Exemples de résolutions de problèmes avec les systèmes d'équations

Problème 1 :

Un voyageur part à 8 h , sur une bicyclette à moteur , de la ville A pour la ville B ; sa vitesse est de 30 km / h. Une automobile quitte A pour B à 10 h , à la vitesse de 50 km / h .Trouver l’heure de la encontre et la position du point de rencontre.

1°) Solution algébrique :

Nous prendrons pour unité de temps l’ heure et pour unité de longueur le kilomètre.

Soient « x » le temps mis par le cycliste pour aller de A au point de rencontre et « y » la distance de A au point de rencontre.

La distance parcourue par le cycliste est y = 30x et la distance parcourue par l’auto est : y = 50 ( x – 2 )

Résolution du système :

On a 30 x = 50 ( x –2 )

20 x = 100

x = 5

on en tire : y = 305 = 150

Conclusion : l’auto rattrape donc le cycliste 5 h après le départ du cycliste , c’est à dire , à 13 h et à 150 km de A .

Solution graphique .

Prenons , comme ci dessus , pour origine des temps , 8 h du matin , et pour origine des distances le point A.

Les mouvements des deux mobiles se traduisent , d’après la formule des distances par les équations :

ou :

Représentation graphique des deux fonctions :

Les deux droites se coupent en un point I dont l’abscisse « x » = 5 indique le temps au bout duquel a lieu la rencontre , 5 h après l’origine , soit

8 + 5 = 13 h

l’ordonnée y = 150 du point I donne la distance (en km ) du point A au point de rencontre.

pbexo1

Remarque . la droite représentant le mouvement d’un mobile peut être construite sans qu’il soit nécessaire d’ écrire l’équation de cette droite. Ainsi pour représenter graphiquement le mouvement du cycliste , on peut placer le point O de coordonnées ( 0 ; 0 ) (au temps 0 ,cycliste est au km 0) et le point de coordonnées ( 1 ; 30 ) au temps 1 , le cycliste est au km 30 ) il suffit de joindre OP.

Cette méthode est appliquée au problème suivant.

Problème 2 .

Deux villes M et N sont distantes de 15 km .Un piéton par de M à 16 h et marche dans la direction de N à la vitesse de 6 km / h . Tous les 3 km , il se repose pendant 10 min .Un cycliste part de N à 16h 10 min et roule dans la direction de M à 15 km / h ; victime d’une crevaison à 16 h 30 min , il s’arrête 15 min pour réparer . Il termine le parcours à la vitesse de 20 km / h . Etablir les graphiques des mouvements du piéton et du cycliste . Déterminer l’heure de la rencontre et la distance du point de rencontre à la ville M.

(Echelle des temps : 1 cm pour 10 min ; échelle des distances : 1 cm pour 2 km .)

Solution graphique :

On prend pour origine des temps 16 h (instant 0 ) et pour origine des distances la ville M

1°) graphique du mouvement du piéton :à 16 h , le piéton est en M (point 0 du graphique , x = 0 , y = 0 ) . A 16h 30 min le piéton a parcouru 3 km (point A du graphique , x = 30 , y = 3 ) . A 16 h 40 min , le piéton ,qui s’est arrêté pendant 10 min , est toujours à 3 km de M ( point B du graphique , x= 40 , y = 3 )

les périodes de marche se traduisent sur le graphique par des segments également inclinés sur Ox et les arrêts par des segments parallèles à cet axe .

pbex2

Rappel : « Solutions du système » ou « racines »

Pré requis:

Info : Système d’équations (définition)

Compétences :Savoir transformer l’équation a x + by + c = 0 en une équation de la forme : y = ……
Savoir tracer une droite d’équation y = a x + b dans un repère orthonormé.

ENVIRONNEMENT du dossier:

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Info

Exemples d’applications des SYSTEMES de deux EQUATIONS du PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES.



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