1°)  Addition algébrique

2°)  Réduction des termes semblables.

3°)  Transformation et calcul :     Addition d’expressions algébriques (polynômes)  pour devenir  une somme algébrique de polynômes entiers  en « x ». (simplification ; ordonnation ; …)

Nous avons déjà vu comment on indique, par signes, l'addition, la soustraction, la multiplication division des quantités algébriques, et c'est l'emploi de  ces signes qui a donné naissance aux expressions littérales   que nous avons appelées monômes et polynômes . Mais ces quantités littérales elles-mêmes, avec leurs signes, leurs lettres, leurs coefficients et leurs exposants  sont soumises à leur tour aux quatre opérations fondamentales, d'après des règles qui constituent le calcul  algébrique.

Ces opérations rappellent en général mômes idées qu'en arithmétique, et comportent mêmes définitions.

1°)   Addition algébrique

REGLE : . Pour additionner les quantités algébriques , il suffit de les écrire les unes à la suite des autres en conservant à chaque terme le signe qui le précède

Soit, par exemple, à ajouter au monôme 3a⁹    binôme   b — c, on aura pour somme :   3a⁹ + b -  c.

Démonstration.     En effet, si à 3a⁹  on voulait  ajouter b ; on écrirait évidemment 3a⁹ + b ; mais cette somme est plus grande que celle qu'on demande de toute la valeur de c: il faut donc en retrancher cette dernière quantité et poser comme ci-dessus     3 a ²   + b -  c.

Ce raisonnement, qu'on peut appliquer à tout autre exemple, confirme la règle donnée précédemment.

On trouvera donc, d'après cette règle, que la somme des trois polynômes :    7 a b² ; 5 ab² - 2 a ; a m² - n² + 6 n

  est  égale à   :    7 a b²  +    5 ab² - 2 a  +  a m² - n² + 6 n 

pour mieux comprendre :  il faut  le résultat, il faut   transformer les polynômes en termes algébriques (non simplifiés) et poser lai somme algébrique :  ( revoir : expression et somme algébrique)

   7 a b²  devient :  ( + 7 a b² )

  ; 5 ab² - 2 a  devient      ( 5 ab²) + ( - 2 a )

  ; a m² - n² + 6 n  devient   ( + a m²) + (  - n²) + ( + 6 n)

ensuite faire la somme :   ( + 7 a b² ) + ( 5 ab²) + ( - 2 a ) +( + a m²) + (  - n²) + ( + 6 n)   

ce qui donne après simplification , l’expression algébrique : 7 a b²  +    5 ab² - 2 a  +  a m² - n² + 6 n   (voir ci-dessus)

 2°)  Réduction des termes semblables.  ( revoir : factoriser )

Dans une  addition   algébrique on rencontre souvent des termes semblables, et alors il y a lieu d'effectuer l'opération qu'on appelle réduction, laquelle consiste à réunir ces termes semblables en un seul.

Ainsi, par exemple, 5a² b +  8 a² b   revient évidem­ment à  13  a² b  

De même, le polynôme    7 a b ³    +  10  a b ³    - 13   a b ³      est égal à   4  a b ³    ( revoir : factoriser )

Enfin   2 ax – 9 ax +6 ax – ax    égale d'abord  8ax —  10 ax, et se réduit ensuite à  - 2 ax.

On voit, par ces exemples, que la réduction ne porte que sur les signes et sur les coefficients ; on peut donc énoncer ainsi la règle

Pour opérer la réduction des termes semblables dans un polynôme, il faut d'un côté réunir en un seul tous ceux qui sont positifs, de l'autre tous les négatifs, ensuite retrancher le plus petit coefficient du plus grand numériquement, et donner au reste le signe du plus grand.

Info pratique : Pour éviter toute erreur dans cette opération, on est dans l'habitude de bâtonner les termes semblables à mesure qu'on les réunit.

Remarque I. L'ordre des termes dans un poly­ nôme est indifférent ; ainsi, l'on peut écrire également  8 a² b +  4 b ³  +  2 a ³ – 5 a b² , ou    2 a³ +   8 a² b – 5 a b² +  4 b ³        ; cependant il vaut mieux disposer  les termes de manière que les exposants d'une même lettre aillent en croissant ou en décroissant : c'est ce qu'on appelle ordonner   le polynôme ; quelquefois même c'est indis­pensable. Le polynôme ci-dessus écrit de la manière suivante:   2 a³ +   8 a² b – 5 a b² +  4 b ³        , est ordonné par rapport aux puissances décroissantes de a et d'après les puissances croissantes de b.

Remarque II. Au lieu d'effectuer l'addition de plusieurs polynômes, on se borne quelquefois à l'indi­quer en renfermant chacun d'eux entre deux paren­thèses ( )  ou entre deux crochets [ ], et en  les réunissant  les uns aux autres par  le signe +.

Ainsi l'addition des trois polynômes :

 « 2a³ — 9b ² » ;  «  — 7a³ + 5 ab² »  ;   « 3a³— 8 b³ + 4 »  est indiquée comme il suit : ( 2a³ — 9b ² ) + (  — 7a³ + 5 ab² ) + ( 3a³— 8 b³ + 4 )

Remarque III. Quand on écrit plusieurs polynômes dont ou veut faire l'addition et qu'ils contiennent des termes semblables, il est avantageux de les disposer les uns au-dessous des autres, de manière que les termes semblables soient dans une même colonne, parce que la réduction est plus facile; ainsi, pour additionner les trois polynômes suivants, on  les disposera de la sorte :

12a³

— 9b ²

- 7a³

+ 5 ab²

+    b ³

3a³

—  6 a b²

-    8 b³

+   4

Somme :….

8 a³

—  10 a b²

-  7 b³

+ 4

3°)  Addition d’expressions algébriques (polynômes)  pour devenir  une somme algébrique de polynômes entiers  en « x ». (simplification ; ordonnation ; …)

Les polynômes donnés sont écrits entre parenthèses , à la suite les uns des autres, les parenthèses étant précédées du signe de l’opération ( addition ou soustraction) à effectuer.

Procédure :

1°) supprimer les parenthèses.

2°) Réduire les monômes semblables , en même temps on réalise l’ordonnation.

Exemple :On donne 3 polynômes : P ; P ‘ ; P ’ ’

P =   - 3 x 4 + 8 x² - 5 x + 3

P ‘   =  11 x ⁵ +  14 x ⁴  - 7 x² + 13

P ‘’  =  15 x ⁵  - 12 x ³ + 8 x² + 4 x

3°) On demande de réaliser     A  =  P -   P ‘ +   P ’ ’

  Solution :

  A  =  (  - 3 x ⁴ + 8 x² - 5 x + 3 )  -  (11 x ⁵ +  14 x ⁴  - 7 x² + 13 )  +  (15 x ⁵  - 12 x ³ + 8 x² + 4 x )

  A  =   ( - 3 x ⁴ ) + ( + 8 x² ) + ( - 5 x ) + (+ 3 ) +  ( -  11 x ^{5 )} +  ( -14 x ⁴ ) + ( + 7 x² )+ ( -13 )  +  (15 x ⁵ )+ ( - 12 x ³ ) + ( + 8 x² ) + (+ 4 x )

On réduit et on ordonne  ( ce sont des opérations simultanées)

 :

   A =   ( + 4 x ⁵ ) + (  - 17 x ⁴ ) + (  - 12 x ³ ) + (  + 23 x² ) + ( - x  ) + ( – 10 )

La somme algébrique ,   peut se  transformer en expression algébrique :

A =    + 4 x ⁵  - 17 x ⁴  - 12 x ³  + 23 x² - x – 10

1°) Additionner les polynômes (7 a — 6b) et (5 a² - b ³ + c)

R ; = 7 a — 6b + 5 a² - b ³ + c ;……………..(on ne demande pas d’ordonner)

2°) Ajouter 13 am²   - 9a² m  + a ³   avec   7a ²   m .+  5 am³ — a ³  b.

R : 13 am²   + a ³    +  5 am³ — a ³  b  - 2 a² m 

3°) Faire la somme des trois polynômes suivants :

- 4 a b³ 

+ 6 a² b²

- 15 a ³   b

+ 9 a ⁴

   7a b ³

- 11 a² b²

-    9 a ³  b

 -    a b ³

+ 8  a² b²

+ 22 a ³  b

+ 9

  + 2 a b³ 

  + 3 a² b²

 -   2 a ³   b

+ 9 a ⁴

+ 9

4°)  Ajouter les polynômes .

  8 a²

- 2 b²

-  a²

+ 7 c²

+2

  ab

+ 2 b²

+4c²

  8 a²

- 2 b²

-  a²

+ 7 c²

 +2

      ab

+ 2 b²

+4c²

7 a²

      *

+ 0 b²

+ 11 c²

**

4°) Additionner :   a +  avec a  -

R = 2a

5° ) Trouver une expression qui surpasse « a »  d'autant d'unités  qu'il y en « a »  dans « b »

E =  a + b – a  ( ?)

6°) On met dans une bourse d'abord une somme « n », ensuite une autre somme « b » , et plus tard on en retire une somme « c » ; que reste-t-il dans la bourse?

«reste =  n + b – c » 

7°) En désignant par « x » l'âge d'une personne, on demande d'exprimer l'âge qu'elle aura dans 15 ans.

Age =  x + 15

8°) On achète de l'étoffe pour « a » euros  une premiers fois, et l'on renouvelle ensuite la même dépense pendant quatre fois encore ; on demande d'exprimer la somme totale dépensée

  R =  a + 4 a       =  5 a

9°) Le grand côté d'un rectangle surpasse de « a »  mètres le plus petit en représentant par « x »  ce petit côté ; quelle est l'expression du contour de ce rectangle ?

P =  2x + 2 ( x+ a )

1°) Additionner les polynômes (7 a — 6b) et (5 a² - b ³ + c)

R ; = 7 a — 6b + 5 a² - b ³ + c ;……………..(on ne demande pas d’ordonner)

2°) Ajouter 13 am²   - 9a² m  + a ³   avec   7a ²   m .+  5 am³ — a ³  b.

R : 13 am²   + a ³    +  5 am³ — a ³  b  - 2 a² m 

3°) Faire la somme des trois polynômes suivants :

- 4 a b³ 

+ 6 a² b²

- 15 a ³   b

+ 9 a ⁴

   7a b ³

- 11 a² b²

-    9 a ³  b

 -    a b ³

+ 8  a² b²

+ 22 a ³  b

+ 9

  + 2 a b³ 

  + 3 a² b²

 -   2 a ³   b

+ 9 a ⁴

+ 9

4°)  Ajouter les polynômes .

  8 a²

- 2 b²

-  a²

+ 7 c²

+2

  ab

+ 2 b²

+4c²

  8 a²

- 2 b²

-  a²

+ 7 c²

 +2

      ab

+ 2 b²

+4c²

7 a²

      *

+ 0 b²

+ 11 c²

**

4°) Additionner :   a +  avec a  -

R = 2a

5° ) Trouver une expression qui surpasse « a »  d'autant d'unités  qu'il y en « a »  dans « b »

E =  a + b – a  ( ?)

6°) On met dans une bourse d'abord une somme « n », ensuite une autre somme « b » , et plus tard on en retire une somme « c » ; que reste-t-il dans la bourse?

«reste =  n + b – c » 

7°) En désignant par « x » l'âge d'une personne, on demande d'exprimer l'âge qu'elle aura dans 15 ans.

Age =  x + 15

8°) On achète de l'étoffe pour « a » euros  une premiers fois, et l'on renouvelle ensuite la même dépense pendant quatre fois encore ; on demande d'exprimer la somme totale dépensée

  R =  a + 4 a       =  5 a

9°) Le grand côté d'un rectangle surpasse de « a »  mètres le plus petit en représentant par « x »  ce petit côté ; quelle est l'expression du contour de ce rectangle ?

P =  2x + 2 ( x+ a )