DOSSIER   N° 22  / 26 :  Ces travaux doivent  permettre d’étudier le cours « seul ».

  ( ►Corrigé : @ )

Niveau  VI  et    V 

NOM:……………………

Classe :

Prénom :…………………….

Date :

Année scolaire : ……….

III )  LECON  n° 22 : LES  RELATIONS  TRIGONOMETRIQUES  dans le triangle rectangle.

CHAPITRES :

I ) nomenclature .terminologie  ( côté opposé , côté adjacent ,hypoténuse, sinus, cosinus, tangente) .

Cd :Info plus .

II ) DEFINITIONS des  3 principales relations trigonométriques .

Cd :Info plus .

- 1 ) Activités découvertes

-  2 ) Synthèse

-  3 ) Résumé : définition du sinus ; cosinus et tangente d’un angle.

Cd info +

III ) CONVERSION d’une valeur  décimale  en valeur angulaire Passage d’une valeur à l’autre .(valeur décimale d’un sin a; cos a, tan a,  en  valeur en degré de l’angle a)

Usage des tables

a) avec la calculatrice

Cd :Info plus .

b)avec la table de trigonométrie.

Cd :Info plus .  et CD

IV )Calculs d’éléments d’un triangle rectangle.

Cd :Info plus « sinus ».

1° ) Recherche d’un angle connaissant les longueurs de deux côtés.

Cd :Info plus   « cosinus » .

2°)Recherche de la longueur d’un côté  connaissant un angle et la longueur d’un autre côté .

Cd :Info plus « tangente ».

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

COURS

I ) NOMENCLATURE et TERMINOLOGIE .

I - 1 )  Nommer  des angles dans un triangle rectangle :  ( info Cd ++)

Noms donnés  aux angles : 

Pour le symbole « b » lire « ………… ? » ;

 ( = ?    )

Pour le symbole « a »  lire « ………… ? » ;

 ( = ?     )

 En « A » : un carré (ou rectangle) symbolise :   ……………………………………….

L’angle  « b » se trouve   à l’opposé  du côté ……………………………..

L’angle  « a »  se trouve  à l’opposé du  côté ………………………………

Les côté AB et BC sont dits :  ……………. . ( AB est appelé le « côté ………………….. » à l’angle « b »)

Les côtés AC et CB sont  dits :  …………… ( AC est appelé le « côté …………………….» à l’angle « a »)

I - 2 )  Identification du « Côté opposé » , « côté adjacent » , « hypoténuse » d’un angle

Angles :

   Le triangle rectangle possède deux angles …………….  ( en A et C )  et un angle ……….  ( en B) .

Côtés : 

- le plus long côté s’appellera toujours « …………………….. ».( exemple ……….. ? ) ;

- Le côté CB est appelé « côté ……………… » à l’angle   ( qu’il ne forme pas) , il est aussi appelé  « côté …………………. » à l’angle   .

- Le côté AB est appelé « côté ……………………» à l’angle   (qu’il ne forme pas) , il est aussi appelé  « côté ……………………….. » à l’angle    .

†        Activité 1 :

   On choisit  de se positionner à  l’angle droit :  ( on se place sur la pointe de l’angle droit )

Le côté opposé à l’angle droit s’appelle : hypoténuse . (C’est toujours le côté qui mesure la plus grande longueur. )

Ici l’hypoténuse  est  bornée par les points :  …………………………… ?

b)  Les  2 autres côtés  forment l’angle droit , ils ont un point commun ( B ) , ils  n’ont pas de nom particulier , tant qu ‘ il  ne  sera  pas  positionné par rapport à un sommet du triangle .

† Activité 2 :   On considère l’angle  A  ( noté : ?....  )  ( on se place en A ! ! !)

A

 

Nommer

AC :     AC est ……………………….. ( le +  long ) ;

CB :  on nommera  CB le  côté …………………….. à l’ouverture  ou la fermeture de l’angle A  . ( On peut se souvenir  que si AC et AB sont les branches d’un compas articulé en A  , CB est un tige rigide qui empêche le compas de s’ouvrir ou de se fermer )

AB :      AB s’appellera «  côté …………………….. » à l’angle A . 

Activité 3 :  On considère l’angle   « C » : ( on se place sur  « C » )

AC : reste  ……………………….. ( c’est le plus long côté)

AB :   AB s’oppose à l’ouverture ou à la fermeture de l’angle   , il s’appellera « côté …………. » .

CB : reste donc à nommer CB ; CB s’appellera « côté  …………………. » à l’angle « C ».

I - 3 )  En résumé : pour un triangle rectangle CBA ; rectangle en B :on nommera les côtés ainsi ( les 3 segments de droite formants  le triangle  , 3 côtés  pour 5 noms ):

Si l’on se fixe sur un angle ; on nommera les côtés  de la façon suivante :

Pour l’angle droit

On se place au point « B »

Pour l’angle    

On se place au point « A »

Pour l’angle    

On se place au point   « C »

AC

est appelé :

?

?

?

AB

est appelé 

?

?

?

BC

est appelé 

?

?

?

i9

II - 1  ) Activités  « découverte »

i  La relation trigonométrique  de chaque relation dépend du calcul effectué.

Pour chaque angle aigu   et    on peut déterminer  par calculs * 3 nombres décimaux différents appelés :  l’un « sinus »  l’autre « cosinus »            et un suivant  « tangente ».

*(Ces calculs sont des divisions de deux  longueurs de deux côtés  judicieusement choisis dans le triangle rectangle .)

Pour connaître ces calculs  faites  l’activité suivante ! ! !:

†  ACTIVITE 4 :

On vous donne  ( les données sont … ;) :

Sur la figure suivante sont dessinées deux demi-droites ( A x et Ay )sécantes en A formant un angle de 30°. et une troisième  droite de direction  orthogonale à la demi-droite Ax .

On vous demande de faire ( effectuer les tracés …) :

a)  On demande  de  placer sur la demi-droite  Ay   le point  « B » à 100 mm , « C » à  60 mm et  un point  « M »  éloigné  entre « A » et « B » à plus de 20 mm de « C »  . 

b) Tracer  les points ( appelés : projetés orthogonaux)   « B’ »   « M’ »  et « C’ »  sur la demi-droite  Ax .

c)  Observations : 

iOn doit obtenir  trois triangles rectangles : AB B’ , AC C’ , et AM M’

=Vérifier que ces triangles sont rectangles : pour cela tracer des cercles dont les centre se trouvent sur Ay et dont le centre de chaque cercle est le milieu des segments  AB , AC et AM.

Ces triangles ont  en commun l’angle  ……..qui mesure …………

† Activité 5 :

a) Mesurer les longueurs ( en mm ) sur la figure :

AB

AB’

BB’

AC

AC’

CC’

AM

AM’

MM’

100 mm

………..

………

60 mm

………..

………..

………..

………

………..

b) Compléter le tableau ( arrondir les résultats à  deux décimales ; ou à 0,01 près)

1

Le nombre obtenu est le sinus de l’angle  de 30°

2

Le nombre obtenu est le cosinus de l’angle  de 30°

3

Le nombre obtenu est le tangente de l’angle  de 30°

c )Comparaison des résultats par ligne  :

  Les trois résultats « par ligne » doivent être égaux . Interpréter une éventuelle  différence : …………………………………………………………………………

i9

II - 2 )   Synthèse  des activités « découvertes »

:i

Généralisons au triangle rectangle  ACB   rectangle en   B :

-         les rapports   ne dépendent pas des dimensions des triangles mais seulement de leurs angles .

=par exemple :

 Le quotient du rapport  est pour l’angle   son  « sinus »  et ce même quotient  est pour l’angle    son   « cosinus ».

 C’est ainsi que l’on peut dire que le sinus de     est égal au cosinus de   ( à vérifier). Que l’on écrit :

Dans le triangle rectangle  CBA , rectangle en B , on aura les égalités suivantes :

-          ;  ;

-          

-          ;  ;

i9

II - 3  )   Résumé :

:i

Citer   les  3  rapports   ( dits aussi  « lignes »)  trigonométriques  :

Et    Donner les définitions des rapports trigonométriques suivants :

1)  Sinus d’un angle aigu               :Cd info plus

?????

2)  Cosinus d’un angle aigu         :Cd info plus

????

3)  La tangente d’un angle aigu

:Cd info plus

???

i9

II -4 )  Exemples numériques :

:i

Dans le triangle rectangle ci -dessous : ( à vérifier par Pythagore )

Calculer :   ;  ;   et puis  ,   et .

Solution :

 =

  =

 =

  » ………

»  ………

 »  ……….

 » …………..

  »  ………..

  »  ………

»  ………

  » ………

  = ………

  »  ………

  » ………

  = ………

On remarque  que  :

-          »  ……………  et    » ……………  ,   remarque : ?    donc

  »  …………… et   »  …………. ; remarque :    donc     ?     

i9

III )   CONVERTION  d’une valeur décimale    d’un sin a ; cos  , tan    en  valeur   angulaire  , exprimé en degré de l’angle a  ( noté :  )  et vis versa .

:i

Usage des tables

Ces conversions ne peuvent se faire  qu’en consultant  soit la calculatrice (en mode degré ), soit une table de trigonométrie .

Ainsi , lorsque je sais utiliser la calculatrice ou la table :

i  Lorsque l’on connaît la valeur décimale d ‘un sinus , d ‘un  cosinus ou d ‘ une tangente d’un angle , il est possible de convertir cette valeur décimale en  degré ( valeur angulaire) .

Inversement si je connais  la valeur ,en degré, d ‘ un  l’angle ,je peux ,en consultant la table numérique ou en utilisant la calculatrice obtenir  la valeur décimale du sinus ,cosinus ou tangente de cet  angle.

La suite de ce chapitre vous apprend à utiliser la calculatrice et ensuite avec la table .

Conseil important : si vous n’êtes pas sur de savoir utiliser correctement  votre calculatrice ,et pour plus de sécurité , vérifier  sur la table  , en comparant les résultats .

i9

III - 1  )  Utilisation de la calculatrice :

Cd :Info plus .

Sans calcul , on peut ,à partir  de la valeur décimale du sinus , cosinus , tangente d’un angle , trouver la valeur angulaire de cet angle ; inversement à partir d’un angle on peut obtenir sans difficulté le sinus , cosinus ou la   tangente de cet angle ( généralement c’est une valeur décimale approchée ).

A ) La valeur angulaire d’un angle aigu étant donnée ( entre 0° et 90°) .Recherche de la valeur décimale d’un sinus , cosinus et tangente  .

Cd :Info plus .

Utiliser la calculatrice pour trouver le sinus , cosinus et tangente des angles : 7° ; 30° ; 84°.

Angle :

Sinus

Cosinus

Tangente

7°

30°

84°

( en général on arrondit au 0,001 près )

i9  

B )La valeur du sinus ou cosinus ou tangente  étant donnée , on recherche  la valeur de l’angle  en degré .

Cd :Info plus .

1°) Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle  C dont le sinus est 0,876 5 .

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  le sinus d’un angle aigu procéder ainsi :

Procédure :

sinus   =  0,876 5 ;    = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  sinus  de l’angle .

Puis presser sur la touche : ?

Lecture écran :             Affichage

Réponse :

Compte rendu :

2°) Utiliser la calculatrice  pour trouver l’angle  A ( ) dont le cosinus est 0,423 6

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  le cosinus d’un angle aigu procéder ainsi :

Procédure :

cosinus   =  0,423 6  ;   = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  cosinus  de l’angle.

Puis presser sur la touche :

Lecture écran :                                Affichage

Réponse :

Compte rendu :

3°) Utiliser la calculatrice  pour trouver  l’angle  B  dont la tangente  est 1,973 2

Pour trouver la mesure de l’angle  ( en ° ) dont on connaît  la tangente  d’un angle aigu procéder ainsi :

Procédure :

Tangente    =  1, 973 2  ;   = ?

Introduire dans la calculatrice  la valeur  du  cosinus  de l’angle.

Puis presser sur la touche :

Lecture écran :                                Affichage

Réponse :

Compte rendu :

i9   

C )  UTILISATION DE LA TABLE DE TRIGONOMETRIE

Info plus  +++CD

De nombreuses tables existent , celle proposée  ,ci dessous ,est la plus simple :

Le sinus de 36° (0,5878) est égal au cosinus de 54°

1°)  Recherche du « SINUS d’un angle »  :

 )Recherche du sinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

1°

10°

24°

30°

45°

60°

90°

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique :réponse sous

Forme décimale  et  sous   forme sexagésimale : 

0,2419

0,8290

0,289256198

0,5

0,866

2°) Recherche du « COSINUS d’un angle »  :

A )Recherche du cosinus à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

1°

10°

24°

30°

45°

60°

90°

B ) Recherche d’ un angle à partir d’un nombre décimal (n £ 1 )

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

0,2419

0,8290

0,289256198

0,5

0,866

3° ) Recherche de la « Tangente d’un angle »  :

A )Recherche d’une tangente à partir d’un angle

Avec la table.

Avec la calculatrice scientifique

1°

10°

24°

30°

45°

60°

90°

B) Recherche d ’ un angle à partir d’un nombre décimal

Avec la table.

Encadrer le résultat Entre …....° et   ……°

Avec la calculatrice scientifique

0,2419

0,8290

0,289256198

0,5

0,866

1

12,56

19

57,2900

169

5067

12568

Dans un triangle rectangle si l’on connaît 2 côtés on peut avec « Pythagore » trouver la longueur du troisième coté .

            Avec deux longueurs , on peut aussi  trouver la valeur  d’un sinus ; cosinus ou tangente d’un angle  pour ensuite trouver la valeur en degré de cet angle , et ensuite en déduire la valeur des deux autres angles ….

Rappels :

La somme des angles dans un triangle est égale   à :  ………… . La somme dans un triangle rectangle est de  180° = 90° + ( somme des 2 angles aigus) .

(ces deux angles aigus ,dont leur somme est de 90°, sont appelés : angles …………………)

Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , j’applique  «……………………. » pour trouver la longueur du troisième côté.

Dans un triangle rectangle , si je connais la longueur  de deux côtés , j’applique  soit : le …….. , le …………… ou la ……………..  pour trouver la valeur d’un des angles aigus .

i9

IV ) Recherche par calculs d’éléments d’un triangle rectangle.

Voir pour chaque cas :

Info 1  sin ;

Info 2 cos ,

Info 3  tan ;

1 ) Recherche d’un angle connaissant les longueurs de deux côtés.

1°) On donne la longueur de l’hypoténuse et la longueur d’un côté  d’un triangle rectangle.

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle A ?.

Que représente [CA ] et [BA] pour l’angle C ?.

Calculs :

a) On demande de trouver la valeur de l’angle A , en degré .

b) En utilisant les relations trigonométriques trouver la valeur en degré de l’angle C.

Procédure :

1°)inventaire des données :

[CA] est l’hypoténuse , [BA] est le côté adjacent à l’angle A

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Analyse :La relation trigonométrique  « cosinus »  est la seule  formule utilisable avec les données .,

3°) calcul du  cos A = 

4°) Calculatrice : recherche de la valeur angulaire.

=

a)       Calcul de la valeur de l’angle C , en degré .

.

Procédure :

Solution :

1°)inventaire des données :

………. est l’hypoténuse , ………. est le côté adjacent à l’angle A

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Analyse :La relation trigonométrique  « cosinus »  est la seule  formule utilisable avec les données .,

3°) calcul du  sin C =

4°) Calculatrice : recherche de la valeur angulaire.

=

Remarque : les angles  = ……………….   et   = ………………..  ont pour somme :

 ……………  +  ……………  = …………..° 

Ce qui vérifie que dans un triangle  la somme des angles est de :

90° + …………….  +  …………… =  180° ;soit   …………….. + 90° = 180° 

2 )Recherche de la longueur d’un côté  connaissant un angle* et la longueur** d’un autre côté .

Cd :Info plus .

*On connaît  la valeur angulaire de l’angle  A ou  de  l’angle B .

** On connaît soit l’angle en A ou en B , on recherche  la longueur du  côté adjacent ou du côté opposé qui forme l’ angle A ou B .

Objectif : rechercher la longueur du côté opposé à un angle .

     Soit un triangle CBA rectangle en B .

      On donne l’angle A  = 42°  et  [B A]  = 20 cm.

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C

Procédure :

Solution :

1°)inventaire des données :

 [BA] est le côté adjacent à l’angle A.

On obtient ,avec la calculatrice, la valeur décimale de :

Sin 42° : …………….

Cos 42° : …………….

Tan 42° :  …………..

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions) 

Analyse :La relation trigonométrique  « tan »  est la seule  formule utilisable avec les données . Il faut convertir tan 42° en valeur décimale avec la calculatrice . 

3°) calcul de  CB  à partir de l’égalité : tan  = ;  On remplace les lettres par les valeurs connues .

4°) transformation  ( produit en croix)

Exercice  2 :

Objectif : rechercher  la longueur du côté adjacent à un angle .

on reprend l’ énoncé précédent  on modifie une donnée .

     Soit un triangle CBA rectangle en B .l’angle A  = 42°  et  [C A]  = 30 cm.

Question : on demande de calculer la longueur du côté [ B C] 

Procédure :

Solution :

1°)inventaire des données :

 [CA] est l’hypoténuse du triangle .

On obtient ,avec la calculatrice, la valeur décimale de :

Sin 42° : 0,669 1

Cos 42° : 0,743 1

Tan 42° :  0,9004

2°) Etablissement des formules :

( à partir des 3 définitions)  , On cherche  CB .

Analyse :La relation trigonométrique  « sin »  est la seule  formule utilisable avec les données . ( on connaît deux valeurs sur trois )

3°) calcul de  CB  à partir de l’égalité : Sin  = ;  On remplace les lettres par les valeurs connues .

4°) transformation  ( produit en croix)