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Pré requis - Etude des droites dans un repère.

RÉSOLUTIONS GRAPHIQUES DES PROBLEMES D’ ALGÈBRE

PROBLÈME I. Trois villes A, B, C, sont placées dans cet ordre sur une route et la distance de A à B est 45 km. Un cycliste part de A et au même instant un piéton part de B, tous deux se dirigent vers C. La vitesse du cycliste est 4 fois celle du piéton.

1°) A quelle distance de B le cycliste rattrapera-t-il le piéton?

2°) Tracer le graphique des deux mouvements en portant en abscisses les temps (1 cm pour I heure) et en ordonnées les distances comptées a partir de A (1 cm pour 10 km). On supposera que la vitesse du piéton est de 5km/h.

3°) Chercher sur le graphique à quelle distance de B était le piéton quand son avance sur le cycliste n’était plus que de 9 km.

RÉSOLUTIONS GRAPHIQUES DES PROBLEMES D’ALGÈBRE

PROBLÈME II .

Une auto fait un voyage aller et retour, sans arrêt, entre deux villes A et B. A l’aller (sens de A vers B), elle dépasse un cycliste au milieu du parcours AB; au retour, elle le croise au quart du parcours à partir de B. Les vitesses des deux mobiles sont constantes.

1°) Si x km représente la distance des deux points de rencontre, exprimer en fonction de x les distances parcourues par les mobiles dans l’intervalle des deux rencontres. En déduire le rapport des vitesses.

2°) La vitesse du cycliste est 20 km/h. Le temps écoulé entre les deux rencontres est I h 30 minutes. Calculer la distance AB. Préciser la position du cycliste au moment du départ de l’auto.

3°) Représenter sur un même graphique la marche de l’auto et celle du cycliste. Coordonnées des points de rencontre.

Equation de la droite qui représente la marche du cycliste.

PROBLÈME III.

On considère un triangle ABC dont les mesures des côtés sont:

AB = 16 cm, AC = 19 cm, BC 12 cm. Par un point M du segment BC, on trace la parallèle a AB qui coupe AC en P, puis la parallèle à AC qui coupe AB en Q.

1°) Evaluer en fonction de BM x, le périmètre 2y du parallélogramme MPAQ. Variations de y et représentation graphique.

2°) Déterminer x pour que y ait une valeur donnée a et discuter:

a) par le calcul;

b) graphiquement.

Application numérique y = 18.

FIN DES PROBLEMES RESOLUS .

SITUATIONS PROBLEMES (corrigé non fourni )

Problème 4 . Deux villes A et B sont distantes de 120 km. Un motocycliste part de A à 8 h et se dirige vers B à 40 km à l’heure. Une automobile part de B à 9 h 20 mn et se dirige vers A à 60 km à l’heure.

1°) Représenter graphiquement la marche des deux mobiles.

2°) Déterminer graphiquement l’heure et le lieu de la rencontre,

3° ) Solution algébrique. (B.E.P.C. Besançon.)

Exercice 1 .. Première figure.

Tracer deux axes de coordonnées rectangulaires OX et OY. Placer sur OY le point A d’ordonnée + 4 et sur OX le point B d’abscisse — 3 (le centimètre est pris pour unité).

Calculer AB.

Calculer l’abscisse du point C de OX tel que le triangle ABC soit isocèle. On trouvera trois solutions correspondant aux trois cas possibles : AH = AC

BA=BC; CA=CB.

Exercice 2 . Deuxième figure.

Tracer deux axes de coordonnées rectangulaires OX et OY.

Placer le point A de coordonnées, x = 0, y = 4, le point B de coordonnées x = —3, y = 0, et le polnt C de coordonnées x = 7 / 6 , y = O (le centimètre est pris pour unité).

1°) Trouver l’abscisse du point D de OX tel que le triangle ABD soit rectangle en A.

2° ) Calculer la distance AD et le rapport ( AB / AD ) .

3°) Calculer l’abscisse du point E de OX tel que

la mesure algébrique de EB par la mesure algébrique de ED est égale à la fraction moins 3 sur 4.

Que dire de la droite AE?

( B.E.P.C. BORDEAUX)

Problème 6 ..

Un alliage d’or et de cuivre a un volume de 1 cm³ . La densité de l’or est 19,3 et celle du cuivre 8,8.

1°) évaluer la masse « g » de l’or contenu dans cet alliage en fonction de la masse « x » du cuivre, masses exprimées en grammes. Représenter graphiquement la variation de la masse de l’or en fonction de la masse du cuivre. Sur les deux axes, 1 g sera représenté par 1 cm.

2°) Evaluer la masse totale « z » de l’alliage en fonction de la masse du cuivre qu’il contient. Représenter graphiquement la variation de cette masse totale en fonction de la masse de cuivre, sur la même figure que dans la première question.

3°) Déterminer graphiquement de la masse de l’or contenu dans l’alliage lorsque la masse totale est 10 g.

40) Déterminer graphiquement la masse d’or contenu dans l’alliage lorsqu’il est égal à la masse du cuivre.

Problème 6. Un voyageur qui se rend à pied de la ville A à la ville B part à midi en faisant en moyenne 80 m à la minute. A une certaine distance de A, il monte dans un autobus qui part à midi 22 mn de A pour aller également en B, faisant en moyenne 40 km à l’heure.

Le voyageur arrive 1 h 6 mn plus tôt que s’il avait continué à marcher à pied.

On demande

1°) A quelle distance de A il est monté en autobus

2°) Quelle est la distance de A à B.

3°) Représenter graphiquement le mouvement du voyageur, du point de départ au point d’arrivée, en prenant en abscisses les temps (i mm pour une minute) et en ordonnées les espaces (1 cm pour 1.000 m).

Ecrire l’équation du mouvement correspondant aux deux parties du trajet du voyageur.

4°) Indiquer comment on peut, à l’aide du graphique, retrouver les résultais des deux premières questions.

(B.E.P.C. RENNES.)

exercice 3 . On considère le triangle ABC dont les côtés ont pour longueurs BC = 3 cm, CA = 6 cm, AB = 5 cm. Soit E un point variable du côté AC. La parallèle menée à AB par E coupe BC en D et la parallèle à BC menée par E coupe AB en F. On pose AE = x.

1°) Construire le triangle ABC.

Calculer en fonction de « x » les longueurs AF, DE et BD.

2°) Déterminer « x » de façon que AE = BF.

Si E a la position ainsi déterminée, que représente AD dans le triangle ABC ? En déduire une construction géométrique du point E.

3°) Quand E décrit le segment AC, représenter graphiquement, sur un même graphique, les variations des fonctions Y = AE, Y = BD, Y = BF.

Déterminer, à l’aide de ce graphique, comment il faut choisir « x » pour que

a) BF>AE;

b) BD<BF<AE;

c) BF < BD.

(B.E.P.C. TOULOUSE.)

Problème 8. Deux amis habitent, l’un la ville A, l’autre la ville B, distantes de 150 km. Ils se donnent rendez-vous en un point M de la route en ligne droite AB entre A et B tel que AM = « x » kilomètres. Ils doivent s’y rendre en automobile.

La voiture du premier (A) consomme 8 litres d’essence aux 100 km, celle du second (B) consomme 12 litres aux 100 km.

1°) Exprimer en fonction de z les quantités y ₁ et y ₂ d’essence nécessaires à chacun d’eux pour se rendre en M (y₁ et y₂ en litres).

2° ) Représenter graphiquement sur un même système d’axes de coordonnées chacune des deux fonctions y ₁ et y ₂ • (Unités sur l’axe des « x », 1 cm pour 15 km sui’ l’axe des « y », 1 cm pour 2 litres).

3° ) Calculer « x » pour que les quantités d’essence nécessaires à chacun des deux amis soient égales. Vérifier le résultat sur le graphique.

40) Déterminer « x » pour que la consommation totale d’essence faite par les deux amis soit égale à 16 litres.

(B.E.P.C. LIBAN.)

Exercice 4

1°) Un rectangle a pour périmètre 21 m et ses deux dimensions sont proportionnelles aux nombres 4 et 3. Déterminer ces deux dimensions.

2°) Un autre rectangle a pour longueur 5 m et largeur 3 m. On augmente la longueur et la largeur de chaque rectangle de la même longueur « x » . Evaluer, en fonction de « x » , la différence « y » des aires des deux rectangles obtenus après cette transformation.

3°) Représenter graphiquement les variations de « y », quand « x » varie de O à 6 m.

Trouver la valeur de « x » pour laquelle y = 15 m².

(B.E.P.C. GRENOBLE.)

Problème 9 :

1°) ) La distance de Paris à Lyon est de 512 km. Un train parti de Paris à 8 h 50 mn arrive à Lyon à 17 h 22 mn. Le lendemain, il repart de Lyon à. 6 h 30 mn pour revenir à Paris ; il effectue son parcours avec la même vitesse que la veille. A quelle heure arrive-t-il à Paris ? Quelle a été sa vitesse en km/h ?

2°) Chercher en quel point du parcours le train passe à la même heure que la veille. Il y aura lieu de calculer la distance de ce point à Paris, et d’indiquer l’heure à laquelle le train passe en ce point.

3°) Donner une solution graphique de la question précédente. A défaut de solution, vérifier graphiquement le résultat obtenu.

(B.E.P.C. PARIS.)

Exercice 5

. Soit un segment AB = 2a, de milieu O, et deux demi-droites Ax et By perpendiculaires à AB et d’un même côté.

On considère deux points variables M sur Ax et N sur By.

On pose AM = x , BN = y.

1°) Montrer que si l’on a x + y = b (b constante), la droite MN passe par un point fixe de la perpendiculaire OZ à AB.

2°) On donne sur Ail le point C (AC = a /2 ) et sur la perpendiculaire en C à AB, le point fixe P (CP = a). Quelle relation existe-t-il entre z et y quand la droite MN varie en passant par P ?

3°) Quelle relation doit lier « x » et « y », pour que les droites OM et ON soient rectangulaires ? Montrer que, dans ce cas, la droite MN reste tangente au cercle de diamètre AD. (B.E.P.C. LIBAN.)

Problème 10  :

. Un cycliste part en promenade à 8 h 20 et veut être de retour à 12 h. A l’aller sa vitesse est de 36 km/b, et au retour, elle n’est plus que de 30 km/h.

1°) Calculer à quelle distance de son point de départ il devra faire demi-tour.

2°) Donner une solution graphique du problème, en construisant les droites représentant la marche du cycliste

a) à l’aller

b) au retour.

3°)Déterminer, à l’aide du graphique, la distance à laquelle le cycliste se trouvait de son point de départ à 9 h 30. Expliquer le résultat.

(B.E.P.C. MAROC.)

Problème 11 :

. Un terrain rectangulaire ABCD, de longueur AB 12 m et de largeur AD = 8 m, est divisé en trois parcelles par deux droites AM et AN, M étant situé sur CD entre G et D, et N sur BC entre B et C.

On désigne DM par z et BN par y.

1°) Exprimer en fonction de « x » et « y » les aires des trois parcelles.

2°) Déterminer les valeurs de « x » et « y » pour lesquelles les aires des trois parcelles ont la même mesure.

30) A quelle relation doivent satisfaire « x » et « y » pour que les aires des parcelles ABN et ADM aient la même valeur ‘?Cette relation permet d’exprimer « y » en fonction de « x » .

Représentation graphique (unité 1 cm sur chaque axe).

4°) A quelle relation doivent satisfaire z et y pour que les aires ABN et ANCM aient la même valeur ? Représentation graphique de y en fonction de x en utilisant le graphique précédent.

Pouvait-on prévoir, d’après les résultats déjà obtenus, la valeur des coordonnées du point d’intersection ? (B.E.P.C. GRENOBLE.)

Exercice 6

. Soit un trapèze AHCD rectangle en A et B. La grande base BC mesure 10 cm, la petite base AD 7 cm, la hauteur AH 4 cm.

1°) Calculer DC.

2°) M étant un point quelconque de la demi-droite AX qui porte AB, on mène par ce point la parallèle MN aux bases (N est sur la demi-droite DY qui porte DC). On pose AM = x. Calculer en fonction de x les longueurs y et x des segments DN et MN ; représenter graphiquement leurs variations quand M se déplace sur Ax. (On pourra utilement mener par D la parallèle DZ à AX).

30) Le triangle DMN peut être Isocèle s! DN égale MN; pour quelle valeur de x cela se produit-il ?

Vérifier ce résultat sur le graphique.

40) Le triangle DMN peut encore être Isocèle, mais cette fois avec BN = DM. Calculer alors x .

Peut-on résoudre géométriquement cette question ?

(B.E.P.C. LYON.)

Exercice 7

. Le périmètre d’un rectangle, mesuré en centimètres, est exprimé par le nombre 2p. Si l’on augmente sa longueur X de 7 cm, et sa largeur Y de 2 cm, sa surface augmente de 224 cm².

1°) CaIculer en fonction de « p » la longueur et la largeur du rectangle.

2°) Entre quelles valeurs p doit-Il être compris, pour que le problème soit possible ?

3° ) Représenter sur le même graphique les variations de X et de Y lorsque « p » varie entre les limites déterminées au chapitre précédent (échelle 1/10).

(Les valeurs de « p » seront portées en abscisses et les valeurs correspondantes de X ou de Y en ordonnées).

4°) Pour quelle valeurs de p le rectangle sera-t-il un carré ? Quelle sera alors la valeur commune de X et de Y ? Que représentent ces valeurs sur le graphique ? (B.E.P.C. BESANÇON.)

Problème 12 :

, La route qui relie deux villes A et B comporte, de A vers B , une montée puis une descente également inclinées. Un cycliste dont la vitesse moyenne est en montée 10 km à l’heure, en descente 30 km à l’heure, met 1h 30 mn pour aller de A vers B et 2 h 30 mn pour revenir de B en A.

1°) Calculer la distance des deux villes au point le plus élevé de la route.

2°) Représenter graphiquement la marche du cycliste à l’aller et au retour.

(B.E.P.C. ANTILLES.)

Problème 13 :

. Un cycliste part à 14 heures d’un village A pour se rendre dans un village B. Il se déplace avec une vitesse moyenne de 24 km à l’heure. Arrivé en B, il s’y repose 20 minutes, puis il revient en A avec une vitesse moyenne de 20 km à l’heure. Il est de retour en A À 18 heures.

1°) Calculer la distance AB.

2°) Un automobiliste est parti de A à 16 heures, sur la même route, avec une vitesse de 60 km à l’ heure. A quelle heure et à quelle distance de A rencontrera-t-il le cycliste ?

On donnera de cette question une solution graphique que l’on vérifiera par le calcul.

Problème 14 :

. 1°) Représenter graphiquement les variations des fonctions

y = 20 x y = 40 x —80

Echelle de 2 cm par unité pour les abscisses et de i cm par 10 unités pour les ordonnées.

Déterminer les coordonnées du point de rencontre des deux droites obtenues.

2°) On suppose que « x » mesure en heures le temps compté à partir de 8 heures du matin et « y » la distance en km comptée à partir d’une ville A pour deux mobiles animés d’un mouvement uniforme partant de A, le premier à 8 heures, le second à 10 heures du matin et dont les graphiques de mouvement sont portés par les droites précédentes. Ils s’arrêtent tous deux au moment de leur rencontre. Quels renseignements le graphique vous donnera-t-il sur le trajet des deux mobiles ? Quelle est la vitesse de chacun an km/h ?

3°) A quelle heure doit-on faire partir de A un troisième mobile animé d’une vitesse de 80 km/h pour qu’il rejoigne les deux autres au point d’arrivée ? Quelle est la fonction que représente alors le graphique de son mouvement ?

4°) A quelle distance les trois mobiles sont-ils les uns des autres 15 minutes avant leur arrivée ? On déterminera cette distance par le calcul et on vérifiera le résultat sur le graphique. On constate qu’il y a un rapport simple entre les distances des trois mobiles ce rapport est-Il le même à tous les moments de la course ?

5° ) Entre quelles heures pourrait-on faire partir le troisième mobile, toujours avec la vitesse de 80 km/h ai on voulait qu’il double (dépasse) les deux premiers À moins de 10 km de leur point de rencontre ?

(E.N. AIX-MARSEILLE.)

Exercice 8 Soit un demi-cercle de diamètre AB = 2R ; sur le diamètre un point H tel que AH = x ; la perpendiculaire en H à AB coupe le demi-cercle en M.

1°) Calculer en fonction de « R » et de « x » :

Calculer x de telle sorte que y₁ = y₂

2°) Représenter sur un même graphique y₁ et y₂, « x » variant de O à 2R.

(On supposera pour la construction du graphique que R, de longueur 2 cm, est pris pour unité de longueur).

Utiliser le graphique pour déterminer « x » calculé en 10).

3° ) Soit y₃=y₁+y₂

Calculer « x » de telle sorte que y₃ = kR² (k: nombre positif donné). Entre quels nombres doit être compris k pour que le problème soit possible?

4° ) Représenter graphiquement y₃ et retrouver par le graphique les résultats de la discussion du troisième paragraphe.

(E.N. BESANÇON.)

Exercice 9. Sur l’axe ox d’un système de coordonnées rectangulaires, on prend un point A d’abscisse + 4 et sur l’axe oy un point B d’ordonnée + 2, puis on joint AB que l’on prolonge d’une longueur BC égale à AB. Avec AC comme hypoténuse, on construit dans le demi-plan supérieur un triangle rectangle isocèle ACD.

1°) La construction étant faite, une simple lecture du graphique donne les coordonnées des points C et D. Indiquer ces coordonnées et vérifier l’exactitude du résultat en faisant intervenir des considérations géométriques.

2°) Déterminer les équations des côtés de l’angle droit AD et CD du triangle rectangle ACD.

3° ) On considère les droites définies par l’équation générale

y = (1/3) x + b.

Entre quelles limites devra-t-on choisir b pour que ces droites coupent le triangle CAD ?

4°) On suppose que A restant fixe, B se déplace surie demi- axe oy et on appelle ns l’ordonnée variable de B. Exprimer, an fonction de « m », les coordonnées de C et de D, ainsi que celles du milieu M de AH. Déduire de l’examen des coordonnées de C et de M les équations et la position des droites sur lesquelles se déplacent chacun de ces deux points, et donner pour chacune d’elles mie interprétation géométrique du résultat. (E.N. AIX-MARSEILLE.)

Exercice 10. Le problème porte sur une figure comprenant un trapèze rectangle ABCD de grande base AB = 3 cm, de petite base CD = 2 cm, et de hauteur AD = 3 cm. Sur ce trapèze repose un triangle rectangle CDE dont le côté DE placé an prolongement de AD, a pour longueur 1 cm.

Par un point M, qui décrit le segment AE du point A au point E, on mène la parallèle à AB qui coupe la ligne brisée BCE an N.

1°) Calculer MN an fonction de AM = x pour x < 3, puis pour 3 < x < 4.

2° )Dans un système d’axes rectangulaires x ’O x et y’O y, représenter graphiquement la variation de la fonction y = AM + MN exprimée an fonction de la variable « x » .

3’) Il peut exister deux valeurs x’ et x ” de x donnant à y la même valeur « m » quand la longueur « m » est convenablement choisie. Calculer, ou, si on préfère, déterminer graphiquement « m » sachant ( x’’ / x’ ) = ( 3 / 2)

(E.N. TOULOUSE.)

BON COURAGE - BRAVO si vous faites tous ces exercices et problèmes !

Warmé Raymond..