Les inéquations (cours
niveau 4)
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I) INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU PREMIER DEGRE
II) INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU SECOND DEGRE
III) SYSTEMES D'INEQUATIONS A DEUX INCONNUES
I) INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU PREMIER DEGRE
¶ Définition
Une inéquation est une relation d'ordre mathématique qui comprend une
inconnue en général notée x. Elle comprend les sigles suivants :
Elle est du premier degré lorsque la puissance de x ne dépasse pas
1
|
4x - 1
|
>
|
x + 2
|
|
premier
membre
|
|
second
membre
|
Exemple
:
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour que
l'inéquation soit vérifiée.
Ces valeurs sont les solutions de l'inéquation.
Exemple
·
Si x = 0,
alors le premier membre vaut: 4 * 0 - 1 = 0 - 1 = -1
et le second membre vaut: 0 + 2 = 2.
Comme -1 > 2 est faux, alors 0 n'est pas solution de l'inéquation.
·
Si x = 3,
alors le premier membre vaut: 4 * 3 - 1 = 12 - 1 = 11
et le second membre vaut: 3 + 2 = 5.
Comme 11 > 5 est vrai, alors 3 est une solution de l'inéquation.
On remarque qu'il y a une infinité de solutions possibles. On
parlera donc d'ensemble de solutions.
Pour trouver les solutions d'une inéquation, la méthode suivante
est utilisée.
· Méthode de
résolution
Objectif : "Isoler x" dans un membre
(généralement le premier membre).
Procédé : Transformer l'inéquation à l'aide des règles
1 ,2 et 3 énumérées ci après.
Une inéquation a les mêmes solutions que toutes les inéquations
obtenues:
·
R1: En ajoutant ou en retranchant un
même nombre aux deux membres de l'inéquation:
Si a <
b alors a + c < b + c (ex: a +
5 < b + 5)
alors
a - c < b - c (ex: a - 5 < b - 5)
·
R2: En multipliant ou en divisant
par un même nombre positif non nul les deux membres de
l'inéquation:
Si a > b
et c > 0 alors a *
c > b * c (ex: a * 3 > b * 3)
alors
a / c > b / c (ex: a / 3 > b / 3)
·
R3: En multipliant ou en divisant
par un même nombre négatif non nul les deux membres de
l'inéquation et en changeant le sens de l'inégalité:
Si a > b et
c < 0 alors a * c < b *
c (ex: a * (-4) < b * (-4))
alors
a / c < b / c (ex: a / (-4) < b / (-4))
Exemple :
Résoudre l'inéquation
: 4x - 1 > x + 2
• On regroupe les "termes en x" dans le premier membre à
l'aide de R1: (on retranche x)
4x - 1 - x > x + 2 -
x
On réduit : 3x - 1 >
2
• On regroupe les "termes sans x" dans le second membre
à l'aide de R1: (on ajoute 1)
3x - 1 + 1 > 2 + 1
On réduit :
3x >
3
• On "isole x" à l'aide de R2: (on divise par 3 dans
les deux membres)
3x / 3 > 3 / 3
On réduit : x >
1
Les solutions sont tous les nombres strictement plus grand que 1.
On note également l'ensemble des solutions sous la forme d'un
intervalle dans ce cas cet intervalle est : ] 1 ; + ¥ [ ( "+ ¥ " se lit "plus l'infini",
ce sont tous les nombres positifs très grands ).
* Précisions sur la notations des intervalles de nombres :
[ 2 ; 5 ] : intervalle 2 ; 5
fermé ce sont tous les nombres x tels
que : 
[ 2 ; 5 [ : intervalle 2 fermé ; 5
ouvert ce sont tous les nombres x tels que :
] 2 ; 5 [ : intervalle 2 ; 5 ouvert, ce
sont tous les nombres x tels que : 
] - ∞ ; 2 ] : ce sont tous les
nombres x tels que 
] - ∞ ; 2 [ : ce sont tous les nombres x tels que 
: 
[ 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les
nombres x tels que : 
] 2 ; + ∞ [ : ce sont tous les nombres x tels que : 
+Exercice n°1
Donner les solutions des inéquations suivantes sous forme
d'intervalle :
5x + 2 > -x -4 3x
+ 8 > 5 -4x + 2 > 0 7x -4 < 18
II) INEQUATIONS A UNE INCONNUE
DU SECOND DEGRE
Ces inéquations se ramène à
l'étude du signe du polynôme ax² + bx + c. Pour
mémoire ( voir cours sur les équations et polynômes du second degré ) :
¶ Si le polynôme n'a pas de
solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de a
· Si le polynôme a une ou deux
solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un
tableau de signe.
Exemple : Résolution de 15x²-17x-4 < 0
L'équation
15x²-17x-4 = 0 admet deux solutions -1/5 et 4/3 donc :
15x²-17x-4 = 15(x+1/5)(x-4/3)
L'inéquation
se ramène donc à 15(x+1/5)(x-4/3) < 0
Il faut donc
étudier le signe du produite (x+1/5)(x-4/3)
On fait un
tableau de signe :
|
Valeurs de x
|
-1/5 4/3
|
|
Signe de x+1/5
|
- 0 +
|
|
Signe de x-4/3
|
- 0 +
|
|
Signe de (x+1/5)(x-4/3)
|
+
0 - 0
+
|
|
Signe de 15x²-17x-4
|
+
0 -
0 +
|
D'après le
tableau de signe l'ensemble solution de cette inéquation est
] -1/5 ; 4/3 [
+Exercice n°2
Résoudre les inéquations
suivantes :
-2x²+3x+8 > 0 4x²+8x+15
> 0 13x² - 2x + 5 >
0
SYSTEMES D'INEQUATIONS A DEUX
INCONNUES
Un systèmes d'inéquations à deux
inconnues x et y est tel que : 
Résoudre un tel système consiste à trouver toutes les valeurs de x
et y qui vérifient à la fois les deux inéquations.
Pour résoudre un tel système on utilise une méthode graphique.
On exprime les deux inéquations en isolant y dans un membre :
Le système est donc équivalent à : 
Dans le cas où y = 2x - 8 l'ensemble des couples solutions (x ; y) sont graphiquement situés sur la droite d'équation
y = 2x - 8.
Ainsi l'ensemble des solutions de l'inéquation 
est constitué par l'ensemble des points dont les coordonnées
sont situés au dessous de la
droite d'équation y = 2x - 8
De la même façon, les solutions de l'inéquation 
sont situés au dessus de la droite d'équation 
.
Les solutions du système sont donc constituées des
coordonnées (x ; y )
des points situés à l'intersection des zones énumérées ci-dessus.
Cela se traduit donc graphiquement par la zone hachurée ci-après :
On constate donc
graphiquement que cette zone commence au point d'intersection des deux
droites.
+
.
+Exercice n°3
Résoudre graphiquement les systèmes d'inéquations proposés.
Colorier les zones solutions des systèmes.
