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Cours : plan et droite dans le plan
Les perpendiculaires
Point -ligne -plan -  et  « Plan 1 » et « plan 2 »

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT : : 1°) les parallélépipèdes rectangles. 2°) axiomes : point droite  plan.

COURS

APRES : 1°) le parallélisme

Complément d’Info : Sommaire : Géométrie dans l’espace

TITRE :        L’ ORTHOGONALITE

I )   Orthogonalité de deux droites

II)   Orthogonalité de droites et de plans

III) Plans perpendiculaires

Travaux ; devoirs				Corrigé
TEST	Contrôle	évaluation		Contrôle	évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)
F	H	Géo.	Vie quotidienne et vie familiale	Autres :	Sciences et technique	Physique Chimie Electricité	Statistique.

COURS

 

 

I ) Orthogonalité de deux droites

 

1°)Définition

  Sur l’ensemble  des droites de l’espace , on définit une relation appelée orthogonalité , notée  ^  et possédant les propriétés suivantes :

a)Propriété 1

Quels que soient la droite D et le point  A non situé sur « D » , il existe dans le plan défini par « A » et « D » une droite D et une seule contenant le point « A » et elle est  dite « orthogonale » à la droite « D » .

 

   b) propriété 2 :

 

Si deux droites D et D sont coplanaires et si D est orthogonale à D , alors D et D sont sécantes  et D est orthogonales à D .

 

c) Propriété 3

 

Si une droite est orthogonale à la droite D1 est parallèle à la droite    D2   alors la droite D est orthogonale à la droite D2 .

Remarque :      deux droites orthogonales coplanaires sont dites perpendiculaires.

 

2°) Propriétés .

 

a) Droites d’un plan orthogonales à une même droite de ce plan.

 

Soit deux droites D1 et     D2  du plan orthogonales à la droite D de P ; montrons que D1 et     D2   sont parallèles. Si l’on avait D1 et     D2  sécantes en A , il existerait deux droites orthogonales à D et contenant le point A , ce qui est contraire à la propriété 1.

 

On énonce : Dans tout plan , deux droites orthogonales à une même droite de ce plan  sont parallèles .

 

b) Droites contenant un point et orthogonales à une droite donnée.

 

 

Soit une droite D  et un point A .

b1) Si A appartient à D , dans tout plan contenant D , il existe une droite et une seule orthogonale à D et contenant A . Comme il y a une infinité de plans contenant D , il y a une infinité de droites orthogonales à D et contenant A .

 

 

 

b2) Si A n’appartient pas à D , on considère la droite D’ contenant A et parallèle à D . Toute droite orthogonale à D’ est orthogonale à D. On est alors ramené au problème précédent.

 

On énonce :  Il existe une infinité de droites orthogonales à une droite données et contenant un point donné .

 

II) Orthogonalité de droites et de plans

 

3°) Droites orthogonales  à une droite D  en un point A de D

 

Considérons deux telles droites D₁  et D₂  . Elles définissent un plan P.

On démontre et on admettra  que la droite D est orthogonale à toutes les droites du plan P.

 

Conséquence :

Soit une droite D rencontrant un plan P en A et orthogonale à deux droites D’1 et D’2   du plan P sécantes en A’. La droite D est orthogonale aux droites D1 et D2 parallèles respectivement à D’1 et D’2 et contenant A ; elle est donc orthogonale à toute droite du plan P

On énonce : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan .

 

b) précisons ces droites :

 

Supposons qu’il existe une droite D contenant un point A, orthogonale à D et non situé dans le plan P. Les droites D et  D définissent un plan « Q » qui coupe le plan P suivant une droite D’ contenant A. Or D’ est orthogonale à D. Dans le plan Q il existerait alors deux droites distinctes D et D’ orthogonales à D et contenant  A, ce qui est impossible.

On en déduit : L’ensemble des droites orthogonales à la droite D et contenant le point A de D est l’ensemble des droites du plan P  ( défini par D₁ , et D₂) contenant A.

 

c) définition . Une droite est dite « orthogonale » (ou perpendiculaire) à un plan si elle est orthogonale à tous les points de ce plan.

 

Les résultats précédents permettent d’énoncer :

 

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si  elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

 

Le plan et la droite  sont dits « perpendiculaires »

 

4°) Propriétés :

 

On démontre et on admettra  les résultats suivants :

d1°) si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l’autre.   La droite D est perpendiculaire à la direction de plans représentée par P.

 

d2°)Si deux droites sont parallèles , tout plan perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

le plan est dit perpendiculaire à la direction représentée par l’une des droites .

 

5°) Problème :

Etude d’une droite orthogonale à un plan P et un point O  (contenu ou pas)

 

 

a)       le point O appartient au plan P

 

Soit dans le plan « P » une droite « D » contenant le point O puis le plan « Q » perpendiculaire à « D » et contenant « O ». Le plan Q est distinct du plan P et coupe P suivant une droite D’ contenant O. Soit  dans Q  la droite D orthogonale à D’ et contenant le point O . La droite D étant orthogonale aux deux droites sécantes D et D’ du plan P est perpendiculaire au plan P.

 Cette droite D est unique .

En effet , s’il existe une autre droite D’ perpendiculaire en O au plan P , celle-ci détermine avec D  un plan R qui coupe le plan P suivant une droite D’’. Cette droite D’’ du plan R est alors perpendiculaire aux deux droites D et D’ concourantes de R , ce qui est impossible .

 

b)       le point O n’appartient pas au plan P.

 

Il suffit de considérer le plan P’ , parallèle au plan P et contenant le point O.

Théorème : Il existe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné et contenant un point donné.

 

6°) Problème

 

Théorème des trois perpendiculaires

 

Si la droite  (OA) est orthogonale à une droite D du plan P ( A appartenant à D ; O n’appartenant pas à P )   et si la droite ( OH) est orthogonale à P ( H appartenant à P) alors la droite ( AH) est orthogonale à la droite D.

 

Explication : soit le plan P contenant une droite D et un point O n’appartenant pas à P . Soit la droite ( OH) perpendiculaire au plan P et la droite ( OA) perpendiculaire  à la droite D  . La droite D perpendiculaire  à     ( OA) et orthogonale à ( OH) est perpendiculaire au plan défini par les droites (OA) et (OH)  donc perpendiculaire à la droite ( AH) de ce plan.

 

III Plans perpendiculaires.  ( info rappel)

 

On note   :    P ^ Q  et on lit «  P perpendiculaire à Q »

 

Définition :  Un plan Q est dit perpendiculaire à un plan P , s’il contient une droite  D orthogonale  au plan  P .

8°) Propriété

Démontrons que si le plan Q  est perpendiculaire au plan P , alors le plan P est perpendiculaire au plan Q.

 

La droite D de Q orthogonale à P coupe le plan P au point  O et le plan Q coupe  le plan P suivant une droite D contenant O .

 

 

Considérons la droite D’ du plan P contenant O et orthogonale à D . La droite D orthogonale à P est orthogonale à la droite D’ de P .

 

Ainsi :  D’ ^ D   et   D’^  D.

 

La droite D’ orthogonale à deux droites sécantes de Q est donc orthogonale au plan Q.

On énoncera :

 Le plan P contenant la droite D’ orthogonale au plan Q est donc perpendiculaire au plan Q .

 

Remarque :  On pourra alors dire que les plans P et Q sont perpendiculaires.

 

9°) Conséquence et application :

 

a)       conséquence  .   On a établi précédemment  que la droite D’ incluse dans le plan Q et perpendiculaire à l’intersection D des plans P et Q est  perpendiculaire au plan Q.

 

On énoncera :

                       Si deux plans sont perpendiculaires, toute perpendiculaire à leur intersection incluse dans un des plans est perpendiculaire à l’autre plan.

 

b)       Application .

Soit deux plans P et Q perpendiculaires au plan R et un point A de l’intersection des plans P et Q

                              La droite D du plan P qui contient A et qui est perpendiculaire à l’intersection des plans  « P » et « R » est perpendiculaire au plan « R ».  (Conséquence « a ») .

                            De même, la droite D’ du plan Q qui contient le point A et qui est perpendiculaire à l’intersection des plans Q et R est perpendiculaire  au plan R.

 

Comme il existe une seule droite contenant A et perpendiculaire à R , les droites D  et  D’  sont confondues ; il s’agit donc de l’intersection des plans P et Q .

 

On énonce :

  Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même troisième , leur intersection est perpendiculaire à ce troisième plan .

 

 

CONTROLE:

 

1°)Trouver des exemples concrets de droites perpendiculaires , de droite et plan perpendiculaire , de plans perpendiculaires (orthogonaux )

 

 

 

EVALUATION:

 

1°) Droite et perpendiculaires.

Une droite D est orthogonale à deux droites D₁ et D₂  parallèles à un plan P mais non parallèles entre elles. Démontrer  que D est perpendiculaire à P.

 

2°) Plans perpendiculaires.

Un plan Q est perpendiculaire à une droite contenue dans un plan P . Démontrer que le plan Q est perpendiculaire au plan P.