Dossier :  RECHERCHER SI "N"   EST "PREMIER"

COURS.

I )  Classement  ordonné des  premiers nombres premiers :

Le premier nombre premier est « 2 »

Le deuxième est « 3 »

Le troisième   est « 5 »

Le N°4  est  « 7 »

Le N° 5 est « 11 »

On peut donner à un Nombre premier un rang ( indice) que l’on appelle « n » : Np_n

Ainsi si « n = 3 »  ; lire de rang « 3 » ; le Nombre premier de rang  3  est « 5 »  ou Np₃   = 5

le nombre de rang suivant est noté « n+1 » soit de rang ( 3+1 = 4) le nombre premier  est « 7 » ;      Np₄ = 7

C’est ainsi que l’on doit connaître «  par cœur » les dix premiers nombres premiers.

II )  Comment trouver si un nombre entier est premier :

ENTRE 0 et 99 :

                     les nombres premiers compris  entre 0 et 99 sont les nombres qui ne sont pas dans la table Pythagore .( table de multiplications)

III )  Activité : Savoir rechercher , par le calcul  , si un nombre entier est un nombre premier:

Pour savoir si un nombre entier naturel est « premier » , on le divise  par la suite des nombres premiers successifs  , en partant  du plus petit , jusqu’à obtenir un quotient ( q ) inférieur au diviseur (b) premier utilisé . On conclut alors ( lorsque le quotient devient inférieur au diviseur)  en énonçant : si « q » est inférieur  à « b » ( premier) et r ¹ 0 alors le nombre donné « a » est déclaré « premier ».

Cas 1 :  exemple           « a »  =  133  est- il  un nombre premier ?

On effectue les calculs suivants :

On calcule   133 : 2     =   ; résultat  133 =   2  66  + 1   ; r ¹ 0

On calcule   133 : 3     =   ; résultat  133 =   3  44  + 1 ; r ¹ 0

On calcule   133 : 5     =   ; résultat  133 =   5  26  + 3 ; r ¹ 0

On calcule   133 : 7     =   ; résultat  133 =   7  19 + 0 ; r = 0

Puisque r = 0 ; on peut arrêter les calculs , on conclut que 133 est divisible par « 7 » ; donc  133 n’est pas « premier ».

Exemple 2 :                « b »  =  251  est- il premier ?

On effectue les calculs suivants :

On calcule   251 : 2     =   ; résultat  251 =   2  125  + 1   ; r ¹ 0

On calcule   251 : 3     =   ; résultat  251 =   3  83  + 2 ; r ¹ 0

On calcule   251 : 5     =   ; résultat  251 =   5  50  + 1 ; r ¹ 0

On calcule   251 : 7     =   ; résultat  251 =   7   35+ 6 ; r ¹ 0

On calcule   251 : 11     =   ; résultat  251 =   11  22  + 9 ; r ¹ 0

On calcule   251 : 13     =   ; résultat  251 =   13   19 +  4 ; r ¹ 0     ( q > b)   ; q =  13   et  b = 19

On calcule   251 : 17     =   ; résultat  251 =   17   14 + 13  ; r ¹ 0  , on constate que  q = 17  et  b = 14   ; à ce niveau on constate que  ( q < b ) et que le reste est toujours différent de « 0 »

Remarque :  à ce niveau de calcul , on constate que le quotient « 14 » est inférieur au diviseur « 17 » ; le reste est différent de zéro ; on peut conclure que « 251 » est un nombre premier.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°)  Comment procède  - t - on  pour reconnaître si un nombre entier naturel est « premier » ?

2°)  Classer les 20 premiers nombres premiers  et les repérer  par la lettre « b » indicée, diviseur dans la division euclidienne.

EVALUATION :

Dire si les nombres suivants sont premiers : (justifier  votre réponse) :

48 ;  93 ; 31 ; 165 ; 237 ; 587 ; 349 ; 149 ; 289