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sur le second degré « équations » |
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Résumé cours sur
Les inéquations
INEQUATIONS
A UNE INCONNUE DU SECOND DEGRE
Première approche :
Ces inéquations se ramène à l'étude du signe du
polynôme ax² + bx + c. Pour mémoire ( voir cours sur les équations et
polynômes du second degré ) :
¶ Si le polynôme n'a pas de solutions, alors
pour tout réel x, le polynôme est du signe de « a »
· Si le polynôme a une ou deux solutions,
alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de
signe.
Exemple : faire la
résolution de 15x²-17x-4 < 0
1°)
Calcul du discriminant :
L'équation 15x²-17x-4 = 0 admet deux solutions -1/5 et 4/3 donc :
2°)
Factorisation :
15x²-17x-4 = 15(x+1/5)(x-4/3)
3° )
L'inéquation se ramène donc à
15(x+1/5)(x-4/3) < 0
Il faut donc
étudier le signe du produite (x+1/5)(x-4/3)
4°) On fait un tableau de signe :
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Valeurs de x |
-1/5 4/3 |
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Signe de x+1/5 |
- 0 + |
|
Signe de x-4/3 |
- 0 + |
|
Signe de (x+1/5)(x-4/3) |
+
0 - 0
+ |
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Signe de 15x²-17x-4 |
+
0 - 0
+ |
5°) Conclusion : D'après le tableau de signe l'ensemble
solution de cette inéquation est ] -1/5 ; 4/3 [
+Exercice n°2
Résoudre les
inéquations suivantes :
-2x²+3x+8 > 0 4x²+8x+15
> 0 13x² - 2x + 5
> 0
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SUITE : Résolution d’inéquations du second degré
à partir d’un tableau des signes. |
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. I ) Résolution des inégalités du second
degré :
Une inégalité du second degré à une inconnue peut
être ramenée à l’une des formes :
a x² +
b x + c > 0
ou
a
x² + b x + c < 0
Procédure :
Calculer le
discriminant ”; raisonner sur le signe de « a »,
- pour « a x² + b x + c < 0 » ;
prendre les valeurs ,qui vérifient
l’inégalité , inférieures à zéro.
- pour
« a x² + b x + c >
0 » ; prendre les
valeurs ,qui vérifient l’inégalité ,supérieures
à zéro.
Construire le tableau des signes ( vous aidez
avec des valeurs numériques intermédiaires qui ne sont pas
« racines ».)
Exemple 1 :
Résoudre : x² + 2x - 15 > 0
1°) Calcul
du ∆ ; x’ = -5 ; x’’ = +3
2°)
Tableau :
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x |
-10 |
-5 |
0 |
+3 |
10 |
||
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Signe de x²
+ 2x - 15 |
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|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|||
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3° conclusion : L’inégalité x² + 2x -
15 > 0 est donc vérifiée pour x < -5
et x > 3
Exemple 2 :
Résoudre : x² + 2x - 15 <
0
1°) Calcul
du ∆ ; x’ = -5 ; x’’ = +3
2°)
Tableau :
|
x |
-10 |
-5 |
0 |
+3 |
10 |
||
|
Signe
de x²
+ 2x - 15 |
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+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|||
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3°)
Conclusion : L’inégalité x² + 2x - 15 <
0 est donc vérifiée pour - 5 < x < +3
Exemple 3 : 3x² - 2x + 14 > 0
Calcul du discriminant du trinôme : 3x² -
2x + 14 ; ∆ = (-2 )² - 4 fois 3 fois 14 = 4 - 168 = -164
Pas de racine
(3x² - 2x + 14 sera toujours différent de zéro)
2°)
Tableau : (on prend quelque valeur simple pour calculer)
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x |
-10 |
-5 |
0 |
+3 |
10 |
|
Signe de 3x²
- 2x + 14 |
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|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
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3°) l’inégalité
3x² - 2x + 14 >0 est vérifiée
quelque soit les valeurs de « x » .
Attention : l’inégalité 3x² - 2x +
14 < 0 n’est pas
possible !!!!!
Exemple 4 : résoudre - x² - 2x - 3 < 0 ;
1°) calcul du
∆ = -12 ; pas de racine
2°) tableau
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x |
-10 |
-5 |
0 |
+3 |
10 |
|
Signe de -3x²
- 2x - 3 |
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- |
- |
- |
- |
- |
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3°) l’inégalité
- x² - 2x - 3 < 0 est
vérifiée quelque soit les valeurs
de « x » .
Attention : l’inégalité - x² - 2x - 3 >
0 ; n’est pas possible !!!!!
Exemple 5 : résoudre -x² - 12x -36 < 0
1°) calcul de
∆ = 0 ; x1 = x2 = - 6
2°) Tableau
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x |
(-10) |
-6 |
(0) |
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Signe de -x²
- 12x - 36 |
(-16) |
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(-36) |
|
- |
0 |
- |
||
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3°) l’inégalité -x² - 12x -36 < 0 est vérifiée pour toutes les valeurs de
« x » sauf pour « -6 »
Attention : L’inégalité -x² - 12x -36 > 0
est impossible.
Exemple 6 : résoudre x² - 12x +36 > 0
1°) calcul de
∆ = 0 ; x1 = x2 = - 6
2°) Tableau
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x |
(-10) |
6 |
(0) |
|
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Signe de x²
- 12x +36 |
(+16) |
|
|
(36) |
|
+ |
0 |
+ |
||
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3°) °) l’inégalité
x² - 12x +36 > 0 est
vérifiée pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « 6 »
Attention :L’inégalité x² - 12x +36 < 0
est impossible
TRAVAUX
AUTO FORMATIFS :
CONTROLE :
Donner
la procédure de Résolution
des inégalités du second degré :
EVALUATION :
Faire les
résolutions suivantes :
Exercice
1 Résoudre :
x² + 2x - 15 > 0
Exercice
2 Résoudre :
x² + 2x - 15 < 0
Exercice
3 Résoudre : 3x² - 2x
+ 14 > 0
Exercice 4 :
résoudre - x² - 2x - 3 <
0 ;
Exemple 5 : résoudre -x² - 12x -36 < 0
Exemple 6 : résoudre x² - 12x +36 > 0