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WARMATHS |
Les Parallélogrammes
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- Définitions.
- Propriétés des parallélogrammes.
- Cas particuliers:
- Calcul de l'aire (voir Aires)
- Cercles.
Définitions:
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Le parallélogramme ci-dessus peut être noté de huit façons:
ABCD, BCDA, CDAB et DABC en "tournant" dans le sens des aiguilles d'une montre
ADCB, DCBA, CBAD et BADC en "tournant" dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Attention: La notation ACBD n'est pas correcte pour le parallélogramme ci-dessus. Si les points A, B, C et D restent fixés à la place qu'ils occupent sur la figure ci-dessus, la figure désignée est celle représentée ci-dessous: nous avons un quadrilatère "croisé". Pour que la notation soit correcte il faudrait "échanger" les places des points B et C ou A et D...
Deux sommets sont consécutifs lorsqu'ils sont lus dans le même sens sans en oublier: A et B sont consécutifs, A et C ne le sont pas.
Les côtés opposés sont: [AB] et [DC] d'une part, [AD] et [BC] d'autre part.
Les sommets opposés sont A et C d'une part, B et D d'autre part.
Propriétés des parallélogrammes:
Les côtés opposés sont de même longueur deux à deux (ce qui signifie que tous les côtés n'ont pas forcément la même longueur).
Les diagonales se coupent en leur milieu. (sur la figure ci-dessous les diagonales sont [AC] et [BD] ). Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme.
Les médianes (en bleu sur la figure) se coupent en leur milieu qui est aussi le point d'intersection des diagonales. Chaque médiane est parallèle à deux côtés du parallèlogramme. La longueur d'une médiane est égale à la longueur de l'un des côtés auquel elle est parallèle.
Les hauteurs (en vert sur la figure): les hauteurs issues de A et de B ont la même longueur deux à deux h1 et h2. Ce qui explique que nous pouvons calculer l'aire d'un parallélogramme de deux façons: DC x h1 et AD x h2 .
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Les angles opposés sont de même mesure deux à deux. Par exemple dans le parallélogramme ABCD, les angles BAD et BCD ont même mesure. Remarques:
La précision "deux à deux "est importante: elle signifie que tous les angles n'ont pas forcément la même mesure.
Les angles opposés sont des angles dont les sommets sont opposés (donc des sommets différents: rien à voir avec les angles opposés par le sommet!!).
Les angles consécutifs sont supplémentaires.
Cas particuliers:
Le terme de parallélogramme désigne en fait une grande famille de quadrilatères aux nombreuses propriétés. Les liens de parenté qui unissent ses membres doivent être parfaitement connus.
Le rectangle: est un quadrilatère qui possède 4 angles droits. Pour le démontrer il suffit de connaître trois angles droits. Nous pouvons aussi utiliser le fait que c'est un parallélogramme qui possède (voir diagramme ci-dessous):
Deux côtés perpendiculaires (ou un angle droit).
Ou
Deux diagonales de même longueur.
Les médianes du rectangle en
sont les axes
de symétrie. Le point d'intersection des diagonales
est un centre
de symétrie pour le rectangle.
Le losange: est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Ou encore: c'est un parallélogramme qui possède (voir diagramme ci-dessous):
Deux côtés consécutifs de même longueur;
Ou
Deux diagonales perpendiculaires.
Les diagonales du losange en
sont des axes
de symétrie, leur intersection en est le centre de symétrie.
Le carré: est un quadrilatère qui est à la fois rectangle et losange. Il en possède donc toutes les propriétés. Les deux médianes ont la même longueur que les côtés.
Le diagramme ci- dessous doit pouvoir vous aider à mémoriser les propriétés qui distinguent ces cas particuliers:
Commentaires:
Les propriétés utilisées s'appliquent aux côtés ou aux diagonales. Les propriétés concernant les côtés sont sur fond jaune, celles concernant les diagonales sont sur fond bleu-vert (cyan).
Les nombres 1, 2 et 3 sur fond bleu indique un "niveau d'héritage". Par exemple:
Le niveau 3 est le niveau qu'il faut atteindre pour obtenir un carré (c'est le quadrilatère qui hérite de toutes les propriétés).
Le niveau 2 est le niveau à atteindre pour obtenir un losange ou un rectangle.
Le niveau 1 est celui qu'il faut atteindre pour obtenir un parallélogramme.
L'utilisation de ce diagramme est simple:
Vous commencez au niveau 1 et vous vérifiez que l'une des propriétés est connue. Si oui vous savez que votre quadrilatère est un parallélogramme; sinon il vous faut démontrer l'une des propriétés. Parvenu au niveau 1 vous pouvez poursuivre de la même façon pour parvenir au niveau 2, puis au niveau 3 (si c'est possible, tout dépend des données du problème à résoudre).
La règle unique est: suivre les flèches sans jamais rebrousser chemin!
Remarque:
Comme le carré est un losange qui est un rectangle, vous pouvez démontrer d'abord que c'est un losange puis un rectangle ou d'abord que c'est un rectangle puis un losange. Tout dépend du chemin que vous suivez dans le diagramme.
Cercles:
Circonscrit: (passant par les quatre sommets)
De tous les parallélogrammes seuls le carré et le rectangle possèdent un cercle circonscrit. Cela provient du fait qu'ils sont les seuls à posséder des diagonales de même longueur se coupant en leur milieu. Le cercle circonscrit a donc pour diamètre la longueur d'une diagonale et pour centre le milieu commun à ces deux diagonales.
Inscrit: (tangent aux quatre côtés)
Ce cercle doit être tangent aux quatre côtés. Ce qui n'est possible que si nous trouvons un point (qui est le centre de ce cercle) équidistant de ces côtés.
Dans le carré un tel point existe: c'est le milieu commun aux médianes (considérées ici comme segments). Comme ce point est aussi le milieu des diagonales alors le cercle inscrit et le cercle circonscrit ont même centre (mais de diamètres différents: le diamètre du cercle inscrit est une médiane).
© Lallet Gérard 1998
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