Pré requis:
Projection orthogonale et symétrie |
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Projections |
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BIPOINT |
ENVIRONNEMENT du
dossier:
Tableau |
DOSSIER
PROJECTION orthogonale dans un plan
TEST |
COURS |
Interdisciplinarité |
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Voir définition du mot
« direction et sens ».
Mots
utilisés dans l’objectif : le vecteur
Préambule :
La projection d ’ un point ; d’un segment (un ensemble de points alignés)
implique que l’on doit connaître (ou se
fixer) :
n
une direction
(c’est une droite )
n
la position du point dans un plan ( en l’occurrence la feuille) et
n
la droite support qui recevra le
« projeté du point » .
d
Rappel : Projection d’un point sur une droite:
Le point A’ est
le projeté du point A par rapport a
la droite d ; (le segment de
droite AA’ est parallèle à la droite
d), sur la droite orientée
« axe » . La droite d
indique la ligne direction de la projeté
A
A’
I )
PROJECTION ORTHOGONALE d’un point :
On fait la
« projection orthogonale »d’un point « M » lorsque la direction (delta) et la droite sur
laquelle on trace « la projetée du point « M’ » » sont
perpendiculaires
(utile pour : symétrie orthogonale)
II ) Projection orthogonale d’un segment (appelé aussi
repère cartésien ) ,cas courant le repère est dit
« cartésien ortho - normé »
Les segments de droites
AyBy
et BxAx sont
appelés les projetés du
segment AB . La norme permet
de graduer les axes. Si la norme *
sur x et y est égale
« mesure » le repère est dit « normé » *Voir [O,I] et
[ O, J ]
y
Ay
A
By B
Bx Ax x
Voir : Composantes d’un vecteur
et calcul de la NORME D’UN VECTEUR
III )
Projection orthogonale d’une figure géométrique (ou surface) sur deux droites:
VOIR pour en savoir plus : GEOMETRIE DANS L’ESPACE
Voir projection d’un point ,d’un segment ,d’une surface , d’un
volume dans un repère en trois dimensions
(dit dans l’espace )
Exemple :
pour montrer que le
triangle est rectangle :
Le repère doit être orthogonale :c’est
le cas parce que le repère est
orthonormé.
Dans le cas suivant :
:le
segment AB est parallèle à l’axe « y » (les
extrémités ont la même abscisse )
:le
segment AC est parallèle à l’axe
« x » (les extrémités ont la même ordonnée )
les
deux segments sont donc perpendiculaires
Il reste à montrer par le calcul que
BC est l’hypoténuse du triangle rectangle en calculant la somme des
carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)
Nous avons
besoin des projections de BC sur l’axe « y » et sur l’axe
« x »
La
projection de BC sur l’axe « y » est le segment DC ;
la projection de BC
sur l’axe « x » est le segment BD
A ) Montrer par un dessin ,la projection orthogonale d’un point .
D1 D delta M
I ) Soit le
schéma suivant ,tracez le projeté du
point M par rapport à
« delta » sur la droite
D et la droite D1.
B
II ) Soit un repère
orthonormé ( à compléter): tracer
les projections du segment AB ;
donner les coordonnées des deux points,
échelle1
Cet exercice sera repris avec Obj :
« Pythagore » ,