Pré requis:

Fraction nomen clature
Fraction équivalente
Produit en croix

ENVIRONNEMENT du dossier :

Pour professeur : LES PROPORTIONS (cours)

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

APRES le travail sur LES PROPORTIONS suivent le travail sur les « GRANDEURS PROPORTIONNELLES » ; voir les supports théoriques relatifs aux domaines traités(interdisciplinarités)

CES OBJECTIFS sont « LES PREALABLES » POUR POUVOIR TRAITER :

LA FONCTION dite « LINEAIRE » :

Avant de travailler ces trois objectifs il est utile de lire le rappel suivant concernant « la fraction ; les fractions »

RAPPEL de l’objectif QI2

Obj. QI 2

FRACTION « EQUIVALENTE » *(à une autre fraction):

-* Cette notion est très importante ; elle est la clef de voûte du travail sur la proportion et les proportionnalités.

- « Equivalente » : veut dire « de même valeur »;donc deux fractions équivalentes sont des fractions qui ont la même valeur.(racine latine :« équi » qui signifie « égal »)

- Remarque .

Des fractions (ou écriture fractionnaire)peuvent représenter un même nombre:

exemple:

la division 48 / 12 = 4

20 / 5 = 4

4.8 / 1.2 = 4

4 / 1 = 4

on peut donc écrire que = = = = 4

A ) Deux fractions séparées par le signe égale sont dites « fractions équivalentes »

Modèle mathématique:

= (b et d sont différents de 0)

B ) Des fractions équivalentes représentent un même nombre

on peut donc écrire que = = = = ( 4) sont des fractions équivalentes)

C ) Procédure pour construction d’une fraction équivalente (à une fraction donnée)

Pour construire une fraction équivalente à une fraction donnée il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par un nombre entier.

Modèle mathématique:

on multiplie a et b par k ==

IMPORTANT: MOYENS DE VERIFICATION

Pour vérifier si deux fractions sont équivalentes ;Il y a deux solutions différentes :

Première solution : on effectue les divisions et l’on compare !....

: On prend une calculatrice ,on effectue les divisions relatives à chaque fraction et l’on compare les deux résultats.(Il restera toujours un doute notamment lorsque l’on divise des fractions irréductibles très proche ; puisqu’elles n’ont pas de valeur décimale exacte).

( Cette méthode peut être très utile pour classer des fractions ,les unes par rapport aux autres)

exemple type I

Question: La fraction 11 / 15 est-elle équivalente à la fraction 13 / 17 ? (Si non ,on pourrait alors demander de les classer par ordre ...croissant )

Réponse:

11 : 15 = 0.7333333

13 : 17 = 0.764705

conclusion: les fractions 11 /15 et 13 / 17 ne sont pas équivalentes.

(Dans ce cas ,pour la question suivante , on peut écrire que 13 / 17 > 11 /15 )

exemple type II

Question :La fraction 22 /30 est-elle équivalente à la fraction 583/795 ?

Réponse:

22 : 30 = 0.733333333

583 :795 = 0.73333333

Conclusion :on ne peut conclure ,avec certitude ,on peut tout juste déclarer : « elles pourraient être équivalentes ».

Si on ne peut conclure ,dans ce cas voir la solution suivante

Deuxième solution :on effectue « Le produit en croix » (méthode la plus sûre)

Procédure permettant de vérifier si deux fractions sont équivalentes:

Pour s’assurer (ou vérifier) que deux fractions sont équivalentes, il suffit de transformer l’égalité des deux fractions.

1°) On transforme ce Modèle mathématique:

en une égalité de deux produits:

en ce modèle mathématique:

Numérateur..fract.1 x Dénominateur. .fract 2 = Numérateur fract.2 x Dénominateur fract 1

En résumé:

Deux fractions ( et ) sont équivalentes (c’est à dire) :

= si Num.1 x Déno.2 = Num.2 x Déno.1

Lorsque nous aborderons la leçon sur les proportionnalités on dira:

que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens , (les extrêmes étants Num.1 et Déno.2, les moyens étants Déno.1 et Num.2)

SUITE du rappel :

I ) Voir la division euclidienne : « si le reste est égal à zéro ........ »

II )Voir l ’ objectif sur les fractions :

a) sur l’écriture d’une fraction

b) Construction de fractions équivalentes :

c) Addition ou soustraction de fractions de même dénominateur se souvenir que

ATTENTION: lorsque l'on additionne ou soustrait deux (ou plus) fractions de même dénominateur , on n’a pas le droit de modifier ce dénominateur ; donc dans l’exemple précédent on n’a pas le droit de mettre comme dénominateur « 3 n » ou « n³ »

REMARQUE IMPORTANTE :

LES PROPORTIONS METTENT EN JEU ,une nouvelle opération mathématique,

NON PAS L ‘ADDITION ,LA SOUSTRACTION, LA DIVISION ou LA MULTIPLICATION DE FRACTIONS , MAIS UNE CINQUIEME SITUATION MATHEMATIQUE

: L’EGALITE DE DEUX ( ou plus) FRACTIONS.

COURS

Les GRANDEURS PROPORTIONNELLES :

Définition de « grandeur » :

On appellera « grandeur » tout nombre associé à une unité.

Exemple : 3litres,2,5mètres

La division d’une grandeur sur une autre grandeur de même unité s’appelle un « rapport »

Objectif n° GP 1/3

Objectif n° GP2/3

Objectif n° GP3/3

OBJECTIF GP 1/3

Définition de l’objectif : ce qu’il faut savoir sur « rapport » ; « rapports égaux » ; « suites de rapports égaux ».

COURS :

Rapport :

On appelle « rapport » la division d’un nombre par un autre nombre.

Le modèle mathématique d’un « rapport » est « une fraction ».

Rapports égaux :

On appelle « rapports égaux » des divisions de deux nombres qui ont le même quotient et dont le reste des divisions est nul .

Le modèle mathématique de deux rapports égaux est l’égalité de deux fractions.

Traduction en langage mathématique :

a’ : lire « a prime »

b’ lire « b prime »

Suite de rapports égaux :

pour le mot « suite » voir l ’ objectif N° 1

Lorsque nous avons plus de deux rapports égaux nous pouvons dire que nous avons une « suite de rapports égaux » , le quotient de chaque rapport étant identique , c’est un nombre dit constant appelé « k ».

Traduction en langage mathématique :

a’’ : lire « a » seconde ; b’’ : lire « b » seconde.

Traduction en langage littéral :

« a sur b » est égal à « a prime » sur « b prime » est égal à « a seconde » sur « b seconde . »

remarque importante ,et à retenir :

par convention ; « k » sera toujours égal au rapport y sur x ; cette écriture est a mettre en relation avec le « y » et le « x » du repère cartésien.

k = ; donc inversement (par conséquence le rapport x / y sera égal à la fraction 1 / k )

Exemple d’application : (Toujours se rappeler que = k)

on nous donne 4 rapports ( ; ; ; ) sont-il égaux ?

Recherche :

A ) pour chaque rapport nous pouvons calculer le «coefficient : k » :

premier rapport : ;appliquons : =1,5

deuxième rapport : ; appliquons : = 1,5

troisième rapport : ; appliquons : = 1,5

quatrième rapport : ; appliquons : = 1,5

B ) analyse :nous constatons que k₁ ; k₂ ; k₃ ; k₄ sont égaux

C) Conclusion : le coefficient K est identique pour chaque rapport ,nous pouvons écrire l’égalité suivante :

= = =

Vérification : Pour vérifier si la suite de rapports est une suite de rapports égaux il faut faire le produit en « croix » , chaque égalité : = ( 3 fois4 égal 2 fois6)

; = (6 fois 6 égal 4 fois9 ) et = (9 fois 9 égal 6 fois 13,5 ) .

Commentaire : quelque soit la méthode de vérification elle est longue et parfois peut fiable ;c’est à partir d’un constat que nous allons appliquer une méthode plus rapide.

PROCEDURE :

Construire une autre fraction : avec les fractions équivalentes données.

Cette autre fraction aura pour numérateur : le numérateur égal à la somme des numérateurs et pour dénominateur égal à la somme des dénominateurs .

(ATTENTION ! ! ! cette pratique n’est pas la somme de deux fractions ,c’est simplement la construction d’une fraction équivalente à des fractions déjà équivalentes,se souvenir que dans l’addition de deux fractions :

1°) elle n’est possible que si les dénominateurs sont identiques.

2°)quand les dénominateurs sont identiques,on fait seulement l’addition des numérateurs)

Application :

les deux fractions suivantes sont équivalentes (il faut toujours vérifier l’équivalence)

et ; pour obtenir une autre fraction équivalente ,je fais les deux additions 3+6 =9 (somme des numérateurs) et 2+4 = 6 (somme des dénominateurs); j ’ écris la nouvelle fraction « équivalente » donc j’obtient la fraction .

Vérification :

si je fait la division de 9 par 6 je trouve 1,5 ; (valeur égale à k)

Par extension :

Je peut opérer de la même façon avec toutes les fractions de la « suite de fractions »

donnée :

soit la suite de fractions , sont-elle équivalentes ?

= = = ;

(si les fractions données sont équivalentes, je peut construire une autre fraction équivalente qui aura pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs, ensuite je vérifierai pour cela deux solutions :

- la division du numérateur par le dénominateur pour trouver le « k ».

ce qui me donne l’opération

J’obtient une fois encore la valeur « k » de 1,5

- Ou alors je prendrai une fraction donnée au hasard et je ferai le produit en croix pour vérifier l’égalité des produits.)

On remarque qu’avec des fractions dites « égales » ,si on additionne les numérateurs entres eux et si l’on additionne les dénominateurs entres eux ,et si l’on met ces résultats sous forme de fraction ,on obtient une autre fraction égale aux précédentes.

CONCLUSION :

Avec une suite de rapports égaux ,on forme un autre rapport(ou fraction) égal à chacun d’eux ( de chaque rapport) qui aura pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs .

traduction en langage mathématique :

si = = = ; alors on a

Commentaire : on peut donc dire qu’une suite de rapports (ou de grandeurs ) sont proportionnels si la somme des numérateurs sur la somme des dénominateurs (de tous les numérateurs et dénominateurs de ces rapports) forme une proportion avec un des rapports de cette suite.

Procédure de vérification :faire le produit en croix, (ou faire la division pour les deux rapports et comparer le quotient ).

REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE SUITE DE RAPPORTS PROPORTIONNELS :

Voir l’ objectif sur les repères ( Sauf cas particulier et dans ce cas signalé nous travaillons dans un repère cartésien orthonormé)

La représentation d’une suite de rapports non proportionnels est un ensemble de points non alignés ,dans un repère.;

La représentation d’une suite de rapports proportionnels est un ensemble de points alignés, qui ont pour particularités de tous trouver sur une droite

CONTROLE :

1. Qu’est ce qu ’ « un rapport » ?

2. Donner un modèle mathématique d ’ un rapport.

3. Qu’appelle-t-on « rapports égaux » ?

4. Donner un modèle mathématique de « rapports égaux »

5. Donner une suite de rapports égaux.

6. Que peut-on former à partir d’une suite de rapports égaux ?

7. Traduire en langage mathématique ce que vous avez énoncé précédemment

8. Combien a - t - on de moyens de vérifier si deux rapports sont proportionnels ?

Donner la procédure d’exécution pour chaque ,vous pouvez vous aider de nombres)

Comment peut-on vérifier si une suite de nombres (ou de grandeurs) sont proportionnels ?

9. (Donner un exemple).

10. Que signifie l’écriture mathématique suivante ?

si = = = ; alors on a

EVALUATION :

Construire une suite de deux rapports non égaux ; justifiez

a) avec des nombres

b) avec des lettres

Construire une suite de deux rapports égaux ; justifiez.

a) avec des nombres

b) avec des lettres

Objectif : GP 2/3...

Intitulé : LA PROPORTION. LA QUATRIEME PROPORTIONNELLE :

PROPORTION :

On appelle « proportion » l’égalité se deux rapports.

Relations qui existent entre les mots : fraction ; rapport ; rapports égaux, fractions équivalentes ; proportion :

fraction = rapport

égalité de deux fractions = fractions équivalentes

fractions équivalentes = rapports égaux

rapports égaux = égalité de deux fractions

rapports égaux = proportion

donc une proportion c’est l’égalité de deux fractions.

Modèle mathématique :

RAPPEL sur les fractions équivalentes :

En résumé:

Deux fractions ( et ) sont équivalentes (c’est à dire) :

= si Num.1 x Déno.2 = Num.2 x Déno.1

applications algébriques :

soit l’égalité ont peut donc écrire a d = c b

Commentaire : d’une proportion on peut obtenir par transformation l’égalité de deux produits

Cette nouvelle égalité peut à nouveau se transformer dans le but de trouver une autre égalité permettant de trouver a= .....; b=...... ; c=....... ; ou d =....... ;

transformations :

; ; ;

applications numériques : Trouver la valeur de « x » , (pour que l’égalité reste vraie)

; ; ;

AUTRE VOCABULAIRE utilisé :

L’écriture mathématique: = si Num.1 x Déno.2 = Num.2 x Déno.1

sera remplacé par :

pour la première fraction :

le numérateur de la première fraction s’appellera : Extrême 1

le dénominateur de la première fraction s’appellera : Moyen 1

pour la deuxième fraction :

le numérateur de la deuxième fraction s’appellera : Moyen 2

le dénominateur de la deuxième fraction s’appellera : Extrême 2

Ce qui donne :

= si Extréme.1 x Extréme.2 = Moyen .2 x Moyen.1 ;

Nous pouvons énoncer :

I ) Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal aux produits des moyens.

Traduction mathématique :

si = alors ad = cb

II) Dans une proportion, on peut permuter les « extrêmes »« ( l’égalité reste vraie)

traduction mathématique

si = alors =

III) Dans une proportion, on peut permuter les « moyens » ,(l’égalité reste vraie)

traduction mathématique

si = alors =

Remarque : Lorsque l’on connaît 3 valeurs sur 4 ,dans une proportion, on peut trouver la « quatrième » valeur . On dira « rechercher la quatrième proportionnelle. »

CONTROLE :

Dans une proportion comment appelle-t-on :

le numérateur de la première fraction

le dénominateur de la première fraction

le numérateur de la deuxième fraction

le dénominateur de la deuxième fraction

Qu’appelle-t-on « proportion » ?

A quoi est égal deux rapports égaux ?

Quel est le modèle mathématique pouvant représenter des rapports égaux ?

On donne deux rapports égaux :

Comment nomme-t-on le numérateur de la première et le dénominateur de la seconde fraction ?

Comment nomme-t-on le dénominateur de la première et le dénominateur de la seconde fraction ?

Enoncer les règles faisant intervenir les extrêmes et les moyens.

(donner un modèle mathématique et ensuite accompagner ces modèles d’application numérique.)

Dans quel cas dit-on que l’on recherche la quatrième proportionnelle ?

EVALUATION :

1°) De l’égalité 3,4 x 7,8 = 2,4 x 11,05 ; déduire toutes les proportions possibles.

2°)Idem que ci dessus :

6,03 x 0,25 = 4 ,5 x 0,335

3°) Calculer dans chacun des cas suivants :

x0,37 = 8,88 ; 6,5 x = 46,15

11,2 = 3,2 x

7,56 = x 0,9

4°) Calculer x dans chacun des cas suivants :

= ; = ; = ;

5°) Calculer « x » dans chacun des cas suivants :

= ; = ; ; = ;

6°) Calculer « x » dans chacun des cas suivants :

= ; = ; = ;

7°) Calculer « x » dans chacun des cas suivants :

= 12 ; = 4 ; = 0,75

8°) Calculer « x » dans chacun des cas suivants :

12= ; 3,7 = ; 2 = ; 1,3 = ;

Interdisciplinarité :

Des connaissances e n sciences sont nécessaires pour comprendre le travail demandé ; (à vous de vous informer :

1°) Calculer la mesure de la d.d.p. aux bornes d’un résistor dans les cas suivants :

calibre	Echelle	lecture
3 V	[ 0 ; 30 [	22 divisions
10 V	[ 0 ; 100 ]	57 divisions
300 V	[ 0 ; 30 [	25 divisions

2°) Quelle est l’intensité du courant traversant le circuit ?

Calibre	Echelle	lecture
1 A	( 0 ; 100 )	83 divisions
0,1 A	( 0 ; 100)	57 divisions

3°) Une voiture consomme 18,4 l d’essence pour effectuer le trajet Paris - Caen ( 230 km) .Quelle sera sa consommation pour effectuer le trajet Paris - Cherbourg long de 340 km ?

Que devons nous admettre pour résoudre le problème ?

4°) La masse et le volume d’un corps sont deux grandeurs directement proportionnelles .Le coefficient de proportionnalité s’appelle la « masse volumique » du corps.

a) Calculer le volume d’un corps de masse 52 kg dont la masse volumique est de 23 kg /dm³