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INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :
DOSSIER N°	Matière : MATHEMATIQUES		« TRAVAUX »
TITRE : le second degré et applications en interdisciplinarité
Classe : NIVEAU :		OBJECTIFS : - Savoir

I ) Pré requis: (pour remédiation ou mise à niveau)
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	Info sur : La parabole . :	>>> Les équations irrationnelles.

Leçon	Titre
	le second degré et applications en interdisciplinarité ( suite 3)

Dans ce document vous trouverez des applications du second degré.

Série 1 : EQUATIONS INCOMPLETES de la forme : y = ax²

Série 2 : EQUATIONS COMPLETES de la forme : y = ax² + bx + c

Exercices et situations problèmes débouchant sur le cours. 

Série 1 : EQUATIONS INCOMPLETES de la Forme y = ax²

Physique N°1 :

On demande le temps que mettrait un caillou tombant de la tour Eiffel sur le sol , sachant que la hauteur de la tour est de 300 mètres et que la formule de la chute des corps est :

Espace parcouru noté (e) : (1)

( « g » est l’accélération gravitationnelle dont on prendra pour valeur 9,80 m .s^-2 ) et « t » est le temps) , on négligera la résistance de l’air.

Solution :

On remplace dans l’équation (1)

Ce qui donne après transformation :

Ici la solution positive est la seule admissible .

le caillou mettrait environ 7 secondes pour toucher le sol .

On apprend en Physique que les espaces parcourus par un corps qui tombe librement sont « proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir ».On obtiendrait dans la représentation graphique d’une demi - parabole .

Physique n°2 :

On demande de calculer l’espace parcouru par un corps qui tombe : pendant la première seconde ; puis après deux secondes , puis après trois secondes, etc. On ne tiendra pas compte de la résistance de l’air.)
Solution : D’après la formule on a : ( « g » représente l’accélération soit 9,80 m /s²) Après la première seconde : Après la deuxième seconde  : Après la troisième seconde : Et ainsi de suite : Nous pouvons représenter graphiquement cette fonction : devient qui est de la forme y = a x² où « a » est représenté par « 4,90 »
En remplaçant « x » et « y » par leurs valeurs ci dessus , et en portant celles - ci sur les axes on obtient des points d’intersections . Si l’on joint ceux ci on trouve la moitié d’une parabole ; car ici , on ne peut pas envisager des valeurs négatives de « x » . (comme au Pb N°1 précédent). Commentaires : 1 : le coefficient de « x² » est ici « 4,9 » représenté par « a » qui est donc un nombre positif. La parabole n’aura donc que la branche positive. Commentaire 2 : cette branche appartient à une parabole qui est effilée , si l’on peut dire qu’une parabole dont le coefficient de « a » serait égal à « 1 ». La courbe précédente est la courbe de la chute des corps. On peut y vérifier que les vitesses après chaque seconde sont proportionnelles aux temps passés , ce qui se montre expérimentalement en Physique. Effectivement : L’ accélération : Dans la première seconde , l’espace parcouru a été de 4,90 m . Dans la deuxième seconde , cet espace a été de 19,60 m - 4,90 m soit de 14,70 m ; c’est à dire de 4,90 m + 9,80 m , après la première seconde la vitesse a donc augmenté de 9,80 m. Dans la troisième seconde , l’espace parcouru a été de 44,10 m - 19,60 m soit de 24,50 m , c’est à dire 4,90 m + 17,60 m ou bien de 4,90 m + 2 fois 9, 80 m et ainsi de suite . La vitesse augmente de 9,80 m à chaque seconde. Ce nombre est appelé l’ accélération.

Série 2 : EQUATIONS COMPLETES de la forme : y = ax² + bx + c
Arithmétique . On achète un certain nombre de mètres de tissu pour une somme de 600 euros. Si on avait payé le mètre 10 euros de moins , on aurait acquis 3 mètres de plus pour la même somme. On demande de calculer le nombre primitif de mètres et le valeur primitif du mètre.
Soient « y » le nombre primitif de mètres et « x » le prix primitif du mètre. On tire l’ équation ( 1 ) : x y = 600 (euros) D’autre part , on peut aussi tirer de l’énoncé , la 2^ème équation ( 2 ) : ( x - 10 ) ( y + 3 ) = 600 (euros) Nous tirons la valeur de « x » , dans l’équation ( 1 ) et nous la portons dans l’ équation ( 2) , on a : ( 600 - 10 y ) ( y + 3 ) = 600 y 600 y - 10 y² + 1800 - 30 y = 600 y 10 y² + 30 y = 1800 y² + 3 y = 180 Nous arrivons ainsi à l’équation complète du 2^ème degré : y ² + 3 y - 180 = 0 Première façon de résoudre : à partir de l’équation y² + 3 y = 180 On déclare que l’expression « y² + 3 y » est le commencement d’un carré parfait. On sait que le carré d’une somme ( a + b) est égal à : a²  + 2 ab + b² Ici , « a² » est représenté par « y² » , de même « 2ab » est représenté par « 3y », et par suite « 2b » est représenté par « 3 » 2 b = 3 On peut avoir « b² » , ce sera : De sorte que l’expression : y² + 3 y + Sera le carré parfait de Ajoutons au 2 membres de l’équation : y² + 3 y + = 180 + Ou : = 180 + Extrayons la racine carrée des deux membres :
On obtient deux réponses :
En conclusion : la réponse positive est seule acceptable dans ce problème. Le nombre primitif de mètres est donc bien 12 , et par suite le prix primitif du mètre était de :
Généralisation :
Deuxième façon de résoudre  débouchant sur une généralisation. Nous reprenons l’équation 10 y² + 30 y = 1800 Elle peut se mettre sous la forme : 10 y ² + 30 y - 1800 = 0 Ou encore sous la forme : 10 x ² + 30 x - 1800 = 0 Pour plus de simplicité , on peut supposer que le nombre 1800 est positif , et l’on a : 10 x ² + 30 x + 1800 = 0
D’autre part , nous remplaçons le coefficient « 10 » par « a » , terme connu , le coefficient « 30 » par « b » , terme connu , et le nombre 1 800 , également terme connu , par « c ». On a l’équation type du 2^ème degré. a x² + b x + c = 0
Résolvons - la , comme nous avons résolu l’équation du problème : on a successivement : a x² + b x = - c
Divisons tout par « a » :
Complétons le carré du premier membre en ajoutant aux deux membres la moitié du coefficient de « x » , cette moitié étant élevée au carré , et égalisons : ou
Extrayons la racine dans les deux membres :
Ou
Ou
Ou
Et
Les deux réponses sont :
On les appelle « les racines » ou « les solutions » de l’équation.
Règle : pour trouver la valeur de « x » dans une équation complète du 2^ème degré mise sous la forme «  a x² + b x + c = 0 » on écrit que : « x » est égal au coefficient de « b » changé de signe , plus ou moins la racine carrée de la différence suivante ( carré du coefficient de « x » moins 4 fois le produit du coefficient de « x² » par « c »). Le tout devra être divisé par deux fois le coefficient de « x² ».
Remarque : Trois cas peuvent de présenter dans le calcul des valeurs de « x’ » et « x ‘’»
1^er Cas : b² - 4 ac > 0 Dans ce cas , l’ équation aura deux racines , c’est à dire deux réponses , puisque la quantité sous le radical a une valeur positive.
2^ème cas : b² - 4 ac = 0 Dans ce cas , la quantité sous le radical disparaît et on obtient :
Il n’ y a plus qu’une seule réponse , puisque les deux racines sont égales.
3^ème cas : b² - 4 ac < 0 Dans ce cas , la quantité sous le radical est négative , la racine ne pouvant pas être extraite , il n’y aura pas de racines , c’est à dire « pas de réponses ».
Résoudre : 10 y² + 30 y = 1800 Soit x ² + 3 y - 180 = 0
On écrira :
L’expression est positive, il y aura deux réponses :
L’équation x ² + 3 y - 180 = 0 a pour racines : x’ = 12 ; x ‘’ = 15

RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES DE L’EQUATION

De la forme «  a x² + b x + c = 0 »
Somme des racines : Nous savons que les racines de l’équation sont :
Faisons la somme de ces égalités , on peut écrire : x’ + x ‘’ =
Les fractions à numérateurs irrationnels s’annulent , et il reste : x’ + x ‘’ =
On en conclut que : la somme des racines est égale au quotient changé de signe du coefficient (b) de « x » par le coefficient (a ) de « x² »
Produit des racines .
Le produit des numérateurs est : qui est le produit de la somme de deux quantités par leur différence , ce qui donne : b² - b² + 4 ac soit 4 ac
Le produit des dénominateur est : 2 a ´ 2 a = 4 a²
En dernière analyse on a :
On en conclut que : le produit des racines est égal au quotient du terme connu, représenté par « c » avec son signe , par le coefficient (a) de « x² »
APPLICATION : Conduisant à la factorisation : Former une équation du second degré , connaissant ses racines ; Ces racines sont : + 1 et
On a la « somme des racines » : + 1 + = On a le produit des racines on voit que , dans l’équation demandée , « a » est représenté par + 4 , « b » par «3 » et « c » est représenté par « -7 » . On aura donc l’équation : 4 x² + 3x - 7 = 0

Problème de géométrie :

On demande de calculer les deux côtés d’un rectangle , sachant que le périmètre est de 68 mètres et que la diagonale mesure 26 mètres.

Solution :

Soient « x » et « y » les côtés du rectangle ; On a les équations suivantes :

2 ( x + y ) = 68 ( 1 ) voir périmètre du rectangle «  2 ( L + l ) »

x² + y² = 26 ² ( 2 ) voir « Pythagore »

Nous cherchons la valeur de « y » dans l’équation (1) , et nous introduisons cette valeur dans l’équation (2) . On a :

x + y = = 34

y = 34 - x

et

x² + ( 34 - x ) ² = 676

on développe :

x² + 1156 + x² - 68 x = 676

après réduction on obtient :

x² - 34 x + 240 = 0

On tire les valeurs de « x » :

Les deux réponses sont : x ‘ = 24 ; x’’ = 10

Ces deux réponses sont acceptables , en ce sens donnent les valeurs des deux côtés du rectangle.

ARTIFICES DE CALCULS :

La somme de deux nombres étant « 10 » et leur produit « 24 », quels sont ces deux nombres ?

Résolution n°1

On aura évidemment les deux équations :

(1) x + y = 10

(2) x y = 24

En introduisant dans l’équation (1) la valeur de « x » tirée dans l’équation (2) , on aura :

et y² - 10 y + 24 = 0

ce qui donne :

Commentaire 1  : résolution n°2

On voit qu’il a fallu appliquer ici les règles de résolution de l’équation du second degré . On aurait pu éviter cette résolution par l’artifice de calcul suivant :

Nous élevons au carré l’équation (1) et quadruplons l’équation (2) ;

On aura : x² + y ² + 2 x y = 100

4 x y = 96

Soustrayons membre à membre ces deux équations , on a :

x² + y² - 2 x y = 4 [ soit ( x - y ) ² = 4 ]

Effectuons la racine carré de chaque membre : x - y = 2 (3)

Additionnons les équation ( 1) et ( 3)

x + y + x - y = 10 + 2

2x = 12

x = 6

alors de ( 1) x + y = 10 on obtient : 6 + y = 10 donc «  y = 4 » 

Commentaire 2 : résolution n°3 aussi possible :

On aurait pu , en s’appuyant , sur les relation entre les coefficients et les racines , trouver tout de suite l’équation :

l’équation sera : x² - 10 x + 24 = 0 ; cette équation est absolument identique à la précédente : «  y² - 10 y + 24 = 0 »

Problème de Géométrie : On demande d’inscrire, dans un demi - cercle de diamètre AOB , un rectangle dont on connaît la surface. Le rayon « R » est connu et la surface sera représentée par « m ».
Soit le demi - cercle ci - contre :
Solution : Supposons le problème résolu et le rectangle MNPR inscrit dans le demi - cercle . Menons OO’ . On prendra comme inconnue : MS = x ; et MR = y On pourra écrire l’équation : « 2x » fois « y » = m soit 2 x y = m (1) D’autre part , en menant MO , on a : y² + x² = R² (2) On a à résoudre le système suivant : On additionne membre à membre : y² + x² + 2 x y = R² + m soit ( y + x )² = R² + m On soustrait membre à membre : y² + x² - 2 xy = R ² - m soit ( y - x )² = R² - m on tirera x + y = ( 3 ) et x - y = ( 4 ) On additionne : 2 x = + On trouvera « y » en soustrayant les équations (3) et (4) Il y a donc les 2 réponses . Discussion : On voit que pour que le problème soit possible , il faut que R² - m > 0 ou que R² > m C’est à dire que le carré du rayon donné doit être plus grand que l’aire de la surface donnée. 1°) si R² > m , il y a donc deux solutions : les précédentes . 2°) si R² = m , les valeurs de « x » et « y » sont les mêmes , c’est à dire : et Dans ce cas , « m » a pris la plus forte valeur qu’il pouvait prendre. Cette valeur représente la plus grande surface que peut prendre le rectangle inscrit , et cette surface correspond à : x = y c’est à dire que le rectangle aura pour côtés : 2x et x et que dans la figure , on aura : M N = 2 MR Remarque : On dit alors que le rectangle inscrit a pris le maximum de sa valeur , ses côtés variant , l’un ( MN) de 2R à O et l’autre (MR) de O à R . 3°) Si R² < m ; le problème est impossible .

SUITE 1  :Les équations irrationnelles

SUITE 2 : les équations bicarrées