le second degré : somme et produit des solutions

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Leçon	Titre
	LE SECOND DEGRE : Les relations entre S et P et « x’ » et « x’’ »
COURS

Relations entre les solutions (racines) et les coefficients de l’équation du second degré

Les solutions de l’équation a x² + b x + c étant : x’ = ; x’’ =

Calculons la somme S = x ‘ + x ‘’ et le produit P = x’ x’’

1°) Somme « S » = x ‘ + x ‘’

S = + = =

S = = -

Conclusion : la somme des racines d’une équation du second degré est égale à -

2°) Calcul du produit « P » = x’ x’’

( Le numérateur est de la forme (A+B) ( A -B) qui est égal à A² - B²)

le numérateur est le produit de la somme des termes « -b » et « » par leur différence, il est donc égal à la différence de leurs carrés,soit b² - ” et :

P =

Remplaçons ” par sa valeur ( b²- 4ac) le produit devient :

P =

P = soit en divisant les deux termes par « 4a » P =

Conclusion : le produits des solutions (racines) d’une équation du second degré est égal à « »

Nous pouvons écrire que :

a x² + b x + c ; on met en facteur « a », on obtient « a ( x² + x +) »

ou a ( x² - S x + P ) = 0

APPLICATIONS :

A- Calcul mental des solutions de certaines équations :

Soit l’équation x² - 6 x + 8 = 0

x² - 6 x + 8 = 0	a ( x² - S x + P ) = 0
a= 1 ; S = 6 ; P = 8	On identifie : a ; S ; P
Le produit des solutions est égal à 8 , la somme est égale à 6 , on devine facilement que les nombres 2 et 4 réalisent ces conditions, ce sont les solutions de l’équation.

B- Reconnaître les signes des solutions d’une équation du second degré sans les avoirs calculées.

Exemple : 1 x² - 8 x + 15 = 0

a = +1 , b = -8 ,c = +15

Commentaire :

” = 64 - 60 = +4 donc > 0

2 solutions distinctes

P = = 15 >0

Elles ont le même signe

S = = 8 > 0

Elles sont positives

En effet on trouve x’ = 5 ; x’’ = 3

Exemple :2 4 x² + 11 x + 6 = 0

a = + 4 ; b = + 11 ; c = +6

Commentaire :

” = 121 - 96 = +25 donc > 0

2 solutions distinctes

P = = 3 / 2 >0

Elles ont le même signe

S = = - 11 / 4 < 0

Elles sont négatives

En effet on trouve x’ = - 3/4 ; x ‘’ = - 2

Exemple : 3 2 x² - 5 x - 3 = 0

a = + 2 ; b = -5 ; c = - 3	Commentaire :
” = 25 + 24 = + 49 donc > 0	2 solutions distinctes
P = = - 3 / 2 < 0	Elles sont de signes contraires La plus grande en valeur
S = = 5 / 2 > 0	Absolue est positive

En effet on trouve x’ = 3 ; x ‘’ = - 1 / 2

Exemple : 4 4 x² + 2 5 x - 21 = 0

a = + 4 ; b = + 25 ; c = - 21	Commentaire :
” = 625 + 336 = + 961 donc > 0	2 solutions distinctes
P = = - 21 / 4 < 0	Elles sont de signes contraires La plus grande en valeur
S = = - 25 / 2 < 0	Absolue est négative

En effet on trouve x’ = 3 /4 ; x ‘’ = - 7

Tableau résumé de la discussion de l’équation du second degré.

Cas : avec P =	Condition : si	Alors :
< 0 il y a certainement 2 solutions de signes contraires.	> 0	La plus grande en valeur absolue est positive.
	< 0	La plus grande en valeur absolue est négative.
	= 0	Les deux solutions sont opposées.

avec P =	Valeur de ”	Valeurs des solutions	Commentaires :
> 0 il faut former le ”	” > 0 Il y a deux solutions	> 0	Les deux solutions sont positives.
	” > 0 Il y a deux solutions	< 0	Les deux solutions sont négatives.
	” = 0 Il y a une solution		Il y a deux solutions égales ayant pour valeur commune=
	” < 0	Il n’ y a pas de solution calculable.

= 0	Il y a une solution nulle, l’autre étant égale à

C - Trouver deux nombres connaissant leur somme (S) et leur produit (P):

Divisons par « a » les termes de l’équation a x² + b x + c (1)

, on obtient « x² + x + »

Or = - S et = P

Et l’ équation (1) peut s’écrire x² - S x + P = 0 (2)

Réciproquement, les solutions de l’équation (2) seront les deux nombres ayant pour somme « S » et pour produit « P ».

On peut énoncé :

Pour que deux nombres « x » et « y » aient pour somme « S » et pour produit « P » , il faut et il suffit qu’ils soient racines de l’équation en « z ».

z ² - S z + P = 0

La condition d’existence de « x » et « y » est S² - 4P "e 0

Exemple : trouver deux nombres ayant pour somme 25 et pour produit 144

Ces deux nombres sont les solutions de l’équation z² - 25 z + 144

a = +1 ; b = - 25 ; c = + 144

Calcul de ” : ( b² - 4ac ) = 625 - 576 = 49

Calcul de : = 7

x = soit x = = 16

et y = soit y = = 9

Les deux nombres demandés sont 16 et 9

Remarques relatives à ce problème :

Les deux nombres ayant pour somme « S » et pour produit « P » existent si le discriminant de l’équation (2) est positif ou nul.

S² - 4P = 0

Soit S² = 4P ; 4P = S² ; P =

La plus grande valeur possible de P est donc et dans ce cas l’équation ( 2) a deux solutions égales.

1°) Remarque arithmétique : Si la somme de deux nombres variables est fixe , le produit de ces deux nombres est maximum quand ils sont égaux.

2°) Remarque géométrique : de tous les rectangles dont le demi- périmètre est donné, celui dont l’aire est maximum , est le carré.

On peut aussi écrire S² = 4P et en supposant S et P positifs

S = ; S = 2

La plus petite valeur de S est donc 2 et dans ce cas l’équation (2) a deux solutions égales. On en déduit les deux remarques :

1°) Remarque arithmétique : Si la somme de deux nombres positifs variables est fixe , la somme de ces deux nombres est minimum quand ils sont égaux.

2°) Remarque géométrique : Si « x » et « y » sont les dimensions d’un rectangle , leur somme « S » est le demi périmètre et leur produit « P » est l’aire du rectangle . On en conclut :

1°) De tous les rectangles qui ont une aire donnée , celui qui ale plus petit périmètre est le carré .

2°) De tous les rectangles qui ont un périmètre donné, celui qui a la plus grande surface est le carré.

D) Autres applications .

Les expressions x’ + x’’ = - et x’ x’’ =

Sont utilisées chaque fois qu’il s’agit de résoudre un problème comportant une relation entre les solutions x’ et x’’ ou leurs inverses, ou leurs puissances, etc. C’est encore en éliminant le paramètre entre la somme et le produit des solutions d’une équation du second degré à paramètre, qu’on démontre que celles - ci satisfont à une relation indépendante de ce paramètre.

L’intérêt pratique de ces questions étant rigoureusement « nul » , nous laisserons de côté, renvoyant à un autre « dossier » les lecteurs qui ayant en vue la préparation d’un examen seraient obligés de s’y « intéresser ».

Leçon	Titre (niveau IV)
N°	TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur le second degré : Somme et Produit

TRAVAUX N° d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

TRAVAUX N° d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

EVALUATION

Former les équations du second degré ayant pour solutions :

1.	- 2/5 et 8
2.	2/4 et 6
3.	-7 et - 1/2
4.	a+b et a -b
5.	1/ ( a+b) et 1 / (a - b)
6.	1 + 2 et 1 - 2
7.	(+1) / 2 et (-1) / 2
8.	ab et a/b
9.	(ab) / ( a+b) et (ab) / (a - b)

Problèmes :

1°) Etant donné l’équation x² + p x + q = 0 déterminer p et q de façon que les solutions de l’équation soient égales à p et à q.

2°)Soit AH le hauteur du triangle ABC relative à la base BC . ON connaît AB = 5 cm ; AC = 4 cm. On sait que de plus BH fois DH = 135 / 16 . Calculer B C .

3°) Trouver deux nombres tels que leur différence soit 5 et leur produit 60.

4°)leur différence - 10 et leur produit - 21

4°) Calculer les côtés d’un rectangle dont le périmètre est 26 mètres et la surface 40 mètres carrés.