Pré requis:
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Le nombre "pi" |
ENVIRONNEMENT du dossier:
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Index |
Objectif précédent |
DOSSIER : LES CERCLES ET DISQUES
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TEST |
COURS |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
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Le cercle est une figure géométrique
à 1 coté
Rappels :
les figures géométriques sont limitées par des lignes .
Ces lignes sont
« droites » (tracée à la règle) , soit « courbe »
(tracée au compas ) .
Mesure de la longueur d’une ligne :
La longueur d’une « droite » est obtenue :
a) directement avec une règle
graduée.
b) par calcul associant
la mesure @ d’un segment
La longueur d’une « courbe » est obtenue :
a)
par mesure : un fil superposant l’arc de cercle.
b )par calcul : il faut
connaître le rayon du cercle ,la longueur de l’arc en degré ,la relation
mathématique qui lie le calcul du périmètre du cercle et la partie d’un angle
d’un arc.
Les termes employés :
Centre :
le centre du cercle est le point situé à égale distance de tous les points qui
« cernent » ce point. On le
désigne couramment par la lettre O.
Termes
employés :
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centre |
Est
un point intérieur du disque situé à
égal distance de la circonférence |
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cercle |
Le
cercle est l’ensemble des points de la circonférence. |
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Rayon |
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diamètre |
Le
diamètre est une corde qui passe par le centre , sa mesure est le double de
celle d’un rayon . Tous les diamètres sont isométriques
. (
il partage le cercle ou disque en deux parties égales.) |
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circonférence |
La
circonférence est la frontière du disque |
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disque |
Un
disque est constitué par l’ensemble des points de la circonférence et de sa région intérieur. |
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Un
arc de circonférence est une portion de circonférence limitée par deux points |
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corde |
Une
corde est un segment de droite joignant deux points de la circonférence. |
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Angle
au centre |
Un
angle au centre est un angle qui a pour sommet le centre du disque . On
dit que l’angle « intercepte l’arc compris entre ses cotés . |
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La mesure des flèches indiquent une distance
R
identique .représentée par la lettre R (rayon)
Relation entre le rayon « R » et le
diamètre « D » :et SYMETRIE CENTRALE
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VOIR
OBJECTIF SYMETRIE CENTRALE |
Prenons un cercle ; traçons une droite ,dans
le sens indiqué par la flèche , passant par
O et coupant ce cercle .en A et A’ A A’
COMMENTAIRES :
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le segment de droite AO s’appelle Rayon. Le segment de droite OA’ s’appelle Rayon ; Les segments
AO et OA’ sont de même longueur
, et se trouve sur la même direction ,ils ont aussi un point commun
« O ».(on dira qu’ils sont « symétriques » ) |
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LA SYMETRIE CENTRALE : Par Convention : (le
premier point traçé étant A) on dira que le point A’ est le symétrique de A
par rapport au point O : On dira que A’ est le symétrie centrale de A
par rapport à O « Symétrie centrale » et « diamètre » : On écrira que : longueur du segment AO = longueur du
segment OA’ que R = R la distance A A’ est
égale à la distance AO + OA’ = R
+ R Diamètre et rayon : La distance AA’ = 2R
, Dans un cercle la distance qui sépare un
point A est son symétrique
A’ par rapport au centre O du
cercle s’appelle « diamètre ». On retiendra que : 1° ) le rayon est une
grandeur , sa distance est limitée par
un point du cercle et le centre de ce cercle. ( symbole « R » ou
« r » 2° ) Le diamètre est une grandeur qui lie deux points du
cercle appartenant à une droite passant par le centre du cercle. ( symbole : « D » ou
« d » ) 3°) la longueur du
diamètre est égale à 2 fois la longueur du rayon ;
modèle mathématique : D =
R + R ou D = 2R on en déduit que la
longueur du rayon est égal au diamètre divisé par « 2 » : modèle mathématique : R =
D :2 ou R = D / 2 ou
R = |
A PROPOS du nombre
"PI"
pour
« pi » voir dictionnaire de STELLA BARUK.
Le
nombre « pi » est d’environ
3,14 ou ( 22 / 7 ) Sa valeur exacte
est inconnue ............(actuellement l’ ordinateur le plus puissant « au
monde » donne une valeur approchée
a un milliard de décimales prés)
Il
faut savoir que pour tous les disques :le nombre pi ou py ( symbole : p
) est obtenu de deux façons :
Première
façon d’obtenir « pi »:
Le nombre « p »i est égal au rapport de
la longueur du cercle( P) sur la
longueur de son diamètre ( D )ou la longueur du rayon plus le rayon (2R) ;
(puisque D =2R) .
traduction
en langage mathématique :
p
= 
ou
p = 
Deuxième
façon d’obtenir le nombre « pi ».
Le nombre « pi » est obtenu en faisant le
rapport de l’aire du disque ( symbole :Ad) sur le produit du
rayon par le rayon ( ce qui signifie RR
= R2 ; dit aussi
« carré du rayon ».)
traduction en écriture mathématique :
p = 
peut être exprimé en fonction du diamètre (D ) autrement comme D = 2R alors
R = D/2 on peut ainsi écrire que
R2 = (D/2) 2
PUISSANCE niveau II
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Sachant que 
; on
peut transformer 
on peut donc écrire
que p = 
P et D étant exprimés dans la même unité , « pi » n’a pas d’unité ,
Commentaire : Ad
et D2 sont exprimés dans la
même unité ce qui confirme que
"pi" n’a donc pas
d’unité . voir « Puissances
appliquées aux unités en
sciences »
Pi est un nombre constant (appelé
coefficient
de proportionnalité )
Ou
LONGUEUR du cercle :
( se rappeler que p =
)
La longueur
du cercle est égale au périmètre
du disque Pd.
D
Périmètre
du cercle : Pc =
p D
ou sachant que D (Diamètre du cercle = 2 fois le rayon ) on peut aussi écrire que Pc = 2 p R
Application au cas courant :
La longueur du cercle est
égale au produit de pi par la longueur du diamètre.
Modèle
mathématique en fonction du diamètre « D » :
Pd = 3,14 D en fonction du rayon « R » Pd = 3,14
2R
ou ( Pd = 6,28R)
Exercices :
1 )
Calculer la longueur du périmètre du disque de 10 cm de rayon.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,142R et R
=10
b) On remplace dans Pd la
valeur de R : Pd = 3,142 10
c)
Calcul :
3,142 10
= 628
d) Conclusion : la longueur
du périmètre du disque est de 628 cm
2 )Calculer la longueur du périmètre du disque de
10cm de diamètre.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,14D
et D =10
b) On remplace dans Pd la
valeur de D : Pd = 3,1410
c)
Calcul :
3,1410
= 314
d) Conclusion : la longueur
du périmètre du disque est de 314 cm
La mesure de cette surface se ferait après
quadrillage (en mm , ou cm ,ou ...) il suffit de compter le nombre de
« carrés » ;
on
obtient, aussi ,la valeur de cette Aire en utilisant la relation : p
==
Formule
à retenir pour les cas courants:
L’Aire du disque ( Ad ) est égale au produit de « pi » par le
« carré du rayon ».
Modèle mathématique : Ad = 3,14 R2
Exercices types
sur le calcul d’aire :
1 )
Calculer l ‘ aire du disque
de 10 cm de rayon.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2 et R =10 cm
b) On remplace dans Ad la valeur de R : Ad = 3,14 102
c)
Calcul :
3,1410 10
= 314 ; (10cm10
cm donne 100 cm2)
d) Conclusion : l ‘ aire
du disque est de 314 cm2
2 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10 cm de
diamètre.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2 et
D =10 et D = 2 R
à ce niveau deux sont
possibles :
je cherche la
valeur du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je
garde la valeur du diamètre j’applique la « formule » Ad =
3,14 ( D2 / 4) .Les
deux démarches conduisent au même résultat.
b) Je calcule R : R
= 10 :2 ; R= 5 cm
c)
On remplace
dans Ad = 3,14 R2
;
Ad
= 3,14 52
d) Calcul : 3,145 5
= 78,5 ;
( voir puissance 2 , N°68 :
cm 1 cm1
= cm2)
e) Conclusion : l ‘ aire du
disque est de 78,5 cm2
TRAVAUX AUTO FORMATIFS.
Quels sont les termes employés caractérisant une
figure géométrique à un trait « géométrique » ?
(ils sont
au nombres de .........)
Qu’appelle - t- on centre ?
Qu ‘appelle - t - on « cercle » ?
Qu ‘est ce que le « rayon » ?
Qu’est ce que le « diamètre » ?
Qu’est ce qu
‘une « circonférence » ?
Qu’est ce qu’un « disque » ?
A partir de quelle
relation détermine - t- on la valeur de « pi » ? ( il y
en a deux en fonction du diamètre et deux en fonction du rayon ).
Donner la formule qui permet de calculer le
périmètre d’un disque :
a) en fonction du rayon.
b) en fonction du diamètre.
Donner la formule qui permet de calculer l ‘aire
d’un disque :
a)
en fonction du rayon.
b) en
fonction du diamètre.
Niveau
1
1 )
Calculer la longueur du périmètre du disque de 10 cm de rayon.
2 ) Calculer la longueur du périmètre du disque de
10cm de diamètre.
3) Calculer
l ‘ aire du disque de 10 cm de rayon.
4 ) Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de
diamètre.
Niveau
2 :
1 )
Calculer la longueur du rayon. du disque de périmètre : 628 mm
2 ) Calculer la longueur du diamètre du disque de
périmètre égal à 628 mm.
3) Calculer
le rayon d’un disque dont l’aire est
de 1962,5 cm2.
4 ) Calculer le
diamètre d’un disque dont l’aire
est de 3,14 m2
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Problèmes : |
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EVALUATION :CORRIGE
Exercices :
1 )
Calculer la longueur du périmètre du disque de 10 cm de rayon.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,142R et R
=10
b) On remplace dans Pd la
valeur de R : Pd = 3,142 10
c)
Calcul :
3,142 10
= 628
d) Conclusion : la longueur
du périmètre du disque est de 628 cm
2 )Calculer la longueur du périmètre du disque de
10cm de diamètre.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Pd = 3,14D
et D =10
b) On remplace dans Pd la
valeur de D : Pd = 3,1410
c)
Calcul :
3,1410
= 314
d) Conclusion : la longueur
du périmètre du disque est de 314 cm
3 )
Calculer l ‘ aire du disque
de 10 cm de rayon.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2 et R =10 cm
b) On remplace dans Ad la valeur de R : Ad = 3,14 102
c)
Calcul :
3,1410 10
= 314 ; (10cm10
cm donne 100 cm2)
d) Conclusion : l ‘ aire
du disque est de 314 cm2
4 )Calculer l ‘ aire du disque de 10cm de diamètre.
Corrigé :
a )inventaire de ce que je connais : Ad = 3,14 R2 et
D =10 et D = 2 R
à ce niveau deux sont
possibles :
je cherche la valeur
du rayon et j’applique cette valeur dans la « formule » ou je garde
la valeur du diamètre j’applique la « formule » Ad = 3,14
( D2 / 4) .Les deux
démarches conduisent au même résultat.
b) Je calcule R : R
= 10 :2 ; R= 5 cm
c)
On remplace
dans Ad = 3,14 R2
;
Ad
= 3,14 52
d) Calcul : 3,145 5
= 78,5 ;
( voir puissance 2 , N°68 :
cm 1 cm1
= cm2)
e) Conclusion : l ‘ aire du
disque est de 78,5 cm2