES INDICES |
Définition :
Un indice est un nombre abstrait qui
permet de chiffrer l'évolution d'un prix au cours du temps .L'indice est égale
au rapport de la nouvelle valeur Vj par la valeur
d'origine ( Vo) multiplié par 100 (indice de base).
Ij/o
= 
100
Un indice
donne, à une époque " t i "
, ( Lire « temps initial ») le
prix d'un produit dont le prix aurait été de 100 € à une époque "t o" choisie comme base .
+Activité 1 :
En 2001, le kilogramme de tomates , est vendu 23,40 F ; en 2000 il était
vendu 20 F ; à l'indice 100 ; l'année
suivante le même kg de tomate est vendu 23,4 F. Trouver l'indice d'augmentation .
L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs
proportionnelles.
|
|
An 2000 |
An 2001 |
|
indice |
100 |
"x" |
|
Prix au kg |
20 |
23,40 |
L'indice est égale au calcul :
Soit I = 
= 117
L'indice du prix en 2001 est de 117 .
L'augmentation en pourcentage du prix du kg de tomate est de : 
= 17 soit 17%
+Activité 2
En l'an 2001, le kilogramme de tomates, est à l'indice 117 ;
en 2000 il était à l'indice 100 ; Cela ne signifie pas qu'en l'an 2000 le kilogramme de tomates valait 100
F et qu'en 2001 il vaut 117 F.
Cela signifie que si le kg de tomates valait 20 F à l'indice 100 ; le kilogramme
vaut en 2001 : 
117 =
23,4 F
L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs
proportionnelles.
|
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An 2000 |
An 2001 |
|
Indice |
100 |
117 |
|
Prix au kg |
20 |
???? |
(
R : 23,40)
iL'augmentation
en pourcentage du prix du kg de tomate
est de : 
=
17 soit 17%
x ( diminution ou augmentation).