résumé du vocabulaire et graphiques en statitique. niveau 5

Leçon

 

N°13

LES  Caractéristiques d’une série statistique :

RESUME :  VOCABULAIRE  et  LES CALCULS DE BASE en STATISTIQUE

 

Rappel

« série statistique »

 

 

Lorsque la variable étudiée  ( les  xi )  peut prendre différentes valeurs . Si elles sont nombreuses elles sont réparties en classes.

 

Nous savons que l’amplitude d’une classe est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la classe.

 

L’effectif d’une classe (notée : f i )  est le nombre de cas où la valeur de la variable est comprise dans la classe . ( voir  le segment semi ouvert  tel que la borne « a » est incluse et « b » est exclue)

 

 

 

1 -

Fréquence : On appelle « fréquence d’une classe »  (noté  fi ) :  le rapport entre l’effectif de la classe  ( noté : ni  )   et l’effectif total. ( noté : N)

Question 1

Qu’appelle –t-on fréquence ?

 

 

 

 

 

Info.  cours : la fréquence peut être exprimée  par  2 valeurs : sous la forme d’un nombre décimal (inférieur à 1) et ou sous la forme d’un « pourcentage »

 

cas 1  : 

Cas 2 =   ;  

 

 

 

 

2 _

Effectifs Cumulés Croissants

 

 

L’effectif cumulé croissant de la première classe est égal à son effectif .

Exemple :

Question 2

Traduire :   E. C.C.

Classe

effectif

 ECC

Question  3

A quoi est égal L’ECC d’une classe ?

Cl 1

7

              7

 

L’ ECC d’une classe  est égal à L’ ECC de la classe précédente plus l’effectif de la classe.

Cl 2

17

(17+7)     24

 

Remarque 1  :  L’ ECC de la dernière classe est égal à l’effectif total.

Cl 3

34

(24+34)  58

 

Remarque 2 : L’ ECC de la classe  [a ; b [  (segment semi ouvert)  est le nombre de cas où la variable est inférieur à « b » .

Cl 4

12

             70

 

 

 

70

(= 70)

3 _

Effectifs Cumulés Décroissants

Exemple :

Question 4

A quoi est égal le  ECD de la première classe

Classe

Effectif

E D  C

 

Le  E.C.D  de la première classe est égale à l’ effectif total .

Cl 1

7

                70

 

Remarque 1 : l’ E.C.D.  d’une classe est égal à l’effectif cumulé décroissant de la classe précédente  moins l’effectif de la classe.

Cl 2

17

(70 – 17) = 53

 

L’ E.C.D.  de la dernière classe est égal à son effectif.

C l 3

34

(53 – 34) = 19

 

L’E.C.D.  de la classe [ a ; b [ est le nombre de cas où la variable est supérieure à « a ».

C l4

12

(19-12) =    7

 

 

 

4 _

Le mode

Exemples

Question 5

a) Série discontinue

 

Dans une série discontinue , le mode est la valeur dont l’effectif est le plus élevé.

xi

ni

 

 

Dans une série continue , la classe modale est la classe dont l’effectif est le plus élevé.

X1

12

 

 

 

X2

36

 

 

 

X3

47

Mode

 

 

X4

23

 

 

 

b) Série continue :

 

 

Classe

ni

 

 

 

Cl 1

4

 

 

 

Cl2

17

 

 

 

Cl 3

36

Classe modale

 

 

Cl 4

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LA  MOYENNE :

 

 

Ce calcul concerne le calcul de la moyenne des valeurs pondérées par les effectifs.

 

 

Dans une série continue (constitution de classe )  ,il faut d’abord calculer le centre de chaque classe :  « xi »

Classe

Effectif « ni »

Centre de classe « xi »

Calculs des produits:

« n xi »

 

Nous désignons par «  ni » l’effectif de chaque classe.

[0 ; 10 [

8

 

 

 

Procédure de calcul (étapes) :

[10 ; 20 [

9

 

 

 

1°) Compléter la colonne des centres de classe : « xi »

[20 ; 30 [

16

 

 

 

2°) Calculer  le produit « n xi » de chaque classe.

[30 ; 40 [

9

 

 

 

3°) Calculer la somme des calculs des « n xi » ; que l’on note en mathématique  :

[40 ; 50 [

8

 

 

 

4°) Calculer le quotient « m » :

Total  ()

50

 

 

 

 

 

 

  que nous voyons écrit aussi :

Calcul de la moyenne :

 

 

 

 

Médiane par le graphique.

 

 

 

 

 

La médiane est la valeur du caractère (de la  variable) tel que la moitié de l’effectif ait une valeur inférieure ou égale.

 

 

Classe

Effectif « ni »

ECC

 

 

On peut la déterminer à partir de la Courbe des Effectifs Cumulés croissants.

[0 ; 10 [

8

8

 

 

 

[10 ; 20 [

9

17

 

 

 

 

 

 

 

 

[20 ; 30 [

16

33

 

 

 

 

 

 

 

 

[30 ; 40 [

9

42

 

 

 

 

 

 

 

 

[40 ; 50 [

8

50

 

 

 

 

 

 

 

 

Total  ()

50

 

 

 

stat_diagr_circ013_b

 

 

1°)  Détermination des coordonnées des points.(permettant de tracer les segments…)

 

 

Point O

 

 

Point A

 

 

 

Abscisse

0

Valeur de  début Classe de la     [0 ; 10 [

 

10

Valeur de Fin de Classe de la     [0 ; 10 [

 

 

Ordonnée

0

Effectif  de départ

 

8

Effectif correspondant à la limite supérieure de la classe [0 ; 10 [

 

 

 

 

Et ainsi de suite :   Point B :   ( 20 ; 17  )   ;   Point C ( 30 ; 33) ; Point D ( 40 ; 42) ; Point E  ( 50 ;50)

 

2°) Représenter les sur le graphique  (voir ci dessous) 

 

 

 

 

 

3°)   et joindre ces points. Nous obtenons la courbe des effectifs cumulés croissant.

 

Cliquez sur l’image pour agrandir…

 

 

stat_diagr_circ014

 

 

3°)  Tracer les segments  (joindre les points.)

 

 

stat_diagr_circ015

 

 

 

 

 

4°)    Tracer une droite « horizontale » dont le départ est égale à la moitié de l’effectif ( ici : 25.)

 

C’est une  droite parallèle à l’axe des abscisses  ( dit aussi droite y= 25)

la moitié de l’effectif  est aussi appelé : effectif médian.

L’effectif médian correspond à 50% de l’effectif total est il de calcul :

 

 

L’intersection de cette droite et la courbe des E.C.C  donne un point qui permet de lire la valeur telle que la moitié de l’effectif a une valeur inférieure ou égale. C’est la « médiane »

 

stat_diagr_circ_mediane016

 

 

Remarque : le point d’intersection des  deux courbes polygone des effectifs cumulés croissante et polygones des effectifs décroissants définit les coordonnées du point médian de la série statistique étudiée.

 

 

Info ++

L’Ecart moyen  arithmétique .

 

Procédure (étapes de calculs)

 

 

 

1°) Calculer la moyenne de la série statistique.

 

 

 

Pour chaque valeur de la variable (valeur du caractère) ,on calcule la valeur absolue de l’écart par rapport à la moyenne.

   que vous voyons écrit aussi :

 

 

 

)Calculer  les distances :   ;   ;  ;…………

 

 

 

3°) Multiplier chaque distance ;par l’effectif correspondant :

 

 

 

 n1 =………   ; n2  =………………. ;  n3  =……. ; ……….. ; np

 

 

 

4°) Faire la somme des différents produits obtenus .

 

 

 

5°) Effectuer le  quotient  (diviser)  de la somme obtenue par l’effectif   total .   ( N  ) ; que l’on note aussi )

 

 

 

 

 

Exercice type :