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Test n°4/32

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Calcul NUMERIQUE

SERIE N° 4:

-w-r-v-

1)  

2)

3)

4)

5)

6)  

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18 )

19 )

Tests « Rappels » :

que signifie « indicier un nombre » ; qu ' elle est la fonction de l’indice ?

 Qu'appelle-t-on   "facteur"

les puissances "écritures"

Qu'appelle-t-on  "produit" ?

 Ecrire sous forme de puissance:

           22=   2²       ;   333=        3³                       ;  777777 =  7⁶

ATTENTION ,c'est exceptionnellement  et pour les besoins de l’exercice ,que le signe  " "  représente le signe multiplié.

           aaaa  =     a⁴                       bbbbb = b⁵

           aabb=   a²b²                       aaabbbbb= a³b⁵

           2aa=    2a²           22 aa =2² a²           222aa=   2³a²               222aaa =2³a³

Fin du rappel

Calculer les  N   suivant :

 ( La calculatrice est autorisée)

Résultat

Résultat

23 =

2²3³ =

23   3   5 =

2 ¹3 ³  5² =

257 =

2³5²7² =

2711 =

2²7¹11² =

2  5   =

2 ² 5 ³  =

37=

3³7²=

2313=

23²13=

257=

2²5²7=

LES NOMBRES PREMIERS :

1) A quel ensemble de nombres appartiennent les nombres premiers ?

SOS Cours

Réponse :  Les nombres premiers appartiennent à l ' ensemble des nombres entiers naturels

2 ) Compléter la phrase : un nombre est dit  « premier »   si

SOS Cours

Réponse : 2 ) Compléter la phrase : un nombre est dit  « premier »   si...il n ' est divisible que par 1 et lui - même....

3 ) Que veut dire l ' expression : nombre composé ?

SOS Cours

Réponse : un nombre composé est un nombre que l' on a décomposé en une succession d 'opérations .

4 )Sous quelle  forme opératoire doit s ' écrire  un nombre composé 

SOS Cours

Réponse : :.......addition soustraction  multiplication .........................................

5 ) Un nombre  entier peut être décomposé   de plusieurs façons,(donnez un exemple).

SOS Cours

Réponse : Un nombre entier peut se décomposer de plusieurs façons:

 d’additions, soustractions , .division euclidienne  ,sous forme de produits de facteurs (on dit aussi multiplication),sous forme de produits de facteurs premiers.

6 ) Un nombre qui n’est pas premier  est un nombre dit 

SOS Cours

Réponse : :........"composé"..............................

7 )Citez les dix  premiers nombres « premiers ».Pourquoi sont - ils dit « premiers » ?

SOS Cours

Réponse : 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

8 ) Quelle  est la fonction des nombres premiers ?

SOS Cours

Réponse : Les nombres premiers servent à décomposer les nombres entiers naturels  en produits de facteurs premiers.  (en vue  d' utiliser cette décomposition pour calculer le PGCD ou le PPCM  en vu de rendre irréductible des fractions ou de réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur……..)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

9 ) Rechercher les nombres premiers  compris entre 1 et  100.  (en utilisant le tableau précédent )

SOS Cours

Réponse : 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

8

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

10 ) Classer les nombres premiers ci dessus dans l’ordre décroissant . SOS cours

SOS Cours

Réponse : 97< 89 < 83 < 79 <73 < 71< 67 < 61 < 59 < 53 < 47 < 43 < 41 < 37 < 31 < 29 < 23 < 19 < 17 < 13 < 11 < 7 < 5 < 3 < 2

11 ) Citer les nombres premiers compris entre 0 et 50

SOS Cours

Réponse : 2 ;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31 ;37; 41 ; 43 ; 47

12 )Donner la procédure permettant  de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.

SOS Cours

Réponse : Procédure permettant de décomposer un nombre en produit de facteurs premiers:

      a)On divise le nombre donné par son plus petit diviseur  « premier ».

    b)on divise ,ensuite, le quotient obtenu précédemment par son autre plus petit diviseur premier.

  c)on divise le nouveau quotient obtenu ,par son plus petit diviseur premier ,ainsi de suite ,jusqu’à ce que l’on obtient un quotient égal à 1.

d)  on rend compte du résultat par une écriture horizontale ,sous forme d’une égalité.

13 ) Faire la  décomposition des nombres suivants ; sous forme d ‘un produit de facteurs premiers. (expliquer la méthode)

SOS Cours

Réponse :

Réponses : Méthode : il faut diviser les quotients successifs par les nombres premiers pris par  valeurs croissantes (par 2 ;....; par 3 ;......par 5 ; ......

50

42

144

255

237

222233

192

430

924

2222223

2543

223711

14 )  écrire les nombres sous forme de produits de facteurs premiers. Voir plus….

SOS Cours

Réponse : 

Calcul du PGCD des deux nombres

15 ) Donner la procédure permettant  de calculer le PGCD de deux nombres .

SOS Cours

Réponse : Première façon:    on choisit  de travailler avec une écriture normale ou indicielle

1°) on a décomposé les nombres en produit de facteurs premiers:

                       24   =   2 ₁ x 2 ₂ x 2 ₃ x 3 ₁   et   36     =  2 ₁  x 2 ₂ x 3 ₁ x 3 ₂

2°) On cherche quels sont les facteurs communs de même indice  de classement et on les extrait:

   ici  : 2₁  ;  2₂   ;   3₁

3°) On met ,ensuite , ces facteurs communs sous forme d ’ un produit

  ici    2₁  x  2₂   x   3₁

4° ) On effectue le calcul :  2 x 2 x 3 =    on trouve « 12 »

5°) On conclut:   le PGCD de 24 et 36  est  égal  12

voir autre façon possible sur « SOS Cours »

16 °)Calculer le Plus Grand  Commun  Diviseur  des couples de nombres suivants(indiquer toutes les étapes)

SOS Cours

Réponse :

 Méthode : décomposer les deux nombres sous forme de produit de facteurs premiers et les indicier.

                  Pour calculer le PGCD on recherche les facteurs communs de même indice entrant dans les décompositions , on en prend un représentant  de chaque , on fait le produit de ces représentants .

42 ; 105

144 ;192

430 ;924

237  =  42

35 7 =  105

PGCD =  3

144=2711

192 =2222223

PGCD = 2

430=2523

924=223711

PGCD= 2

144 ;924

9009 ;8613

2385 ;1815

144=222233

924=223711

PGCD=223

PGCD=12

17 ) Calculer le Plus Grand  Commun  Diviseur  du triplets  de nombres suivants :(indiquer toutes les étapes):

SOS Cours

Réponse : Méthode : faire comme ci dessus ,mais appliqué aux  trois nombres.

24 ;36 ;42

120 ;180 ;300

24 = 2223

36=2233

42=237

PGCD = 2 3

PGCD= 6

120=22235

180=22335

300=22355

PGCD=2235

PGCD =  60

Calcul du PGCD des deux nombres

18 ) Donner la procédure permettant  de calculer le PPCM de deux nombres .

SOS Cours

Réponse : Première méthode :    

    «  on indicie les facteurs premiers » .

1°) Après voir décomposer les deux nombres ,on affecte un indice a chaque facteur:

                   24  = 2₁ x 2₂ x 2₃ x 3₁

                   36 =  2₁ x 2₂ x  3₁ x  3₂

2°) On recense tous les facteurs premiers ayant un indice différent, commun ou pas, entrant dans les deux décompositions

        dans l’exemple  nous avons comme 5 facteurs portant un indice  différent 2₁ ;2_2 ;2₃ ;3₁ ;3₂

3°) On fait le produit de tous ces facteurs :    2₁ x 2₂ x 2₃  x3₁ x 3₂  =  72

4°) On conclut :

                 Résultat:  Le PPCM est (24 et 36 ) est 72

Voir autre méthode dans SOS Cours

19 ) Calculer le « PPCM »des groupes de nombres suivants  :

SOS Cours

Réponse : 

Colonne  I

Colonne II

a

PPCM de 10 et 12

 Le PPCM de 10 et 12 est :    60

PPCM de 12 et 24

  Le PPCM  de 12 et 24 est   24

b

PPCM de 120 et de 252

 Le PPCM de  120 et de 252 est  2520

PPCM de 180 et 152

c

PPCM de 2916 et 3402

d

PPCM de 15 ; 18 ; 25 

PPCM de 132 ; 198 et 297