le nombre d'OR TRAVAUX

 

 (SOS Cours)

PARTIE 1

 

CORRIGE

  sur  LE NOMBRE D’OR

 

Activités : niveau  IV (dont : Bac. Prof)

 

 Recherche du nombre d’or :

On prend appui sur la construction de la « divine proportion » :

La distance AB entre les pieds et la tête de l’homme présentant les mensurations idéales et dessiné par Léonard de Vinci, est partagée par le nombril « M » dans une proportion correspondant au nombre d’or.

La construction de la « divine proportion » prend appui sur le triangle rectangle ABC  rectangle en « B » tel que :

BC = .

 

Sur le dessin ci-contre , sont représentés des rectangles dont le rapport entre la longueur et la largeur est égal au nombre d’or ; de tels rectangles sont appelés  « rectangles d’or »

 

1°)  détermination par le tracé  de la position du  point  « M »  sur la segment AB de telle sorte  que :

                                       

 

Tracer un triangle rectangle semblable à celui de la figure  « ABC », puis, en utilisant le principe de construction indiqué sur celle - ci, placer les points « M’ » et M » . En déduire la valeur approximative du nombre d’or.

Activité 1 : Relever les longueurs des segments  AB ; AC ; AM ; AM ’  et  calculer le rapport  et le rapport     ;le rapport    et   ;  comparer les résultats et conclure que :. Les rapports sont égaux

 

 

 

Activité:

Après avoir tracé un  triangle ABC ,  rectangle en « B »

  1.   On note AB = a
  2.  On demande :  Calculer  AC² ; puis exprimer  AC en fonction de « a » :

 

                               AC² = ( a² + () ² )  = a² + = 

                                         AC =  = 

 

  1. On demande : En déduire l’expression  de « A M’ » et « AM » en fonction de « a ».

                

AM’ =   -    ou   =  = AM ;   AM =         

4. On demande  Calculer  le rapport  et l’on montre que le nombre d’or est :

                                            ou soit       1,618

 

 =  =   = == ==

 

Conclusion:                  =  =

 

Activité 3  :  

A)   Rechercher l’équation permettant de calculer le nombre d’or  par la résolution d’une équation du second degré. ( voir le triangle ABC sur le dessin de Vinci)

 

On donne :  AB = a  et   = x

 

a) Exprimer  AM en fonction de « a » et « x ». : puisque     donc  

b) En utilisant la relation :   on montrer   que   « a² -  »  (1)

 

                 

 

   Il faut trouver MB =  AB - AM  =   a -

    on remplace  « AB » ; « AM » et « MB » dans le relation       

   on obtient :         ; en faisant le produit en croix :     a (a - )=  (        (2)

 

      soit : en développant (2)  on obtient la relation  (1) :

                                  a (a - )=  (   =       a² -        (3)

 

c) En déduire l’équation du second degré permettant de calculer le nombre d’or et la résoudre.

   

   1°) Réduire la relation précédente (3) au même dénominateur :      = 0

 

     (@ info + »on chasse les dénominateur »++)   (d’après un théorème sur les égalités :cela revient à multiplier tous les termes par x² )

    

  On obtient  l’équation :                  a² x² - a² x - a² = 0   ;

 

2°)   On factorise :      a² (x² - x -1) = 0

 

3°)   Il faut  résoudre l’équation    «   - x - 1 »  , une solution  de cette équation est   le nombre d ‘or.  (On doit résoudre une équation du deuxième  degré).

 

4°)  Résoudre l’équation : x² - x -1

 

(c’est une activité de  niveau  (Bac. Prof) ;pour cela Il est évident qu’il faut savoir résoudre algébriquement les équations du second degré .

 

Résolution :

Δ = b² - 4ac ;   (-1)² -  4 fois (+1)  fois (-1)  = 1 + 4 = 5

 

X’ =    soit   x ‘  =   et     x’’=   soit x’’=

 

On retiendra la solution « positive » :   que l’on appelle : phi et que l’on note :

 

 

B) Résoudre graphiquement  l’ équation  «  y =  x² - x -1 » , situer sur la courbe position du nombre d’or.

construire la représentation graphique de la fonction :

 f : x x² - x -1 et en déduire la valeur du nombre d’or. (l’utilisation d’une calculatrice graphique est conseillée)

 

Voir le tracé ci contre :

Le point  « x » =  1,618  pour y= 0 est une des solutions de l’équation ; la valeur négative n’est pas retenue.

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