Fonctionnement direct
La séquence
de touche est la suivante :
La calculatrice
affiche :
Fonctionnement indirect
La séquence
de touche est la suivante :
La
calculatrice affiche :
FONCTIONS
LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES
Nota : Si besoin, voir le cours sur les fonctions numériques pour les
questions de vocabulaire.
I.
FONCTIONS LOGARITHMES
I.1. Fonction logarithme népérien
¬ Définition
La fonction logarithme népérien notée "Ln" est
la fonction qui a tout nombre x fait correspondre le nombre Ln(x) = Ln x.
Cette fonction n'est définie que pour x > 0.
Cette fonction s'annule pour x = 1 soit : Ln 1 = 0.
Pour
calculer le logarithme népérien d'un nombre, il faut utiliser la touche Ln de
votre calculatrice. Suivant le modèle deux modes de fonctionnement existent :
Exemple :
On veut calculer le logarithme népérien de 2 soit Ln 2
Fonctionnement direct
La séquence
de touche est la suivante :
La calculatrice
affiche :
Fonctionnement indirect
La séquence
de touche est la suivante :
La
calculatrice affiche :
+Exercice n°1
A l'aide de
votre calculatrice donnez les valeurs des logarithmes népériens des nombres
suivants (quand cela est possible)
Arrondir les résultats à 0,001 près.
|
x |
12 |
15,5 |
-8 |
3,14 |
87 |
100000 |
3669,778 |
1475 |
0 |
|
Ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Propriétés opératoires
Pour tout
nombre a et b strictement positifs on a :
Ainsi, la
fonction Logarithme népérien, transforme une multiplication en une addition et
une division en une soustraction.
+Exercice n°2
En utilisant
les propriétés opératoires de la fonction Ln, exprimer en fonction de Ln (a) et
Ln (b) les nombres suivants :
® Définition du nombre e
Le nombre e est tel que Ln e = 1. Sa valeur est e »
2,718281828…….
Pour avoir la
valeur de e à l'aide de votre calculatrice il faut procéder à la séquence de
touches suivantes :
Fonctionnement direct
Fonctionnement indirect
+Exercice n°3
En
utilisant les propriétés opératoires de Ln et celle du nombre e calculer
¯ Représentation graphique de
la fonction Ln
La représentation
graphique de la fonction Ln, constitué des points de coordonnées (x ; y=Ln x ).
Elle passe
par le point de coordonnées ( 1 ; 0 ) , puisque Ln 1 = 0.
Elle passe
également par le point de coordonnées ( e ; 1 ) puisque Ln e = 1.
Quand x
devient très grand ( valeurs positives) alors Ln x devient très grand
également. On dit que Ln x tend vers plus l'infini (on note + ∞) quand x
tend vers plus l'infini ( On note - ∞).
Quand x
devient très petit, (il s'approche de plus en plus de zéro ) , Ln x devient
très grand dans les valeurs négatives :
On dit que Ln x tend vers moins l'infini (on note - ∞ ) quand x tend vers
zéro ( car Ln 0 n'existe pas )
Le tableau
de variation de cette fonction est :
|
Valeurs de x |
0 +
∞ |
|
Sens de variation de Ln x |
|
On met une
double barre en dessous du zéro pour montrer que la fonction Ln n'est pas
définie pour x = 0.
|
La
fonction Ln est une fonction strictement croissante donc : Si a = b alors Ln(a) = Ln (b) Si a >b alors Ln (a) > Ln
(b) Si a < b alors Ln (a) < Ln
(b) |
I.2. Fonction logarithme
DECIMAL
¬ Définition
Elle est définie à partir de la fonction Ln par : 
pour x > 0
Pour
calculer la valeur du logarithme décimal d'un nombre, on utilise la touche Log
de la calculatrice. Le principe de fonctionnement est le même que pour la
fonction Ln.
Propriétés opératoires
Les propriétés opératoires sont les mêmes que la
fonction Ln.
Deux propriétés supplémentaires qui découlent de la
définition sont : Log (10) = 1 et Log ( 10x ) = x
En effet : 
et 
car Log 10 = 1.
+Exercice n°4
Sans
utiliser votre
calculatrice, compléter le tableau suivant :
|
x |
102 |
10-5 |
108 |
10-5,7 |
10-12,7 |
1099 |
10-37,5 |
103 |
101 |
|
Log x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® Représentation graphique de
la fonction Log
Puisque Ln 10 > 0, Le tableau de variation de la fonction
Log est le même que celui de la fonction Ln.
La courbe
représentative est similaire.
La fonction
Log est une fonction croissante. Sur ce graphique sont tracées les deux
représentations graphiques des deux fonctions.
De plus on
remarque que :
Pour x
> 1, Log (x ) > 0 et Ln (x) > 0
Pour x
< 1, Log (x) < 0 et Ln(x) < 0
Le tableau
de variation de la fonction Log est :
|
Valeurs de x |
0 +
∞ |
|
Sens de variation de Log x |
|
I.3. UTILISATION DES FONCTIONS LOGARITHMES
On utilise
ces fonctions pour résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue est un
exposant.
Exemple La valeur acquise Cn
d'un capital C placé à intérêts composés au taux t annuel pendant n années est donné
par la relation :
Cn = C (1 + t )n
On veut
déterminer au bout de combien d'années n
la valeur acquise Cn un capital de 29 400 € placé à 6 %
vaudra 40 000 €.
La première
étape consiste à remplacer dans la relation donnée les grandeurs que l'on connaît
:
A savoir C
= 29 400 € t = 0,06 Cn = 40 000 €
La relation
devient avec ces valeurs :
40 000 = 29 400 ( 1 + 0,06 )n
40 000 = 29 400 ´
1,06n
On veut
déterminer la valeur de n, il faut donc dans un premier temps isoler dans le
membre de droite 1,06n en divisant les deux membres de l'équation
par 29 400 :
C'est à
partir de cette équation que l'on va se servir des propriétés opératoires des
fonctions logarithmes.
On prend le
logarithme décimal ( ou népérien peut importe car elles ont les mêmes
propriétés opératoires) des deux membres :
On peut
maintenant diviser les deux membres de l'équation par Log(1,06) afin d'isoler n
et d'en déterminer ainsi la valeur.
Il faut
donc environ 5,28 années soit 5 ans et 3 mois et 11 jours environs.
+Exercice n°5
Un capital de
2 500 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %.
1°)
Calculer la valeur acquise par le capital au bout de 4 ans.
2°)
Calculer le nombre d'année de placement nécessaires pour obtenir une valeur
acquise de 4 275,85 €.
II.
FONCTIONS EXPONENTIELLES
II.1. FONCTION
EXPONENTIELLE DE BASE e
¬ Définition
On appelle fonction exponentielle de base e, la
fonction qui a x fait correspondre ex. Elle est définie pour tout
nombre x.
NB : On
rencontre parfois également la notation exp(x)
Pour calculer
la valeur de l'exponentielle d'un nombre, on utilise la touche ex de
la calculatrice. De même que pour la fonction
Ln, il existe deux modes de fonctionnement :
Exemple : On veut calculer l'exponentielle
de 2,5 soit : e2,5
Fonctionnement
direct
La séquence
de touche est la suivante :
La
calculatrice affiche le résultat :
Fonctionnement
indirect
La séquence
de touche est la suivante :
La
calculatrice affiche le résultat :
12,18249396
+Exercice n°6
A l'aide de
votre calculatrice, calculez complétez le tableau suivant ( Arrondir à 0,001
près )
|
x |
-3,5 |
8 |
-1/2 |
3/4 |
6 |
0 |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
rrrererererere
Propriétés opératoires
Quels que
soient les nombres x et y on a :
L'exponentielle
transforme une somme en produit.
Elle
transforme une différence en quotient.
Une
propriété importante est que les fonctions Logarithme népérien et exponentielle
sont des fonctions réciproques
Leurs
effets sur un nombre x "s'annulent" mutuellement.
En effet :
eln 3 = 3 Ln
(e3) = 3
D'une
manière plus générale pour tout nombre x : Ln (ex ) = x et si x >
0 eLn(x) = x
® Représentation graphique
La
représentation graphique de la focntion exponentielle est constituée des points
de coordonnées ( x ; y = ex)
La réciprocité des deux fonctions logarithmes
népérien et exponentielle impliquer une symétrie par rapport à la première
bissectrice (droite d'équation y = x ) des courbes représentatives des deux
fonctions :
La fonction
exponentielle est également une fonction croissante.
Lorsque x
devient très grand ( on dit qu'il tend vers + ∞ ), ex devient
très grand également ( ex tend vers + ∞).
Lorsque x
tend vers des valeurs négatives très grandes, ex devient nulle. On
dit que lorsque x tend vers -∞ alors ex tend vers zéro.
Des constatations
précédentes on peut établir le tableau de variations suivant :
|
Valeurs de x |
- ∞ +
∞ |
|
Sens de variation de ex |
|
Puisque la
fonction exponentielle est une fonction croissante on a donc les propriétés
suivantes :
Si x
= y alors ex = ey
Si x
> y alors ex > ey
Si x
< y alors ex < ey
II.2. FONCTIONS
EXPONENTIELLES DE BASE a
¬ Définition
On appelle fonction exponentielle de base a (a > 0
et différent de 1), la fonction qui a x fait correspondre ax. Elle est
définie pour tout nombre x.
Exemple la fonction exponentielle de base 3
est définie par 3x.
Pour
calculer 3x pour x = 1,5 on utilise la touche puissance de la
calculatrice (en général notée yx)
Ainsi 31,5 = 5,196152…….
Propriétés opératoires
Mais
pourquoi dit-on "fonction exponentielle de base a" ? En effet,
derrière le ax se "cache" une exponentielle :
Posons : y
= ax de façon à avoir une égalité.
Prenons les
logarithmes népériens des deux membres de l'égalité précédente :
Ln(y) = Ln (ax)
En
utilisant dans le membre de droite une propriété opératoire de Ln on a :
Ln(y) = x ´
Ln (a)
Prenons
l'exponentielle de chaque membre :
eLn(y) = ex´Ln(a)
Or eLn(y)
= y, l'égalité devient : y = ex´Ln(a)
Or au
départ on a posé y = ax donc ax = ex´Ln(a)
Il faut
donc retenir que :
ax = ex ´ Ln(a)
C'est la
raison pour laquelle on dit que ax est une fonction exponentielle de
base a.
Les
propriétés opératoires sont les mêmes que pour les exponentielles de base e :
+Exercice n°7
Résolvez
les équations suivantes :
3 x = 2 4 x = 5 2 x = 3 2 x+1 = 3
Indication : il faut prendre le logarithme de
chaque membre et utiliser les propriétés opératoires des logarithmes
